6. Понятие о классической статистике. Вероятность. Законы сложения и умножения вероятностей.

Поведение систем, состоящих из очень большого числа частиц, подчиняется определённым закономерностям, которые могут быть описаны на языке теории вероятностей – одного из разделов математики. Введём некоторые необходимые понятия.

Случайное явление – это явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному. Случайной называют такую величину, которая принимает значения в зависимости от стечения случайных обстоятельств.

Существуют такие задачи, где исход опыта зависит от столь большого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть их все. Однако если обратиться к совокупности большого числа явлений, то средние результаты обнаруживают устойчивые закономерности, свойственные именно массовым случайным явлениям. Примерами такого рода законов могут служить распределения молекул по скоростям (закон Максвелла) и по компонентам скоростей (описывается функцией Гаусса).

Случайная величина называется дискретной, если она принимает счетное множество значений, например, число молекул в выделенном объеме газа, энергия электрона в атоме, число зерен в колосьях. Непрерывная случайная величина принимает любые значения внутри некоторого интервала: координата или импульс материальной точки, температура газа.

Пусть имеется макросистема, то есть система, состоящая из большого числа микрочастиц. Пусть какая-либо случайная дискретная величина х может принимать значения х₁, х₂, х₃, …. Произведем N измерений величины х, приводя систему каждый раз перед измерением в одно и то же состояние. Вместо того, чтобы производить N измерений над одной системой, можно взять N одинаковых систем и измерять величину х один раз в каждой системе. Статистический ансамбль – это набор одинаковых систем, находящихся в одинаковом состоянии. Пусть при измерениях х значение х₁ получено в N₁ измерениях, значение х₂ – в N₂ измерениях и т.д. Очевидно,

. (6.25)

Вероятность p_i (или р(х_i)) появления результата х_i – это предел частоты появления i-того результата:

, (6.26)

причем из (6.25) следует условие нормировки (6.27):

. (6.27)

Среднее арифметическое значение дискретной случайной величины равно

(6.28)

и при большом числе измерений (N→∞) из определения вероятности (6.26):

. (6.29)

Из определения вероятности следует, что 0≤р≤1, причем р=0 для невозможного события и р=1 для достоверного события.

Два события несовместны, если их одновременное осуществление невозможно (например, выпадение 1 и 3 при однократном бросании игральной кости). Два события называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления второго. Математическая вероятность подчиняется определенным закономерностям.

Закон сложения вероятностей: вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей. То есть, вероятность р(х_i или х_j) получить результат х_i или х_j равна сумме их вероятностей:

р(х_i или х_j)= р(х_i)+ р(х_j). (6.30)

Например, вероятность выпадения четного числа при однократном бросании игральной кости р(2 или 4 или 6)=р(2)+р(4)+р(6)=1/6+1/6+1/6=1/2.

Закон умножения вероятностей: вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей.

р(х_i и х_j)= р(х_i) р(х_j). (6.31)

Например, при бросании двух игральных костей вероятность получить сумму чисел на гранях, равную 12, равна р(6 и 6)=.

Непрерывную случайную величину нельзя задать тем же законом распределения, что и дискретную. Введем f(x) – функцию распределения вероятностей случайной величины – следующим образом.

Пусть dP – вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает значения в интервале от x до x+dx. Очевидно, что чем больше интервал dx, тем больше и вероятность dP: dP прямо пропорциональна dx. Кроме того, вероятность должна зависеть и от самой случайной величины x, вблизи которой расположен интервал, поэтому

dP= f(x)dx, (6.32)

где f(x) – плотность вероятности, т.е. функция, показывающая, как изменяется вероятность, отнесенная к интервалу dx случайной величины, от значения самой этой величины:

(6.33)

Вероятность того, что случайная величина принимает какое-либо значение в интервале от a до b, получается интегрированием функции:

. (6.34)

Вероятности и – это площади под графиком функции распределения вероятностей в соответствующих пределах (рис.6.6). Условие нормировки для непрерывной случайной величины имеет вид:

. (6.35)

Замечание к формуле (6.35): интегрирование должно производиться по всей области определения функции:

. (6.35а)

Площадь под всем графиком функции равна 1.

Для непрерывной случайной величины среднее значение записывается в виде:

, (6.36)

а среднее значение любой функции φ(х) равно:

; (6.37)

7а. Распределение Максвелла. Постановка задачи.

Рассмотрим газ, находящийся в состоянии равновесия. При этом в нем устанавливаются постоянные давление и температура. Молекулы газа движутся беспорядочно, сталкиваясь между собой и со стенками сосуда, беспрерывно меняя свою скорость. Все направления скорости равновероятны, а сами скорости – различны. Будем считать, что все возможные скорости заключены в интервале от 0 до ∞. В реальных системах мало молекул с очень малыми скоростями, а верхний предел ограничен хотя бы потому, что число молекул N, хотя и велико, но конечно, следовательно, полная энергия системы и скорость любой молекулы также конечны.

Поскольку величина скорости принимает непрерывный ряд значений, то бессмысленно ставить задачу об определении числа молекул, точно имеющих ту или иную скорость, – число таких молекул равно нулю, потому что число молекул конечно, а возможных значений скорости бесконечно много. Корректная постановка задачи может быть такой: сколько молекул (или какая их доля) имеют скорость в промежутке от v до v+Δv? Пусть ΔN – число молекул с такими скоростями. Очевидно, что:

1) чем больше интервал Δv, тем больше ΔN;

2) ΔN зависит от самой скорости v, так как молекул с одним значением скорости больше, с другим – меньше;

3) чем больше полное число молекул N, тем больше ΔN.

Тогда , где коэффициент пропорциональности сам является функцией скорости: . Доля молекул со скоростями, лежащими в интервале , равна . При достаточно большом числе молекул она равна вероятности того, что : . И, наконец, будем неограниченно уменьшать интервал ; тогда

. (6.38)

Это соотношение позволяет сформулировать физический смысл функции распределения Максвелла по скоростям: функция распределения численно равна доле молекул (вероятности) того, что молекула имеет скорость в промежутке , в расчёте на единичный интервал скоростей

. (6.39)

Аналогично ставится задача о функции распределения по компонентам (проекциям) скоростей. Пусть – число молекул, проекции скорости которых на ось ОХ лежат в интервале от v_х до v_х+dv_х. Доля таких молекул (равная вероятности ) пропорциональна интервалу dv_х, а коэффициент пропорциональности _х, зависящий от величины v_х, и есть функция распределения по компонентам скорости:

. (6.40)