§ 13.Сложение целых чисел и его свойства.

Определение 1.Суммой целых чисел иназывается целое число

Лемма 1: Операция сложения целых чисел определена корректно, т.е. результат выполнения сложения не зависит от выбора представителей классов эквивалентности.

Доказательство: Пусть ~ и (2)~Покажем, что (3)

Для (3) достаточно показать, что (5)~

Для (5) достаточно показать, что (6)

Из (1)

+

Из (2)

____________

т.е. (6)Теорема доказана.

Теорема 1: Алгебра является абелевой группой.

Доказательство: Покажем, что Ø. Так какØØ.

Из опр.1 и леммы 1 операция + является алгебраической на.

Так как сложение целых чисел сводится к сложению их представителей, т.е. к сложению натуральных чисел, а сложение натуральных чисел ассоциативно и коммутативно, то и сложение целых чисел является ассоциативным и коммутативным.

причем , так какПусть причем Таким образом,-абелева группа. Теорема доказана.

§ 14. Умножение целых чисел и его свойства

Определение 1. Произведением целых чисел называется целое число.

Лемма 1. Операция умножения целых чисел определена корректно, т.е. результат умножения не зависит от выбора представителей классов эквивалентности.

Доказательство.

Пусть (a,b)~(a₁,b₁) (1) и (c,d) ~(c₁,d₁) (2).

Докажем, что =(3).

Доказательство проведем в два этапа:

1-й этап - докажем, что =(4).

2-й этап – докажем что =(5).

1-й этап.

Для доказательства (4) достаточно показать, что (6).

Для доказательства (6) достаточно показать, что (ac+bd,ad+bc)~ (a₁c+b₁d,a₁d+b₁c) (7).

Для доказательства (7) достаточно показать, что ac+bd+a₁d+b₁c= ad+bc+a₁c+b₁d (8).

Докажем (8).

Из 1)a+b₁=b+a₁ (1^')

ac+b₁c=bc+a₁c (9)

Из 1^') b+a₁=a+b₁ (1^'')

bd+a₁d=ad+b₁d (10)

(9) + (10) (8)(7)(6)(4)

Таким образом, равенство (4) верно.

2-й этап.

Для доказательства (5) достаточно показать, что

(11).

Для доказательства (11) достаточно показать, что (ac+b₁d,a₁d+b₁c)~ (a₁c₁+b₁d,a₁d+b₁c₁) (12).

Для доказательства (12) достаточно показать, что a₁c₁ + b₁c₁= b₁d₁+a₁b₁ (13).

Докажем (13).

Из 2)c+d₁=d+c₁ (2^')

a₁c+a₁d₁=da₁+a₁c₁ (14)

Из 2^') d+c₁=c+d₁ (2^'')

d₁b+c₁b₁=cb₁+d₁b₁ (15)

(14)+(15) (13)(12)(11)(5)

Таким образом равенство (5) верно.

Из (4) и (5) (3). Лемма доказана.

Теорема 1. <Z ,∙> - абелев моноид.

Доказательство.

1) Из определения 42 и леммы 1операция ∙ является алгебраической наZ.

Так как ø , тоZ^'≠0<Z^',∙> - группоид.

2) Покажем, что <Z,∙> - полугруппа.

Пусть α=(),, Z.

Тогда =()=,

=x=y<Z,∙> - полугруппа.

3) Покажем, что <Z,∙> - абелева полугруппа.

Пусть α=(), Z.

=()=.

=x=y<Z,∙>- абелева полугруппа.

Покажем, что <Z,∙> - абелев моноид.

℮=Z, причем Z:

℮=.

Покажем, что x=α.

Действительно, an + a+ n + n=an + bn + b + a x=α.

Из 1) и 4) <Z,∙> - абелев моноид. Теорема доказана.

Теорема 2. <Z,+,∙> - кольцо ассоциативности с единицей.

Доказательство.

1. По теореме 33 <Z,+> - абелева группа.

2. По теореме 34 <Z,∙> - группоид.

3. Покажем, что в Z выполняются дистрибутивные законы.

Пусть α=(),, Z. Тогда (α+β)γ=(a+c,b+d)∙(m,n)= ,

αγ+βγ=+=x=yвыполняется правый дистрибутивный законвыполняется левый дистрибутивный закон

Из 1)-3) <Z,+,∙> - кольцо<Z,+,∙> - ассоциативное кольцо с единицей. Теорема доказана.