Методические указания

Рассчитать режим работы электрической цепи, соответствующей заданному индивидуальному варианту задачи ( № 0 ):

№ варианта задачи	№ рисунка схемы	№ графика u1(t)	L, мГн	C, мкФ	Т, мс	Rн, Ом	Um, В
0	1-3	2-2	18	5,8	3	69	100

Решение.

1. С учётом сопротивления нагрузки R_н схема заданной электрической цепи имеет вид, приведённый на рисунке 3.

Рисунок 3 – Схема заданной электрической цепи

На входных зажимах электрической цепи действует периодическое несинусоидальное напряжение, показанное на рисунке 4.

Рисунок 4 – Напряжение на входе электрической цепи

2. Кривую заданного входного напряжения представим в виде тригонометрического ряда Фурье.

В общем случае ряд Фурье для периодической несинусоидальной функции времени имеет вид:

.

Таким образом, ряд Фурье для периодической несинусоидальной функции времени заданного входного напряжения запишется:

.

Постоянную составляющую входного напряжения, амплитуды синусной и косинусной составляющих ряда Фурье, амплитуды и начальные фазы отдельных гармоник несинусоидального входного напряжения при известном законе изменения напряжения на интервалах периода изменения напряжения Т можно найти по формулам:

Здесь: Т – период изменения заданной несинусоидальной функции напряжения; – круговая частота; к – номер гармоники разложения входного напряжения в ряд Фурье; – постоянная составляющая входного напряжения; – амплитуда к - той гармоники напряжения; – начальная фаза к - той гармоники входного напряжения.

После определения составляющих ряда Фурье с учётом численных значений параметров входного напряжения, закон изменения во времени напряжения на входе цепи запишется:

Определение составляющих ряда Фурье входного напряжения можно выполнить не с помощью формул, а воспользовавшись табличными разложениями, приведёнными в учебниках по теоретическим основам электротехники или в справочниках.

Прежде всего, выделяем во входном напряжении u₁(t) постоянную составляющую:

.

Проводим новую ось времени на высоте постоянной составляющей напряжения . Для оставшейся части напряжения находим в учебниках и справочниках подобное табличное разложение. Затем определяем соотношения, учитывающие соответствие табличной и заданной кривой напряжения, а также возможное их смещение по оси времени (опережение или запаздывание).

Для заданного входного напряжения подобная табличная кривая 1, приложение 1; 2, таблица 7.1 имеет вид, приведённый на рисунке 5.

Рисунок 5 – Табличная кривая

Разложение в ряд Фурье табличной кривой имеет вид:

.

Из сравнения заданного несинусоидального входного напряжения c табличной кривой имеем:

1. наличие постоянной составляющей ;

2) ;

3) ;

4) заданное напряжение опережает табличную кривую на время t₀ :

.

Таким образом, заданная кривая входного напряжения с учётом постоянной составляющей имеет следующее разложение в ряд Фурье:

С учётом заданных численных значений варианта задачи получаем следующий закон изменения напряжения на входе цепи:

График входного напряжения как сумма четырёх первых гармоник разложения имеет вид, представленный на рисунке 6.

Рисунок 6 – График заданного входного напряжения как сумма гармоник

3. Определение мгновенных значений тока в источнике и тока в нагрузке.

На основании метода наложения выполняем расчёт для каждой гармоники разложения в ряд Фурье входного напряжения. Расчёт режима электрической цепи для каждой гармоники выполняем комплексным методом. Расчётная схема для произвольной гармоники “к” имеет вид, представленный на рисунке 7.

Рисунок 7 – Расчётная схема для гармоники “к”

1. Расчёт нулевой гармоники ( к = 0) – постоянных составляющих токов и напряжений.

Так как при постоянных токах и напряжениях в электрической цепи индуктивность представляет собой “ закоротку ” , а ёмкость представляет собой “ разрыв ветви ” , то для заданной цепи имеем:

2. Расчёт первой гармоники ( к = 1).

Частота основной (первой) гармоники сигнала определяется периодом его изменения :

Комплексное действующее значение входного напряжения:

_.

Реактивные сопротивления индуктивностей и ёмкости при частоте гармоники:

Комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:

Комплексные действующие значения токов ветвей электрической цепи и напряжения на сопротивлении нагрузки:

Мгновенные значения тока в источнике, тока в нагрузке и напряжения на сопротивлении нагрузки по первой гармонике:

3. Расчёт третьей гармоники ( к = 3).

Комплексное действующее значение входного напряжения:

_.

Реактивные сопротивления индуктивностей и ёмкости:

Комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:

Комплексные действующие значения токов ветвей и напряжения на сопротивлении нагрузки:

Мгновенные значения тока в источнике, тока в нагрузке и напряжения на сопротивлении нагрузки по третьей гармонике:

4. Расчёт пятой гармоники ( к = 5).

Комплексное действующее значение входного напряжения:

Реактивные сопротивления индуктивностей и ёмкости:

Комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:

Комплексные действующие значения токов ветвей и напряжения на сопротивлении нагрузки:

Мгновенные значения тока в источнике, тока в нагрузке и напряжения на сопротивлении нагрузки по пятой гармонике:

Мгновенное значение тока в источнике:

Мгновенное значение тока в нагрузке:

4. Закон изменения во времени напряжения на сопротивлении нагрузки:

5. Действующие значения токов и напряжений на входе цепи и на нагрузке:

6. Активная и полная мощности электрической цепи.