1.1.Абсолютная и относительная погрешности. Оценки погрешностей

Пусть имеется некоторая числовая величина X. Одно из её значений (которое требуется определить или задать) мы обозначим через X_с и будем называть точным значением числовой величины. Под приближенным значением X_a этой величины X мы будем понимать любое число, которое берется вместо X_с для каких-либо целей.

Абсолютной погрешностью приближения x_a называется .

Относительной погрешностью приближения x_a называется .

Как правило, абсолютные и относительные погрешности вычислить невозможно, т.к. обычно неизвестно точное значение X_c . В самом деле, если бы X_c было известно и его можно было бы записать в виде десятичной дроби с достаточно малым количеством значащих цифр, то никакой надобности в приближенном значении не было бы. Но некоторая информация о точном значении величины X все же должна быть. (в примере 1 – это может быть информация об условиях измерения и т.п.). Любая информация о точном значении X_c в конечном счете может быть сведена к утверждению вида:

X_c  E, (1)

где E – некоторое числовое множество, такое, что ему должно принадлежать точное значение X_c.

Чем больше информации имеется о точном значении X_c тем уже множество E и наоборот. Если E не ограничено, то при любом выборе приближения X_a абсолютная погрешность его может быть сколь угодна велика, и в таком случае использовать X_a нельзя. Поэтому в дальнейшем Мы будем рассматривать только те случаи, когда множество E является ограниченным. Тогда будет ограниченной и функция

, x  E. (2).

Эта функция обладает тем свойством, что есть абсолютная погрешностьX_a . Любая из верхних границ этой функции называется границей (оценкой) абсолютной погрешности X_a, и обозначается ∆X_a. Другими словами, ∆X_a – это такое положительное число, что

∆X_a (3)

Неравенство (3) равносильно неравенству:

X_a - ∆X_a X_c X_a + ∆X_a (4),

или отношению:

X_c [ X_a - ∆X_a; X_a + ∆X_a] (5).

Требование (5) фактически означает, что множество E должно содержаться в отрезке [ X_a - ∆X_a; X_a + ∆X_a]. Для ограниченного множества E всегда найдется ∆X_a такое, чтобы условие это выполнялось, причем, очевидно, таких ∆X_a можно найти сколь угодно много. Поэтому оценок абсолютной погрешности приближенного значения X_a обычно существует бесчисленное множество. В отличие от абсолютной погрешности X_a, ту или иную оценку абсолютной погрешности в принципе можно найти и именно оценка погрешности используется обычно в качестве меры точности приближения X_a вместо неизвестной абсолютной погрешности. При этом часто слово «оценка» опускается и вместо того, чтобы говорить «найти одну из оценок абсолютной погрешности X_a» говорят «найти погрешность X_a» или «оценить погрешность X_a». Если удается найти несколько оценок абсолютной погрешности X_a, в итоге выбирают наименьшую из них, т.к. именно наименьшая оценка является наиболее точной, наиболее близкой к точному значению абсолютной погрешности.

Пример. Пусть имеется информация о том, что точное значение некоторой числовой величины X_c  [a,b]. Тогда E=[a,b]. В качестве приближенного значения этой величины X_a выбрано некоторое число из [a,b]. Требуется найти оценку ∆ X_a абсолютной погрешности приближения X_a.

y

∆X_a

b-X_a B

X_a-a

x

b

X_c

X_a

a

0

Рис.1.

Из рис.1. видно, что в качестве ∆X_a можно выбрать любое число из промежутка [B,+∞), где (6)

Среди полученных оценок абсолютной погрешностью самой точной (самой близкой к точному значению погрешности ) является наименьшая из них, равнаяB.

Обобщим результат рассмотренного примера и дадим следующее определение:

Наименьшая из оценок абсолютной погрешности X_a при имеющейся информации о множестве E называется предельной абсолютной погрешностью X_a.

Таким образом, предельная погрешность X_a может быть вычислена по формуле:

(7)

и представляет собой лучшую и точную оценку погрешности X_a.

Пример. Требуется подобрать X_a в условии примера 1 так, чтобы предельная абсолютная погрешность X_a была наименьшей.

Если , то предельная абсолютная погрешностьX_a . Если жеX_a сдвинуть с этой точки вправо или влево (см. (6)), то предельная абсолютная погрешность увеличится. Следовательно, наименьшая предельная абсолютная погрешность получается в том случае, когда X_a совпадает с серединой [a,b], т.е. при . В этом случае предельная абсолютная погрешностьX_a, равная половине длины отрезка [a,b], т.е. .

Зная оценку абсолютной погрешности можно определить границу (оценку) относительной погрешности X_a по формуле:

(8)

Из (3) следует (9)

Оценок относительной погрешности также существует бесчисленное множество.