Перевод чисел из одной системы счисления в другую

При решении задач с помощью ЭВМ исходные данные обычно задаются в десятичной системе счисления; в этой же системе, как правило, нужно получить и окончательные результаты. Так как в современных ЭВМ данные кодируются в основном в двоичных кодах, то, в частности, возникает необходимость перевода чисел из десятичной в двоичную систему счисления и наоборот.

При рассмотрении правил перевода чисел из одной системы счисления в другую ограничимся только такими системами счисления, у которых базисными числами являются последовательные целые числа от 0 до Р-1 включительно, где Р - основание системы счисления.

Задача перевода заключается в следующем. Пусть известна запись числа х в системе счисления с каким-либо основанием Р:

p_np_n-1…p₁p₀p_-1p_-2…,

где р_i - цифры Р-ичной системы (0  р_i  Р-1). Требуется найти запись этого же числа х в системе счисления с другим основанием Q:

q_sq_s-1…q₁q₀q_-1q_-2…,

где q_i - искомые цифры Q-ичной системы (0  q_i  Q-1). При этом можно ограничиться случаем положительных чисел, так как перевод любого числа сводится к переводу его модуля и приписыванию числу нужного знака.

При рассмотрении правил перевода нужно учитывать, средствами какой арифметики должен быть осуществлен перевод, т.е. в какой системе счисления должны быть выполнены все необходимые для перевода действия. Условимся считать, что перевод должен осуществляться средствами Р-ичной арифметики.

Перевод QP. Задача перевода произвольного числа х, заданного в системе счисления с основанием Q, в систему счисления с основанием Р сводится к вычислению полинома вида

X=q_nQⁿ + q_n-1Q^n-1 +…+ q₁Q¹ + q₀Q⁰ + q_-1Q^-1 +…+ q_-mQ^-m (3.13)

Для получения Р-ичного изображения выражения (3.13) необходимо все цифры q_i и число Q заменить Р-ичными изображениями и выполнить арифметические операции в Р-ичной системе счисления.

Заметим, что при переводе следует придерживаться правила сохранения точности изображения числа в разных системах, причем под точностью понимается значение единицы самого младшего (правого) разряда, используемого в записи числа в той или иной системе счисления.

Перевод РQ. Так как для перевода любого числа достаточно уметь переводить его целую и дробную части, рассмотрим отдельно эти два случая.

1. Перевод целых чисел. Пусть известна запись целого числа N в системе счисления с основанием Р и требуется перевести это число в систему счисления с основанием Q. Так как N - целое, то его запись в Q-ичной системе счисления имеет вид

N = q_sq_s-1…q₁q₀,

где q_i - искомые цифры Q-ичной системы (0  q_i < Q-1). Для опреде­ления q₀ разделим обе части равенства:

N = q_sQ^s+ q_s-1Q^s-1+…+ q₁Q¹+q₀ (3.14)

на число Q, причем в левой части произведем деление, пользуясь правилами Р-ичной арифметики (так как запись числа N в Р-ичной системе счисления известна), а правую часть перепишем в виде

N/Q = q_sQ^s+ q_s-1Q^s-1+…+ q₁Q¹+q₀ / Q.

Приравнивая между собой полученные целые и дробные части (учитывая, что q_i < Q):

[N/Q] = q_sQ^s-1+ q_s-1Q^s-2+…+ q₁,

[N/Q]=q₀/Q.

Таким образом, младший коэффициент q₀ в разложении (3.14) определяется соотношением

Q₀=Q[N/Q],

причем указанные здесь действия на самом деле не выполняются, так как q₀ является просто остатком от деления N на Q.