Логинов Избранные разделы курса Векторный анализ (теория и примеры) 2009

∞

α

α

Φ' (α) = ∫e−αx (cos cx − cos bx) dx =

−

.

α

2

+ c

2

α

2

+ b

2

0

Откуда

α

αdα

α

αdα

1

α

1

ln(α2 +

Φ(α) − Φ(0) = ∫

− ∫

=

ln(α2 + c2 )

−

2

2

2

2

2

0 α

+ c

0 α

+ b

2

0

α

2

2

2

2

2

+ b2 )

1

b

1

α + c

c

1

α + c

+

ln

=

ln

− ln

, Φ(α) = =

ln

.

0

2 c2

2

α2 + b2

b

2

α2 + b2

∞

2 dx =

π

Пример 4.2. Доказать, что интеграл Пуассона I= ∫e− x

.

0

2

∞

∞

∞

∞

∫e− x2 dx ∫xe− x

2 y 2dy = ∫dy ∫e− x

2 (1+ y2 ) xdx =

0

0

0

0

1

∞

dy

∞

2 (1+ y

2 ) dx2 (1 + y 2 ) =

1

∞

dy

∞

=

∫

∫e− x

∫

∫e−u du =

1 + y

2

+ y

2

2

0

0

2

0

1

0

=

1

arctg y

∞

=

π

.

2

0

4

1

∞

2

1

∞

∞

I =

∫e−ax

d sin bx =

sin bx e

−ax2

+ 2a ∫ x sin bx e−ax

2 dx =

b

0

b

0

0

2a

∞

=

∫ x sin bx e−ax2 dx .

b

0

Вычислим

производную

по

параметру

b :

∞

b

Ib ' = − ∫ x sin bx e−ax2 dx = = −

I

. Таким образом,

получено диф-

0

2a

ференциальное уравнение

dI

= −

bdb

,

решая которое, получим

I

I

2a

b2

∞

∞

e−

1

π

. Так

так

= ∫e−ax2 dx =

∫e−u2 du =

,то

=C

4a

I(0) =

I

0

a

0

2

a

−

b2

1

π

=

e 4a .

2

a

Пример 4.4. Вычислить интеграл

π

F(a,b) = ∫2 ln(a2 sin 2 x + b2 cos2 x)dx , a > 0, b > 0.

(4.4)

0

Решение. Вычислим частные производные

π

∂F

2

sin 2 x

= 2a∫

dx,

(4.5)

∂a

a

2

sin

2

x + b

2

cos

2

0

x

π

sin2 x

∂F

2

= 2b∫

dx .

∂b

2

2

x + b

2

2

0

a

sin

cos

x

∂a

∂b

π

a

2

sin 2 x

F(a,b) = ∫2udu ∫

dx +С(b).

u

2

sin

2

x + b

2

cos

2

0

0

x

Отметим, что справедливо разложение:

t

2

1

b

2

1

=

−

,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(a

t

+ b

)(t

+ 1)

b

− a

t

+ b

t

+ 1

a

1

b

2

1

1

2

(t

2

2

t

2

− b

2

−

=

b

+ 1) − a

=

b2 − a2

a2t 2

+ b2

t 2 + 1

b2 − a2

(t 2 + 1)(a2t 2 + b2 )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

1

b

(t

+ 1)

− a

t

− b

=

1

b

t

− a

t

=

b2 − a2

(t 2 + 1)(a2t 2 + b2 )

b2 − a2

(t 2 + 1)(a2t 2 + b2 )

=

1

(b2 − a2 )t 2

=

t 2

.

b2 − a2

(t 2

+ 1)(a2t 2

(t 2 + 1)(a2t 2 + b2 )

+ b2 )

Используя это равенство, преобразуем интеграл

π

π

sin2 x

tg 2 x

2

2

∫

dx =

∫

dx =

2

sin

2

x + b

2

cos

2

2 2

+ b

2

0 a

x

0 a tg

x

∞

t

2

1

2

∞

dt

∞

dt

= ∫

dt =

∫

− ∫

=

b

(a

2

t

2

+ b

2

)(t

2

+ 1)

2

− a

2

2

2

+ b

2

2

+ 1

0

b

0 a

t

0 t

1

b π

π

π

=

−

=

.

b2 − a2

a 2 2

2a(a + b)

a

π

a + b

F(a,b) = ∫2u

du +C(b)= π ln

+C(b).

2u(u + b)

0

b

F(a,b) = = π ln