теория

2. Применить обычный метод наименьших квадратов к уравнению

y′t = a′ + bx′t , рассчитать оценки a′ и b . 3. Рассчитать а по формуле:

a=1 a−′ρ .

4.Записать исходное уравнение yt = a + bx t

Основная проблема, связанная с применением данного метода состоит в том, как получить оценку ρ. Основным способом является получение оценки по исходному уравнению регрессии исходя из следующего соотношения:

ρ =1 − d2 , где d – статистика Дарбина-Уотсона.

Рассмотрим уравнение yt = a + bx t . Если построить динамики явлений y t

и x t , то можно выяснить, имеет ли место одинаковая направленность тенденций. Если это наблюдается на протяжении длительного промежутка времени, то это значит, что коэффициент корреляции, рассчитанный по уровням временных рядов, может соответственно не содержать ложной корреляции и характеризовать истинную причинно-следственную зависимость между ними.

Эти предположения были положены в основу теории коинтеграции временных рядов. Коинтерграция – причинно-следственная зависимость в уровнях двух (и более) временных рядов, которая выражается в совпадении или противоположной направленности их тенденций и колеблемости.

Существует тест на проверку коинтеграции временных рядов. Это тест Энгеля-Грэнжера, за который в 2003 году была присуждена Нобелевская премия по экономике.

Этапы проведения теста:

1. Рассчитывается регрессия yt = a + bx t . Вычисляются остатки et = yt − ~yt .

2.Вычисляется регрессия ∆et = a + bet−1 .

3.Определяется фактическое значение t-критерия для коэффициента

регрессии b. Если tрасч для коэффициента b больше критических значений, то имеет место коинтеграция.

Динамической называется модель, если она отражает динамику исследуемых переменных в каждый момент времени. К основным типам динамических эконометрических моделей относятся модели с распределенным лагом и модели авторегрессии.

Модель с распределенным лагом имеет вид:

yt = a + b0 x t + b1 x t−1 + b2 x t−2 + εt

Наряду с лаговыми значениями независимых, или факторных, переменных на величину зависимой переменной текущего периода могут оказывать влияние ее значения в прошлые моменты или периоды времени. Эти процессы обычно описывают с помощью моделей регрессии, содержащих в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, которые называются моделями авторегрессии. Модель вида

yt = a + b0 x t + c1 yt−1 + εt

относится к моделям авторегрессии.

Рассмотрим модель с распределенным лагом в ее общем виде в предположении, что максимальная величина лага конечна:

y t = a + b0 x t + b1 x t−1 + ... + bp x t −p .

Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной х, то это изменение будет влиять на значения переменной у в течение p следующих моментов времени.

Коэффициенты b j могут быть представлены в виде полиномов:

• для полинома 1-й степени: b j = c0 + c1 j;

• для полинома 2-й степени: b j = c0 + c1 j + c2 j2 ;

• для полинома 3-й степени: b j =c0 + c1 j + c2 j2 + c3 j3 и т. д.

Тогда каждый из коэффициентов b j можно выразить следующим образом: b0 = c0 ,

b1 = c0 + с1 +... + сk ,

b2 = c0 + 2с1 + 4c2 ... + 2k сk ,

...

bl = c0 + lс1 + l2 c2 +... + lk сk ,

Подставив в уравнение эти коэффициенты и перегруппировав слагаемые, получим:

zk = x t−1 + 2k x t−2 + 3k x t−3 +... + lk x t−l .

Процедура применения метода Алмон для расчета параметров модели с распределенным лагом выглядит следующим образом.

1.Определяется максимальная величина лага l.

2.Определяется степень полинома k, описывающего структуру лага.

3. По соотношениям рассчитываются значения переменных z0 ,..., zk .

4. Определяются параметры уравнения линейной регрессии

уt = a + с0 z0 + с1z1 +... + ck zk .

5.С помощью соотношений рассчитываются параметры исходной

модели с распределенным лагом.

Проинтерпретируем коэффициенты в модели с распределенными

измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент времени t+1 совокупное воздействие факторной переменной х, на результат у составит b0 + b1 ед., в момент t+2 это воздействие можно

охарактеризовать суммой b0 + b1 + b2 т. д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами.

С учетом конечной величины лага можно сказать, что изменение переменной x t , в момент t на 1 ед. приведет к общему изменению результата

y t через p моментов времени на b0 + b1 + b2 + ... + bp абсолютных единиц. Эту величину называют долгосрочным мультипликатором. Он показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t+1 результата под влиянием изменения на 1 ед. фактора х.

Пусть βj = b j / b . Это относительные коэффициенты модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты имеют одинаковые знаки,

то ∑b j =1. В этом случае относительные коэффициенты являются весами для соответствующих коэффициентов. Каждый из них измеряет долю общего изменения результативного признака в момент времени t+j. Средний лаг определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

l= ∑j βj

ипредставляет собой средний период, в течение которого будет происходить

изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора, тогда как высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени.

времени, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.

Модель авторегрессии имеет вид: yt = a +b0 x t +c1 yt −1 . Одним из возможных методов расчета параметров уравнения авторегрессии является метод инструментальных переменных. Сущность этого метода состоит в том,

чтобы заменить переменную из правой части модели, для которой нарушаются предпосылки метода наименьших квадратов, на новую переменную, включение которой в модель регрессии не приводит к нарушению его предпосылок. Применительно к моделям авторегрессии

необходимо удалить из правой части модели переменную yt−1 . Искомая новая переменная, которая будет введена в модель вместо yt−1 , должна иметь два

свойства. Во-первых, она должна тесно коррелировать с yt−1 , во-вторых, она не должна коррелировать с остатками ~y − y .

Поскольку в модели переменная y t , зависит не только от yt−1 , но и от x t

рактеризует краткосрочное изменение у, под воздействием изменения х на 1

воздействием своего изменения в непосредственно предшествующий момент времени — на c1 ед. Таким образом, общее абсолютное изменение результата в момент t+1 составит b0 c1 ед. Аналогично в момент времени t+2 абсолютное

изменение результата составит b0 c12 ед. и т. д. Следовательно, долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии можно рассчитать как сумму краткосрочного и промежуточных мультипликаторов:

b = b0 + b0 c1 + b0 c12 + b0 c13 ...

Поскольку практически все модели авторегрессии имеют так называемое условие стабильности, состоящее в том, что коэффициент регрессии при

переменной yt−1 по абсолютной величине меньше единицы то b можно преобразовать следующим образом:

b = b0 (1 + c1 + c12 + c13 +...) =1 −b0c1

где |c1| < 1.

4.2. Решение типовых задач Пример 1. На основании статистических данных о работе пищевой

промышленности Приморского края за 1980-2002 гг. рассмотрим зависимость объема производства от капиталовложений и оценим регрессию дореформенного периода (1980-1989 гг) и послереформенного периода

(1990-2002 гг).

Оценим регрессию дореформенного периода (1980-1989 гг.). Регрессия

воспользуемся методом инструментальных переменных. Найдем этот инструмент:

Yt−1 = c0 +c1K t−1 ,

Найдем эти коэффициенты. Составим расчетную таблицу:

с0 =117,3889 − 0,3254 106,811 =82,633.

-

111,5936

107,6237

108,6325

108,8277

105,834

120,1842

131,7033

122,6572

139,4478

Подставим в наше уравнение регрессии найденный инструмент.

Получим регрессию: Yt = α0 +α1Y~t −1 +α2K t . Составим расчетную таблицу:

Капвложения,

Производство млн.

%сопоставимых

Вычислим коэффициенты данной регрессии:

выразим из первого уравнения α0 : α0 =122.244 −117.39α1 −126.3α2 . Подставим

α0 в оставшиеся уравнения:

14482,39 −117,39 * (122,244 −117,39α1 −126,3α2 ) −13906,87α1 −15388,48α2 = =132,167 −126,458α1 −562,123α2 .

Выразим из полученного уравнения α1 :

Подставим α1 и α0 в третье уравнение и вычислим значение α2 :

16160,23 −126,3 * (122,244 −117,39α1 −126,3α2 ) −15388,48α1 −19491,72α2 = = 720,8128 −562,123α1 −3540,03α2 .

720,8128 −562,123*(1,045 −4,45α1 ) −3540,03α2 =133,3943 −1038,58α2 .

α2 = 133,39431038,58 = 0,128 .

Вычислим значения α1 и α0 :

α1 =1,045 −4,45*0,128 = 0,473.

α0 =122,244 −117,39 0,473 −126,3 0,128 =50,44 .

Мы получили уравнение регрессии, по которому можно оценивать α0 , α1 и α2 , и эта оценка будет точной и несмещенной:

Yt = 50.44 + 0.473Yt −1 + 0.128K t .

Проинтерпретируем данное уравнение: краткосрочный мультипликатор равен 0,128. Это означает, что при увеличении капиталовложений на 1 млн. сопоставимых рублей в текущем году, объем производства в этом же году

млн сопоставимых рублей в текущем году, долгосрочное предельное увеличение объема производства составит 0,243%. Коэффициент 0,473 показывает, что при увеличении объема производства в текущем году на 1%, объем производства в последующем году увеличится на 0,473%.

Оценим аналогичную регрессию для послереформенного периода:

Yt = 203,39 −1,521Yt −1 + 0.886K t

Проинтерпретируем данное уравнение: краткосрочный мультипликатор равен 0,886. Это означает, что при увеличении капиталовложений на 1 млн. сопоставимых рублей в текущем году, объем производства в этом же году

= 0.886 =

увеличится на 0,886%. Долгосрочный мультипликатор равен b 1+1,521 0.35 и означает, что при увеличении капиталовложений на 1 млн сопоставимых рублей в текущем году, долгосрочное предельное увеличение объема производства составит 0,35%. Коэффициент 1,521 показывает, что при увеличении объема производства в текущем году на 1 %, объем производства в последующем году уменьшится на 1,521%.

Пример 2. Построение модели с распределенным лагом. Изучается зависимость между объемом продаж и расходами на рекламу. Построим модель с распределенным лагом для l=4 в предположении, что структура лага описывается полиномом второй степени.

По результатам изучения зависимости объемов продаж компании в среднем за месяц от расходов на рекламу была получена следующая модель с распределенным лагом :

y = 7.48 + 0.0612x t + 0.0244x t−1 + 0.00498x t−2 + 0.0028x t−3 + 0.0179x t−4 .

Результаты расчетов, полученных в Excel:

Дисперсионный

анализ

В этой модели краткосрочный мультипликатор равен 0.0612. Это означает, что увеличение расходов на рекламу на 1 у.е. ведет в среднем к росту объема продаж компании на 61,2 у.е. в том же периоде. Под влиянием увеличения расходов на рекламу объем продаж компании возрастет в момент

уравнения регрессии по первым разностям, а не по исходным уровням рядов?

Задача 4. По статистическим данным приложения 3 по любым двум валютам проверьте тест на наличие автокорреляции Дарбина-Уотсона. Постройте уравнение зависимости с учетом автокорреляции.

Задача 5. Изучается зависимость объема ВВП Yt (млрд долл.) от уровня прибыли в экономике xt (млрд долл.) по данным за 30 лет. Была получена следующая модель:

В скобках указаны значения t-критерия для коэффициентов регрессии. Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа: определите краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы, охарактеризуйте структуру лага. Перечислите основные эконометрические проблемы, возникающие при построении моделей с распределенным лагом.

Задача 6. Предположим, по данным о динамике показателей сбережений населения и дохода в городе была получена модель авторегрессии, описывающая зависимость сбережений в среднем на душу населения за год St (млн руб) от среднедушевого совокупного годового дохода Yi (млн руб) и сбережений предшествующего года St-1:

St = −53 +0.15Yt +0.03St−1 +εt .

Определите краткосрочную и долгосрочную склонность к накоплению. Задача 7. Динамика выпуска продукции за 1986 – 1997 гг. представлена

в таблице. Постройте уравнение авторегрессии с лагом в 2 года. Измерьте автокорреляцию остатков и сделайте выводы. В расчетах используйте

следующие данные: ∑yt yt−2 =12486,∑y2t−2 =11273.

Задача 8. В таблице приводятся сведения об уровне среднегодовых цен на мировых рынках на шерсть из Новой Зеландии, амер. центы за килограмм.