2.2.2 Неявно-явная конечно-разностная схема с весами. Схема Кранка-Николсона

Явная конечно-разностная схема (2.6), записанная в форме

, ,,, (2.72)

обладает тем достоинством, что решение на верхнем временном слое tk+1 получается сразу (без решения СЛАУ) по значениям сеточной функции на нижнем временном слое tk , где решение известно (при k = 0 значения сеточной функции формируются из начального условия (1.18)). Но эта же схема обладает существенным недостатком, поскольку она является условно устойчивой с условием (2.23), накладываемым на сеточные характеристики и h.

С другой стороны, неявная конечно-разностная схема (2.8), записанная форме

, ,, (2.73)

приводит к необходимости решать СЛАУ, но зато эта схема абсолютно устойчива.

Проанализируем схемы (2.72), (2.73). Пусть точное решение, которое неизвестно, возрастает по времени, т.е. . Тогда, в соответствии с явной схемой (2.72), разностное решение будет заниженным по сравнению с точным, так какопределяется по меньшим значениям сеточной функции па предыдущем временном слое, поскольку решение является возрастающим по времени.

Для неявной схемы (2.73) на возрастающем решении, наоборот, решение завышено по сравнению с точным, поскольку оно определяется по значениям сеточной функции на верхнем временном слое.

На убывающем решении картина изменяется противоположным образом: явная конечно-разностная схема завышает решения, а неявная - занижает (см. рис. 2.4).

уравнение порядок параболический аппроксимация

Рис. 2.4 - Двусторонний метод аппроксимации

На основе этого анализа возникла идея о построении более точной неявно-явной конечно-разностной схемы с весами при пространственных конечно-разностных операторах, причем при измельчении шагов и h точное (неизвестное) решение может быть взято в «вилку» сколь угодно узкую, так как если явная и неявная схемы аппроксимируют дифференциальную задачу и эти схемы устойчивы, то при стремлении сеточных характеристики h к нулю решения по явной и неявной схемам стремятся к точному решению с разных сторон.

Рассмотрим неявно-явную схему с весами для простейшего уравнения теплопроводности:

, (2.74)

где - вес неявной части конечно-разностной схемы,- вес для явной части, причем. Приимеем полностью неявную схему, при- полностью явную схему, и при- схему Кранка-Николсона.

В соответствии с гармоническим анализом для схемы (2.74) получаем неравенство

,

, (2.75)

причем правое неравенство выполнено всегда.

Левое неравенство имеет место для любых значений , если. Если же веслежит в пределах, то междуииз левого неравенства устанавливается связь

, , (2.76)

являющаяся условием устойчивости неявно-явной схемы с весами (6.109), когда вес находится в пределах .

Таким образом, неявно-явная схема с весами (2.74) абсолютно устойчива при и условно устойчива с условием (2.76) при.

Рассмотрим порядок аппроксимации неявно-явной схемы с весами (2.74), для чего разложим в ряд Тейлора в окрестности узла на точном решении значения сеточных функцийпо переменной t,,по переменной х и полученные разложения подставим в (2.74):

.

В этом выражении дифференциальный оператор от квадратной скобки в соответствии с дифференциальным уравнением (1.17) равен дифференциальному оператору, в соответствии с чем вышеприведенное равенство приобретает вид

После упрощения получаем

откуда видно, что для схемы Кранка-Николсона порядок аппроксимации схемы (2.74) составляет, т. е. на один порядок по времени выше, чем для обычных явных или неявных схем. Таким образом, схема Кранка-Николсона (2.74) приабсолютно устойчива и имеет второй порядок аппроксимации по времени и пространственной переменной х.