Тема 8. Эквивалентные преобразования

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие преобразования называются эквивалентными? Сформулируйте условия, которые должны быть выполнены при замене одного участка цепи другим, эквивалентным первому.

2. Каким путем можно преобразовать параллельно включенных сопротивлений (рис.8.1) в одно эквивалентное по величине сопротивле-

ние. Рис.8.1

3. Посредством каких вычислений можно перейти от пары параллельно соединенных сопротивленийи(рис.8.12,а) к двум эквивалентным последовательно соединенным сопротивлениями(рис.8.2) так, чтобы были равны полные комплексные сопротивления? Рис. 8.2

По каким

формулам определяются и? Каков характер сопротивления(индуктивный, емкостный)?

4. Каким образом производится эквивалентный переход от пары последовательно соединенных сопротивлений ик параллельному соединению сопротивленийи(рис.8.3)?

85

Рис.8.3

5. Каковы амплитуда тока и внутреннее сопротивлениеэквивалентного источника тока (рис. 8.4б), необходимые для обеспечения того же тока через нагрузку, что и от источника напряжения (рис.8.4а).

Рис.8.4

6. В чем заключается принцип (метод) наложения (суперпозиции), используемый для определения токов и напряжений в цепях с двумя или несколькими источниками? Примените его к простейшей цепи, показанной на рис.8.5, и определите токчерез сопротивление при заданных параметрах эле-

Рис. 8.5 ментов цепи.

86

7. Сформулируйте теорему компенсации. Какими параметрами должен обладать источник ЭДСна рис.8.6,б, чтобы при включении его в цепь вместо элемента(рис.8.16,а) напряжения и токи в ветвях остались прежними? Можно ли вместо компенсирующего источника ЭДС включить источник тока?

Рис.8.6

8. O чем говорит теорема Тевенена? Какими данными (,,,) должны обладать эквивалентные источники напряжения или тока (рис.8.7) для того, чтобы их можно было подключить к нагрузкевместо активного двухполюсника АД при условии сохранения токачерез нагрузку.

Рис.8.7.

Можно ли определить параметры эквивалентных по

87

теореме Тевенена генераторов напряжения и тока, воспользовавшись данными внешних (по отношению к АД) измерений, выполненных в соответствии со схемами рис.8.8 без

Рис 8.8 "вскрытия" схемы АД

(через А обозначен измеритель тока, а через V- напряжения)?

9. Какими данными (,) должен обладать эквивалентный в смысле теоремы Тевенена источник напряжения (рис.8.9,б), чтобы он "вел себя" по отношению к нагрузке также, как и активный двухполюсник АД, схема которого изображена в рамке на рис.8.9,а?

Рис.8.9

10. Каким образом можно преобразовать два параллельно соединенных источника тока и(рис.8.10,а) с внутренними сопротивлениямиив один эквивалентный источник тока (рис.8.10,б) или напряжения (рис.8.10,в)?

11. Преобразуйте два параллельно соединенных источника напряжения исо своими внутренними сопротивлениямии(рис.8.11,а) в один эквивалентный источник напряженияс сопротивлением(рис.8.11,б).

88

Рис.8.10

Рис.8.11

12. Какое преобразование можно применить для вычисления сопротивлениямежду вершинами мостиковой схемы на рис.8.12 ? Изобразите схему в преобразованном виде и запишите выражение для.

Рис.8.12

ЗАДАЧИ

8.1.(2 балла). Преобразуйте последовательное соединение активногоRи реактивногоCэлементов (для четныхN) илиRиL(для нечетныхN) с комплексным сопротивлениемв эквивалентное параллельное соединение аналогичных

89

элементов R_ЭиC_ЭилиR_ЭиL_Эс комплексным сопротивлениемZ_Этак, чтобы выполнялось условиеZ_Э=Z(рис.8.13а - для студентов с четными номерамиN, рис.8.13б - с нечетнымиN).

Рис. 8.13

Примите:

R= ( 500 + (-1)^GGN ) Ом,C= ( 500 + (-1)^N6 ( N + G ) ) нФ,

L= 100 cos(( N + G )⁰) мГн, ω = 10⁴рад/с.

Вычислите и внесите в АКОС для проверки:

R_Э, Ом - для студентов с четными и нечетными номерами приN≤13 ;

C_Э, нанофарад - для студентов с четными номерами приN>13;

L_Э, миллигенри - для студентов с нечетными номерами приN>13.

8.2.(2 балла). Преобразуйте параллельное соединение активного и реактивного элементовRиL(рис.8.14,а) для студентов с четнымиNилиRиC(рис.8.14,б) для студентов с нечетнымиNс комплексной проводимостьюYв последовательное соединение аналогичных элементов так, чтобы комплексная проводимость последовательного соединенияY_Эбыла равна исходной проводимостиY. Данные возьмите из задачи 8.1.

90

Рис.8.14

Внесите в АКОС для проверки значения:

L_Э, миллигенри - для студентов с четными номерамиNприN≤13;

C_Э, нанофарад - для студентов с нечетными номерамиN

при N≤13;

R_Э, ом - для студентов с четными и нечетнымиNприN>13.

8.3.(2 балла). Найдите эквивалентное сопротивление цепи (рис.8.15)Z_Э=R_Э+jX_Э =Zпри следующих данных:

X_L= ( 150 + (-1)^N2 (N - G )) Ом,

X_C= ( 100 + 2 N + 2 G ) Ом,

R= (400 + (-1)^N+G4 ( N + G )) Ом.

Рис. 8.15

91

Внесите в АКОС для проверки величину X_Эв омах со знаком минус, если она имеет емкостный характер, или со знаком плюс в противном случае.

8.4.(1 балл). Преобразуйте источник Э.Д.С. (рис.8.16,а) в эквивалентный источник тока (рис.8.16,б) так, чтобы напряжения на нагрузкеи токи через нее при равныхбыли одинаковыми, при следующих данных:

= 1000 |sin( N G рад )| В,

Z_e = ( 200 + 50 G - 4 N ) exp(j N G⁰) Ом.

Амплитуду тока эквивалентного источника I_mЭв милли-амперах внесите для проверки в АКОС.

Рис.8.16

8.5.(2 балла). В схеме (рис.8.17) методом преобразования источника токав эквивалентный источник ЭДСнайдите ток через емкостьдля четныхNили ток через индуктивностьдля нечетныхN.

Рис. 8.17

92

Дано: = ( 600 + (-1)^NN G ) exp(j(N+G)⁰ ) мА,

= ( 100 + 2 N + 4 G ) Ом,Z_L= ( 300 – 2 N – G²) Ом,

= ( 200+2 N + G²) Ом.

Амплитуду тока через емкость для четныхNили индуктивностьдля нечетныхNв миллиамперах внесите в АКОС для проверки.

8.6.(3 балла). Используя теорему Тевенена, преобразуйте цепь (рис.8.18,а) относительно ветвиR(выходные узлы) в эквивалентный источник ЭДСтак, чтобы напряжение на сопротивленииRв исходной (рис.8.18,а) и эквивалентной (рис.8.18,б) схемах было одинаковым.

Рис. 8.18

Вычислите по эквивалентной схеме (рис.8.18,б) напряжение на Rпри следующих данных:

R=R₁ =R₂=R₃= ( 100 + (-1)^N2 N ) Ом,

= ( 0,2 + 0,02 G ) А,= (800 + (-1)^N+G8 ( N + G ) ) В.

Внесите величину U_R, в вольтах в АКОС для проверки.

93

ДЛЯ ПЫТЛИВЫХ

8.1. При каком соотношении сопротивлений Z₁,Z₂,Z₃и

Z₄замыкание или размыкание ключа не приведет к изменению токов ни в одной из ветвей цепи на рис.8.19? Чему при этом равны напряжения на разомкнутом ключе и ток через замкнутый ключ?

Рис. 8.19

8.2. В схеме цепи рис.8.20 через сопротивлениеR₅протекает ток. Как необходимо изменить величины сопротивленийR₁,R₂,R₃иR₄, чтобы токчерезR₅сохранил свое значение и изменил направле-ние на противоположное? Како-вы все возможные решения этой задачи?

Рис. 8.20

8.3. Решите задачу 8.2 "для пытливых", заменив в схеме на рис. 8.20 активные сопротивления R₁,R₂,R₃,R₄иR₅комплексными сопротивлениямиZ₁,Z₂,Z₃,Z₄иZ₅. Изменятся ли и каким образом возможные решения задачи?

94