Пример решения задачи 3.3

Пусть: m₁ =100, m₂ = 150, m₃ = 400 кг, М=4200+200t Нм, М_С =2000 Нм = соnst,

R₁=60, R₂=40 cм, r₂=20 cм, i_x1=20√2, i_xb= 30см, w₁₀= 2c^-1.

Найти уравнение вращательного движения звена второго механизма), а также окружное усилиеS в точке касания звеньев 1 и 2 и натяжение нити Т в момент времени t₁ (рис.3.6) .

Решение

К звену 1 механизма приложена сила тяжести , движущий момент М, составляющие реакции подшипника,, окружное усилиеи нормальная реакциязвена 2.

К звену 2 механизма приложена сила тяжести , момент сил сопротивления, составляющие реакции подшипника,, натяжение нити Т , к которой подвешен груз 3, окружное усилиеи нормальная реакциязвена 1.

К грузу 3 приложена сила тяжести , и натяжение нити Т.

Рисунок 3.6.

Очевидно: = -,= -и.

Составим дифференциальное уравнение вращения звена 1 вокруг неподвижной оси :

= .

Главный момент внешних сил, приложенных к звену 1 относительно оси

Момент М приводит в движение систему и поэтому принят положительным, а момент, создаваемый усилием , препятствует вращению звена 1 и, следовательно, отрицателен.

Дифференциальное уравнение вращательного движения звена 1 примет вид .

Выразим угловое ускорение звена 1 через угловое ускорениезвена 2.

Так как , то .

Тогда уравнение принимает следующий вид:

Для составления дифференциального уравнения вращения вокруг оси звена 2 , к которому подвешен груз 3, применим теорему об изменении кинетического момента

Кинетический момент системы 2-3 относительно оси

,

где - кинетический момент звена 2, вращающегося с угловой скоростьювокруг неподвижной оси;

- момент количества движения груза 3 , движущегося поступательно со скоростью V. Так как V= ,

,

где - приведённый к осимомент инерции системы 2-3.

Главный момент

Момент, создаваемый усилием , приводит к движению системы 2-3 и поэтому принят положительным, а момент силы тяжести грузаи момент сил сопротивленияпрепятствует движению системы и, следовательно, отрицательны.

Таким образом, получаем

Дифференциальное уравнение вращения звена 2:

= .

В полученной системе уравнений

Неизвестные усилия и угловое ускорение. Исключим, для чего первое уравнение этой системы умножим на, второе наи сложим соответствующие части уравнений:

(),

Отсюда .

Данное выражение определяет в общем виде угловое ускорение звена 2 механизма.

Учитывая исходные данные, найдём:

= 100(0,2)² = 8 кг м²,

=+= 150·0,3² + 400·0,2² =29,5 кг м²

тогда

Интегрируем это выражение дважды:

+ 0,4597t + ;0,672t³ + 0,230 t² + C₁t + C₂

Для определения постоянных интегрирования используем начальные условия задачи: при t = 0; = 0;

2 · = 3

Следовательно, = С₁ ; = С₂ , т.е. С₁ = 3 с^-1 , С₂ = 0.

Уравнение угловой скорости звена 2 имеет вид

2,017·t² + 0, 4597·t + 3, с^-1 .

Искомое уравнение вращательного движения звена 2 имеет вид

0,672·t³ + 0,230·t² + 3t, рад.

Окружное усилие S можно определить из уравнения:

, при t = 1 c

S =

Рис. 3.7.

=

Для определения натяжения нити Т составим дифференциальное уравнение вращения звена 2 в следующем виде (Рис.3.6):

Рис.11.5

=, из которогоT=,

при t = 1 c

Т=

Рис. 11.5.