5. Метод комплексных амплитуд

5.1. Комплексная амплитуда гармонического сигнала

Комплексная амплитуда является комплексным числом (-мнимая единица), определяется толькоамплитудой и начальной фазойсигнала и не зависит от его частоты.

Комплексная амплитуда обозначается тем же символом, что и амплитуда сигнала, но с точкой сверху (в литературе используются и другие маркирующие отметки, например, горизонтальная черта сверху символа).

Например, если мгновенное значение гармонического напряжения равно В, то его комплексная амплитуда имеет видВ илиВ.

Если запись сигнала отличается от формы (5.1) то необходимо провести соответствующие тригонометрические преобразования, представленные в табл. 5.1.

Таблица 5.1

91

Если гармоническое напряжение имеет вид мВ, то после преобразования получиммВ, а комплексная амплитуда будет равнамВ.

5.2. Операции с комплексными числами

Комплексные числа могут быть записаны в двух формах: алгебраической и показательной.

В алгебраической формекомплексное числозаписывается в виде

, (5.2)

где -действительная, а-мнимаячасти комплексного числа,.

В показательной формекомплексное число представляется выражением

, (5.3)

величину называютмодулем, а-аргументомкомплексного числа.

От алгебраической формы можно перейти к показательной, модуль комплексного числа равен

, (5.4)

а аргумент

(5.5)

92

Аргумент комплексного числа, как и начальная фаза гармонического сигнала (подраздел 2.2), величина многозначная, к ней можно добавить (или вычесть) любое число раз. Для обеспечения однозначности аргумента комплексного числа его значения выбирают в диапазоне, например, отдоили от 0 до.

Показательную форму комплексного числа можно заменить алгебраической с помощью соотношений

(5.6)

Они вытекают из известной в математике формулы Эйлера,

(5.7)

Например, если комплексное число в алгебраической форме равно , то в показательной форме его можно записать в виде

.

Если комплексное число равно , то в показательной форме получим

.

Для комплексного числа в показательной форме в виде его алгебраическая форма имеет вид

.

93

С комплексными числами проводятся все четыре арифметические действия.

При сложении и вычитании комплексных чисел ив алгебраической форме получим

. (5.8)

Если числа заданы в показательной форме, то перед сложением или вычитанием их необходимо преобразовать в алгебраическую форму.

Операции умножения и деления удобнее выполнять в показательной форме, когда и, при этом при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются,

, (5.9)

а при делении делятся модули и вычитаются аргументы,

. (5.10)

Умножение можно провести и с алгебраической формой сомножителей по известным правилам с учетом того, что ,

. (5.11)

При делении комплексных чисел в алгебраической форме используется операция устранения комплексности в знаменателепутем умножения числителя и знаменателя дроби на число,комплексно сопряженноезнаменателю. Для заданного числакомплексно сопряженное число

94

равно , то есть отличается отпротивоположным знаком примнимой части. Произведение двух комплексно сопряженных чисел всегда равно квадрату их модуля,

. (5.12)

Тогда при делении в алгебраической форме получим

(5.13)

Рассмотрим пример и, тогда

,

Эти операции можно провести и в показательной форме, тогда

,

,

95

,

.

Как видно, полученные результаты совпадают.

Полезно запомнитьследующие равенства, вытекающие из формулы Эйлера (5.7),

Вычисления с комплексными числами удобно проводить на персональной ЭВМ с помощью пакета программ MathCAD.

5.3. Законы Ома и Кирхгофа для комплексных амплитуд

токов и напряжений

Законы Ома и Кирхгофа применимы в своих классических формулировках для комплексных амплитуд токов и напряжений.

96

Знаки в алгебраических суммах определяются выбранными положительными направлениями токов и напряжений и направлением обхода контура.

5.4. Комплексные сопротивления и проводимости

элементов цепи

Значения комплексных сопротивлений и проводимостейэлементов цепиR,LиCприведены в табл. 5.2 (запомните эти формулы).

Таблица 5.2

	R	L	C
Комплексное сопротивление
Комплексная проводимость

97

Комплексные сопротивление и проводимость сопротивления всегдадействительны(мнимая часть равна нулю), а индуктивности и емкости –мнимые (действительная часть равна нулю).

Для комплексного сопротивления из закона Ома (5.14) можно записать

, (5.17)

где - сдвиг фаз между напряжением и током в элементе. Для сопротивлениянапряжение и ток совпадают по фазе, то естьи из (5.17) величинадействительна.

В индуктивности напряжение опережает по фазе ток на 90⁰(нарадиан), следовательно, тогдаи величина комплексного сопротивления индуктивностиоказывается снулевойдействительной иположительноймнимой частями. В емкости,и ее комплексное сопротивление имеетнулевуюдействительную иотрицательнуюмнимую части.

Аналогичный анализ проводимости элементов цепи проведите самостоятельно.

5.5. Комплексные сопротивление и проводимость

участка цепи

Полные комплексные сопротивления (и проводимости) двухполюсного участка цепи с произвольным соединением элементов определяются по тем же правилам, что и для цепи постоянного тока:

- комплексное сопротивление последовательногосоединения двухполюсников равносуммеих комплексных сопротивлений;

98

- комплексная проводимость параллельногосоединения двухполюсников равнасуммеих комплексных проводимостей.

Например, сопротивление последовательной цепи, показанной на рис. 5.1а прикОм ипФ на частотекГц равнокОм,

а проводимость параллельной Рис. 5.1.

цепи на рис 5.1б -

Сим.

Зная комплексное сопротивление цепи, можно определить ее комплексную проводимость и наоборот,

(5.18)

Например, для последовательной цепи на рис. 5.1а ее проводимость равна

Расчет проведен методом устранения комплексности знаменателя путем умножения числителя и знаменателя дроби на множитель, комплексно-сопряженный знаменателю.

99

Можно провести вычисление проводимости путем преобразования комплексного сопротивления из алгебраической формы в показательную,

.

Тогда для проводимости получим

Комплексное сопротивление цепи со смешанным соединением элементов определяется следующим образом:

- в цепи выделяется фрагмент с простым (последовательным или параллельным) соединением элементов и определяется его сопротивление или проводимость;

- фрагмент заменяется эквивалентным элементом, в полученной цепи вновь выделяется простой фрагмент и повторяется предыдущее действие;

- эти действия повторяются до тех пор, пока цепь не трансформируется в один элемент с соответствующим сопротивлением или проводимостью.

100

Рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 5.2 прикОм,нФ,рад/с и определим ее комплексное сопротивление. В цепи выделяется простой параллельный фрагмент из элементов

и определяется его сопро-

тивление , равное Рис. 5.2

.

Тогда параллельный фрагмент заменяется эквивалентным элементом с сопротивлениеми схема цепи принимает вид, показанный на рис. 5.3.

Для полученной последовательной цепи ее сопротивлениеравно

.

.

Подставляя исходные данные, получим Рис. 5.3

Ом.

5.6. Характеристики комплексного сопротивления

и проводимости

Полное комплексное сопротивление в показательной форме можно записать в виде

101

. (5.19)

Модулькомплексного сопротивления равен отношению амплитуд (действующих значений) напряжения и тока,

. (5.20)

Аргументкомплексного сопротивления равенсдвигу фазмежду напряжением и током,

, (5.21)

Комплексная проводимость в показательной форме имеет вид

, (5.22)

ее модульравен отношению амплитуд (действующих значений) тока и напряжения,

, (5.23)

а аргумент– сдвигу фаз между током и напряжением,

. (5.24)

Таким образом, комплексное сопротивление и проводимость характеризуют взаимосвязь амплитуд и начальных фаз напряжения и тока.

102

Представим комплексное сопротивление в алгебраической форме,

, (5.25)

где -активнаяа,-реактивнаясоставляющие комплексного сопротивления. Все величины в (5.25) измеряются в Омах.

Рассмотрим в качестве примера сопротивление цепи, показанной на рис. 5.2.

. (5.26)

Как видно, активная составляющая сопротивленияравна

, (5.27)

а реактивная -

, (5.28)

и обе зависят от частоты сигнала.

Зависимости от частоты активнойи реактивнойсоставляющих сопротивления для цепи рис. 5.2 показаны на рис. 5.4. На низких частотахемкость является разрывом цепи и сопротивлениеОм. На высоких частотахемкость представляет собой короткое замыкание (ее сопротивление стремится к нулю) и сопротивление цепи равноОм. И в том и другом случаях реактивное сопротивление стремится к нулю.

103

При рад/с получается ранее вычисленное значениеОм.

Рис. 5.4.

Аналогичный анализ проводимости цепи, показанной на рис. 5.2, проведите самостоятельно.

5.7. Комплексная мощность

Это комплексная величина с действительной и мнимой частями,

. (5.30)

Комплексная мощность измеряется в ВА(вольт-амперах).

104

Как видно, действительная(активная) составляющая

комплексной мощности представляет собой среднюю мощность ,потребляемуюдвухполюсником,

. (5.31)

Как уже отмечалось, активная мощность измеряется в ваттах.

Мнимая(реактивная) составляющаякомплексной мощности равна

(5.32)

и характеризует процессы накопления и обмена энергией с источником в реактивных элементах цепи. Эта мощность не расходуется цепью и измеряется в ВАр(вольт-амперы реактивные), она численно равна максимальной скорости запасания энергии в цепи. Реактивная мощность может быть положительной (при), при этом энергия запасается в магнитном поле индуктивностей, или отрицательной (при) при накоплении энергии в электрическом поле емкостных элементов.

Модуль комплексной мощности равен

(5.33)

и измеряется в ВА. Величину называютполной мощностью,она определяется активной и реактивной мощностями,

. (5.34)

Можно записать

105

, (5.35)

величину называюткоэффициентом мощности. Припотребляемая мощностьмаксимальнаи равна полной мощности , а реактивная мощностьравна нулю.

Если для вычисления мощности используются действующие значениянапряжения и тока, то в приведенных соотношениях удаляется множитель.

5.8. Расчет мощности, потребляемой двухполюсником

Зная комплексные амплитуды напряжения и тока, согласно (5.29), можно определить комплексную мощность, например, при В иА получим, что сдвиг фаз между напряжением и током равен. Тогда комплексная мощность равна

ВА,

активная составляющая (потребляемая мощность) -

Вт,

реактивная мощность –

ВАр,

а полная мощность -

ВА.

106

Отрицательная реактивная мощность свидетельствует о том, что цепь накапливает энергию в емкостном элементе. Так как коэффициент мощности равен , то потребляемая мощность существенно меньше полной.

Мощности можно определить, зная комплексную амплитуду напряжения (или тока) и комплексное сопротивление (проводимость) цепи.

Рассмотрим цепь на рис. 5.2 с подключенным к ней идеальным источником гармонического напряжения, показанную на рис. 5.5.прикОм,нФ,В. Ком-

плексная амплитуда ЭДС Рис. 5.5

источника равна В,

а комплексное сопротивление цепи было определено ранее,

Ом.

По закону Ома найдем комплексную амплитуду тока ,

мА,

а полная комплексная мощность равна

ВА,

или в алгебраической форме

107

ВА.

Таким образом, потребляемая цепью мощность равна Вт, реактивная мощность -ВАр, а полная мощность -ВА.

На практике наибольший интерес представляет определение мощности, которую потребляет цепь от одного или нескольких источников. Необходимо помнить, что в электрической цепи мощность потребляется только активными элементами – сопротивлениями.

Потребляемую мощность в цепи, содержащей несколько сопротивлений, можно определить, если известны амплитуды (действующие значения) токов или напряжений на этих элементах.

Расчет токов и напряжений на элементах цепи будет рассмотрен в дальнейшем.

В цепи с комплексным сопротивлениемпри протекании через нее тока с амплитудойпотребляемая мощность равна

. (5.36)

Аналогично в цепи с комплексной проводимостью при наличии на ней напряжения с амплитудойпотребляемая мощность будет равна

. (5.37)

108

5.9. Максимизация потребляемой мощности

В инженерной практике часто возникает необходимость обеспечить максимум активной мощности, передаваемой от источника сигнала в нагрузку.

В качестве примеров можно выделить задачу максимизации мощности на валу электродвигателя при питании его от силовой сети. Аналогичная проблема возникает при передаче высокочастотной мощности от выходного усилителя радиопередатчика в антенну для излучения электромагнитных волн (высокочастотная мощность стоит очень дорого как с экономической, так и с технической точки зрения).

Схема электрической цепи показана на рис. 5.6. В цепь включен реальный источник напряжения с комплексной амплитудой ЭДСи внутренним комплексным сопротивлением, к которому подключена нагрузка с комплексным сопротивлением.

Необходимо подоб- Рис. 5.6.

Рать такое сопротивление

нагрузки, при котором она потребляла бы от источника максимальную мощность.

Комплексная амплитуда тока в цепи равна

,

тогда для амплитуды тока получим

109

, (5.38)

в выражение для потребляемой мощности примет вид

, (5.39)

так как мощность потребляется только в активном сопротивлении .

Необходимо определить максимум (5.39) по двум независимым переменным – активному и реактивномусопротивлениям нагрузки. Как видно, величинаприсутствует только в знаменателе дроби и суммавозводится в квадрат. Минимум знаменателя будет иметь место при условии

или. (5.40)

Таким образом, реактивное сопротивление нагрузки должно быть по модулю равно реактивному сопротивлению источника и иметь противоположный характер(если у источника сопротивление индуктивно, то у нагрузки оно должно быть емкостным и наоборот). В результате получим

. (5.41)

Максимум (5.41) по можно найти, вычислив производную этой функции и приравняв ее нулю. В результате получим (проделайте это самостоятельно)условия, при которых

110

потребляемая нагрузкой мощность максимальна,

(5.42)

и соответствующую величину мощности

. (5.43)

Зависимости мощности в нагрузкеотпри(сплошная линия) иОм (пунктирная линия) показаны на рис. 5.7 приОм иВ.

Как видно, при отклонении от оптимальных условий (5.42) потребляемая нагрузкой мощность замет но снижается. Рис. 5.7

Рассмотрим коэффи-

циент полезного действия (КПД) – отношение мощности в нагрузке к мощности, потребляемой от источника сигнала, при условии (5.40) равной

. (5.44)

тогда КПД равен

. (5.45)

111

Зависимость КПД от активной составляющей сопротивления нагрузки показана на рис. 5.8. Как видно, при условии передачи максимума мощности в нагрузку КПД равен 0,5 (50%), то есть половина мощности источника потребляется его же внутренним со-

Рис. 5.8 противлением (происходит на-

грев источника). При повышении КПД увеличивается, однако при этом снижается мощность, передаваемая в нагрузку.

5.10. Задания для самостоятельного решения

Задание 5.1.Определите комплексные амплитуды гармонических сигналов

В,мВ

мА,А.

Задание 5.2.По заданной комплексной амплитуде определите мгновенные значения сигналов, их амплитуды и начальные фазы

В,мВ,В,мВ,

мА,А,мА,мкА.

Задание 5.3.Вычислите сумму, разность, произведение и частное комплексных чисели, результаты запишите в алгебраической и показательной формах.

	4-j3	7-j4	-j	2		20+j3
	-8+j2	-j5	j	-1-j	5+j2

112

Задание 5.4.Для чисел из задания 5.3 вычислите их модуль и аргумент, а также обратную величину.

Задание 5.5.Найдите полное комплексное сопротивлениеи проводимостьпоказанных на рис. 5.9 цепей прикОм,мГн ипФ на частотерад/c.

Рис. 5.9

Задание 5.6.Получите общие формулы для полного комплексного сопротивления цепей из задания 5.5. Найдите формулы его модуля, аргумента, активной и реактивной составляющих, постройте их графики в зависимости от частоты сигнала.

Задание 5.7.Вычислите мощность, потребляемую показанной на рис.5.10 цепью при ЭДС источникаВ,

кОм инФ. Рис. 5.10

Задание 5.8.Определите мощность, потребляемую показанной на рисунке цепью от источника токамА прикОм,мГн инФ.

Рис. 5.11

113