Логинов Избранные разделы курса Векторный анализ (теория и примеры) 2009

x2 ( y)

F(y) = ∫ f ( x, y)dx также имеет производную

4.2.Несобственные интегралы, зависящие от параметра

4.2.1.Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра

Рассмотрим интеграл

a

Предположим, что при некоторых y интеграл (4.1) является несобственным. Так, если − ∞ < a < b ≤ +∞ и при некотором y интеграл (4.1) имеет единственную особенность в b, то условием сходимости интеграла (4.1) будет существование конечного предела

η

lim ∫ f (x, y)dx .

η→b−0 a

Если при заданном y интеграл сходится, то для любого η [a,b)

b

интеграл ∫ f (x, y)dx (называемый остатком) будет существовать, и

η

b

условие сходимости можно записать в видеηlim→b−0 ∫ f ( x, y)dx = 0 . В

η

случае расходимости этого интеграла естественно считать, что ус-

b

ловие ηlim→b−0 ∫ f ( x, y)dx = 0 не выполнено. Таким образом, условие

η

сходимости будет в дальнейшем записываться в виде

82

b

lim ∫ f (x, y)dx = 0 .

η→b−0 η

b

Определение. Пусть интеграл с параметром ∫ f ( x, y)dx для

a

всех или для некоторых y Y имеет единственную особенность в точке b (если b конечное, интеграл 2-го рода) или в +∞ (интеграл 1-го рода). Сходящийся на Y интеграл называется равномерно сходящимся на Y, если выполнено условие

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Если суще-

ствует функция g(x), определенная на отрезке [a,b) (b – конечное или +∞), интегрируемая на любом отрезке [a, η), η (a,b) и такая,

b

что: 1) |f(x,y)| ≤ g(x), a ≤ x < b, y Y; 2) ∫ g ( x)dx сходится, то ин-

− ∞ < a < b ≤ +∞ и функция f(x,y) определена и непрерывна на от- резке [a,b) по x для всех y Y. Если для любых η(a,b) функция f(x,y)

83

равномерно сходится к функции g(x) на отрезке [a,b -η] при y→y0,

b

интеграл ∫ f ( x, y)dx равномерно сходится на Y и интеграл

a

b

∫ g ( x)dx сходится, то имеет место равенство(рис. 4.4)

a

b b

Рис. 4.4

Критерий Коши равномерной сходимости (интеграла 2-го

b

рода). Для равномерной сходимости интеграла ∫ f ( x, y)dx необ-

a

ходимо и достаточно, чтобы

η''

ε >0 δ>0 y Y η′,η′′ (b-δ,b): ∫ f (x, y)dx < ε .

η'

84

4.2.2. Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра

Теорема. Если f(x,y) определена и непрерывна на [a,b)×[c,d] и

b

интеграл Φ(y) = ∫ f ( x, y)dx сходится равномерно на [c,d] , то

a

этот интеграл является непрерывной функцией (рис. 4.5).

Рис. 4.5

4.2.3. Интегрирование интегралов, зависящих от параметра

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на

b

[a,b)×[c,d], интеграл Φ(y) = ∫ f ( x, y)dx сходится равномерно на

a

bd

[c,d] , существует интеграл ∫dx∫ f ( x, y)dy , то

ac

d d b b d

∫Φ( y)dx = ∫dy∫ f ( x, y)dx = ∫dx∫ f ( x, y)dy .

c c a a c

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна на

b

[a,b)×[c,d), интеграл ∫ f ( x, y)dx сходится равномерно на любом

a

d

[c,η] , интеграл ∫ f ( x, y)dy сходится равномерно на любом [a,ξ] и

c

85

d b

существует один из повторных интегралов ∫dy∫ f ( x, y) dx ,

c a

bd

∫dx∫ f ( x, y) dy , то существует и другой и выполняется равенст-

ac

во

Лемма. Если функция f(x,y) непрерывна на [a,b)×[c,d] , то схо-

∞ ηk +1

∑ ∫ f ( x, y)dx . Аналогично для равномерной сходимости: равно-

k =0 ηk

b

мерная сходимость интеграла ∫ f ( x, y)dx на множестве Y эквива-

86

b

номерно на [c,d] , то функция Φ(y) = ∫ f ( x, y)dx дифференцируема

4.2.5. Функции Эйлера

∞

Гамма-функция Эйлера Г(p) = ∫ x p−1e−x dx , p > 0, непрерывна на

0

( 0 , ). Для доказательства этого утверждения разобьем интеграл

1 ∞

на два интеграла Г(p) = ∫x p−1e−x dx + ∫x p−1e− x dx . Докажем непре-

венства ∫x p−1e−x dx ≤ ∫ xε−1e− x dx , p [ε , A], и сходимости интеграла

∫x p−1e−x dx сходится равномерно на [ε , A] и, следовательно, явля-

0

ется непрерывной функцией на этом множестве [ε , A].

Для доказательства непрерывности второго интеграла выпишем

∞ ∞

неравенство ∫ x p−1e−x dx ≤ ∫ x A−1e−x dx , p [ε , A]. Из сходимости

интеграла ∫x A−1e− x dx следует, что интеграл ∫x p −1e− x dx сходится

1 1

87

равномерно на [ε , A] и, следовательно, является непрерывной функцией на множестве [ε , A].

Для гамма-функции Эйлера справедлива формула

Далее интегрируем от 0 до ∞ :

88

∞∞

= ∫ xq−1e− x dx ∫( xy) p−1 e− xy xdy .

0 0

Откуда, используя (4.3), получим: B( p, q) = ( p) (q) . В част-

Непосредственно из определения следует, что Г(1) = 1, Г(p+1) =

=p Г(p).

Отметим, что из этой формулы следует, что гамма-функцию

∞

достаточно знать на интервале (0, 1/2). Интеграл ∫ x p−1e−x dx схо-

0

∞

дится (p >0) , а интеграл ∫ x p−1 ln k x e− x dx сходится равномерно на

0

любом отрезке [ε , A ] для 0 < ε < A. Поэтому интеграл можно дифференцировать по параметру. Докажем равномерную сходи-

∞

мость интегралов ∫ x p−1 ln k x e− x dx .

0

Вокрестности нуля |ln x| ≤ C1 (δ) для δ > 0 существует C1(δ). В xδ

окрестности бесконечности |ln x| ≤ C2 (δ)xδ для δ > 0 существует

∞

C2(δ). Равномерная сходимость интеграла Г(k)(p)= ∫ x p−1 ln k x e− x dx

89

1 ∞

C1k (δ)∫ xε−kδ−1e− x dx + + C2k (δ) ∫x A+kδ−1e− x dx , для всех p [ε , A].

0 1

Здесь для ε >0 следует выбрать δ так, чтобы ε - k δ оставалось больше нуля.

4.2.7. Примеры вычисления несобственных интегралов, зависящих от параметра

Формула Фруллани. Функция f(x) непрерывна и интеграл

Другой способ вычисления этих интегралов: положим γ =–α+iβ, тогда

90