2.7. Обработка результатов измерений

Запись результатов измерений

Результаты, полученные в процессе измерений, следует представлять в удобном для дальнейшей обработки виде. При этом надо записывать столько значащих цифр, сколько позволяет получить отсчетное устройство измерительного прибора. Значащими считаются все цифры в числовом результате, в том числе й нуль, если он стоит в середине или в конце числа. Так, числа 1,5; 0,15; 0,0015; 1,5·10^-4; 1,5·10³; 15 имеют две значащие цифры; числа 1,50; 15,0; 150; 15,0·10^-4; 15,0·10² — три значащие цифры; числа 1,500; 15,00; 1500; 0,01500; 150,0·10³ — четыре значащие цифры и т. д.

Из-за наличия погрешностей в результате любого измерения получают, как правило, только приближенные значения измеряемой величины. Поэтому при обработке результатов измерений имеют дело с приближенными числами, в которых содержится некоторое количество верных знаков. Верными считаются все знаки в числовом результате, достоверность которых не вызывает сомнения. Количество верных знаков обусловлено свойствами и точностью аппаратуры, с помощью которой проводятся измерения. В каждом случае числовой результат следует записывать так, чтобы значащих цифр было на единицу больше, чем верных знаков. Например, запись 26,18 показывает, что верных знаков в таком числе три (26,1). Последний знак (8) не является достоверным; он служит для подтверждения достоверности предыдущего знака.

При записи окончательных результатов измерений нужно придерживаться следующих правил. При очень точных намерениях в полученном результате последний знак (сомнительный) может отличаться не более чем на единицу в ту или другую сторону, т. е. абсолютная погрешность не должна превышать ± 1 последнего знака числа. Значение измеренной величины с учетом абсолютной погрешности следует записывать так: А₁ = 0,999727±0,000001 или А₂ = 3,475± 0,001 и т. д. В табличной записи абсолютные погрешности указывать не принято. Если абсолютная погрешность выходит за указанные границы, ее значение приводится обязательно, например А₃= 657,274±0,003 или А₄ = 3,75±0,04.

Если число имеет большое количество знаков и точность его оказывается излишне высокой по сравнению с другими, результат следует округлять. При этом лишние знаки отбрасывают, а последнюю из оставшихся цифр увеличивают на единицу, если первая из отбрасываемых цифр больше 5. В случае необходимости вводят множитель в виде десяти в соответствующей степени. Так, скорость света рекомендуется принимать равной

с = (2,997925±0,000003) ·10⁸ м/с = (2,997925±0,000003) ·10⁵ км/с или с =299792,5+0,3 км/с. Округлить это число можно так: с ≈ 2998·10² км/с. Более распространенным округлением является с ≈ 3·10⁵ км/с В последнем случае запись с=300 000 км/с неверна, так как все знаки, за исключением последнего, следует считать верными и, значит, скорость света 300 000 км/с известна с точностью до ±1 км/с, что неверно.

Таким образом, при окончательной записи результата измерения нужно указывать его погрешность (абсолютную или относительную); если она не указывается, то следует считать абсолютную погрешность данного числа равной ±1 его последнего знака.

Представление данных измерений. Интерполяция и экстраполяция

Результаты измерений обычно записывают в виде таблиц, форма которых зависит от числа измеряемых физических величин, числа измерений и величин, подлежащих вычислению.

При обработке результатов измерений переменных, функционально связанных величин, широко используются графики. Так, измеряя значения y отвечающие отдельным значениям х записывают в таблицу соответственные пары значений х₁ и у₁, х₂ и у₂ , х₃ и у₃ ,…, по которым составляют графическую зависимость в прямоугольной, реже — в полярной системе координат. Если функционально связаны три переменные величины: то часто одной из величин, например z дают ряд последовательных значений z₁, z₂, z₃ и для каждого из них экспериментально определяют функциональную зависимость двух других: строят семейство кривых y=F(x) для каждого z_i Графики строят по экспериментальным точкам (данным измерения), каждая из которых измерена с некоторой погрешностью. Поэтому график вычерчивают так, чтобы он плавно проходил возможно ближе ко всем точкам, а . не просто соединял их ломаной линией. Графическое изображение результатов измерений позволяет наглядно представить взаимную зависимость исследуемых величин, определить неизвестные величины по известным, интерполировать и экстраполировать данные измерений. Графики для интерполирования и экстраполирования вычерчиваются с большой точностью в крупном масштабе.

Функциональную зависимость между результатами измерений можно выражать алгебраическими уравнениями — эмпирическими формулами. Такие уравнения (формулы) для установленной при измерениях функциональной зависимости y=F(x) подбираются в два этапа: сначала выбирается вид формулы, а затем находятся численные параметры, для которых приближение к искомой функции оказывается наилучшим. Рекомендации по составлению уравнений и определению параметров эмпирических кривых даны в литературе по математической обработке результатов измерений.

Табличная форма представления результатов измерения имеет дискретный характер. В тех случаях, когда необходимо найти значение функции для произвольных значений аргумента, не совпадающих с табличными, приходится прибегать к интерполяции или экстраполяции. Когда значение искомого аргумента задано внутри области его табличных значений, то данные измерений интерполируют, если же значение аргумента задано вне табличной области — экстраполируют. Разработаны различные аналитические способы интерполяции и экстраполяции по табличным данным.. Наиболее простои является линейная интерполяция, при которой допускают, что приращение функции пропорционально приращению аргумента. Сложнее пользоваться интерполяционными формулами Ньютона, формулами центрированных разностей и интерполяционными полиномами.

Как уже упоминалось, интерполяцию и экстраполяцию можно проводить графически; это наиболее простой и удобный способ, но точность его ограничена точностью построения графика.

Определение погрешности измерения

Способ оценки погрешностей выбирается в зависимости от измеряемой величины, условий измерения, выбранных метода и приборов. Шкалы измерительных приборов градуируют так, чтобы абсолютная погрешность при отсчете не превышала 0,5 самого малого деления шкалы; например, при отсчете по миллиметровой шкале абсолютную погрешность принимают равной 0,5 мм.

Обработка результатов измерения состоит в определении приближенного значения измеряемой величины А и указании ее погрешности Если измерения проводятся по одной и той же методике средствами одинаковой точности и при неизменных внешних условиях, то такие измерения называют равноточными. При равно-точных измерениях ряда значений результаты измерений обрабатывают в следующей последовательности:

- вычисляют среднее арифметическое A по формуле (2.10);

- определяют приближенное значение среднего квадратического отклонения S по формуле (2.13);

- вычисляют приближенное значение среднего квадратического отклонения величиныпо формуле (2.14);

-вычисляют при необходимости среднее относительное квадратическое отклонение по формуле (2.15);

-устанавливают доверительный интервал и максимальную погрешность найденного значения А

Величину принимают за значение измеряемой величины, а S и характеризуют точность измерений и полученного результата Полученные при обработке данные можно записать в виде. . Обработка результатов измерения сопротивления резистора продемонстрирована на примерах с большим и малым числом измерений.

П р и м е р 1. 16 отсчетов измерений сопротивления и вычисления скобок и

сведены в таблицу 2.3; по этим данным определяют:

Полученный результат записывают так: . Если принять предельную погрешность, то результат можно записать в видеОм; n=16

Таблица 2.3

i	ai
1	84,17	-0,26	0,0676
2	84,35	-0,08	0,0064
3	84,97	+0,54	0,2916
4	84,86	+0,43	0,1849
5	84,24	-0,19	0,0361
6	84,64	+0,21	0,0441
7	83,94	-0,49	0,2401
6	84,30	-0,13	0,0169
9	84,73	+0,30	0,0900
10	83,71	-0,72	0,5184
12	85,66	+ 1,23	1,5129
12	84,38	-0,05	0,0025
13	84,21	-0,22	0,0484
14	84,19	-0,24	0,0576
15	84,21	-0,22	0,0484
16	84,32	-0,11	0,0121
		+2,71
		- 2,71

Полная обработка результатов измерений требует знания доверительной вероятности. В зависимости от постановки задачи задаются чем-то одним и определяют второе. Для данного примера вероятность того, что результат измерения не выйдет за пределы 84,3< a_i <84,5, определяется по таблице (приложение 1). Установленный доверительный интервал ±0,1 пересчитывается в долях 0,1 : 0,46 = 0,218, и по таблице определяется значение доверительной вероятности для х =0,2. Это означает, что только 1/6 результатов измерений уложится в интервал ошибок ±0,1.

Решим обратную задачу — каким должен быть доверительный интервал, чтобы примерно 93% всех результатов попали в него? Из той же таблицы (приложение 1) находил, что значение соответствует следовательно, т. е. определяем с доверительной вероятностью 0,93.

Пример 2. Рассмотрим пример обработки результатов при малом числе измерений. Используем для этого первых три измерения

^{из табл. 2.3. (n = 3) Среднее арифметическое А=84,4966 Ом округляем до . Среднее} квадратическое отклонение = ± 0,42 Ом. Средняя квадратическая погрешность результата

Зададим надежность α = 0,93 и определим соответствующий коэффициент t_α по таблице приложения 3; путем интерполяции находим значение t_α =3,750. Доверительный интервал точности определения БудетТаким образом, можно утверждать с вероятностью 0,93, что .Ом

В заключение отметим, что при практической работе средней квадратической погрешностью единичного измерения σ следует пользоваться в тех случаях, когда требуется характеризовать точность применяемого метода измерений, а средней квадратической погрешностью среднего арифметического, когда оценивается погрешность значения (числа), полученного в результате обработки измерений.