Очевидно, что npv(I) – линейная функция I при заданных r, n, I. Зависимость npv(I) проекта (7.1) от величины вложенных инвестиций имеет вид:

Рис. 1.7.5

Выколотая точка на вертикальной оси означает, что проект с нулевыми инвестициями и ненулевыми доходами не существует. С увеличением инвестиций I NPV(i) проекта уменьшается. На этом рисунке значению NPV(i) = 0 соответствует максимальный уровень затрат I_max = Ra_n,i, при котором проект не является убыточным. Если при некотором значении затрат I величина NPV(i) > 0 и инвестиции в проект увеличить на величину (см. рис. 7.5), то чистая современная стоимость полученного проекта станет равной нулю. На рисунке длины отрезков NPV(i) и равны между собой, как стороны прямоугольного равнобедренного треугольника. При этом длина отрезка = Ra_n,i – I = NPV(i) > 0. Таким образом, увеличение инвестиций на величину, не превышающую = NPV(i) > 0, позволяет избежать убытков. Увеличение инвестиций на величину, превышающую , приводит к отрицательному значению чистой современной стоимости проекта, т.е. к убыткам (см. свойство 3 NPV(i), параграф 1.6).

3) Очевидно, что чем меньше инвестиции, тем меньше срок окупаемости проекта. Уточним эту зависимость для проекта (7.1), считая заданными r, n, I.

Для существования срока окупаемости проекта (7.1) необходимо (но недостаточно), чтобы выполнялось условие (7.6). Значит, инвестиции I в проект таковы, что . Найдем все решения уравнения (7.4) для . Те из них, которые удовлетворяют условию n^* n, являются сроком окупаемости проекта. Рассмотрим (7.7):

.

Дифференцируем это выражение по I. Получаем . Значит, n^*(I ) –возрастающая выпуклая функция на множестве . Кроме того, и . Зависимость n^*(I) показана на рисунке:

Рис. 1.7.6

С увеличением инвестиций I срок окупаемости проекта увеличивается. На этом рисунке значению n^* = n , где n – срок проекта, соответствует максимальный уровень затрат I_max = Ra_n,i, при котором проект не является убыточным. Действительно, если I > I_max , то n^* > n – проект не имеет срока окупаемости, следовательно, является убыточным. И наоборот, значениям I < I_max соответствуют n^* < n. Проект имеет срок окупаемости и за время n позволит получить прибыль.

4 ) Так как , зависимость индекса доходности от величины вложенных инвестиций при заданных r, n, I имеет вид:

Рис. 1.7.7

С увеличением инвестиций в проект его индекс доходности уменьшается. Значению d = 1 соответствует максимальный уровень затрат I_max = Ra_n,i, при котором проект не является убыточным. Действительно, если I > I_max , то d < 1 – проект является убыточным. И наоборот, значениям I < I_max соответствуют d > 1 – проект является прибыльным.

Итак, показатели IRR, NPV(i), PI уменьшаются при увеличении инвестиций в проект, а показатель DPP увеличивается. Это означает, что в отношении увеличения инвестиций в проект все показатели ведут себя одинаково: каждый из них указывает на снижение эффективности проекта. Максимальный уровень затрат I_max = Ra_n,i, при котором проект не является убыточным, соответствует следующим значениям показателей: NPV(i) = 0, IRR = i, DPP = n, PI = 1.

Пример 7.1. Рассчитать, как изменится оценка проекта А(–100,–20,20,20,80,50,10,20), ставка дисконтирования i = 11 % годовых, если увеличить инвестиции в этот проект в конце 2-го года до 25 д.е.

В результате увеличения инвестиций в проект в конце 2-го года будет получен новый проект В(–100,–25,20,20,80,50,10,20). Показатели эффективности проектов следующие:

NPV(i)^A = 10,2; IRR^А = 13,3 %; = 6; d^А = 1,086;

NPV(i)^B = 5,7; IRR^В = 12,3 %; = 7; d^B = 1,046.

Увеличение инвестиций в проект А привело к уменьшению его показателей NPV(i),  IRR, PI и увеличению срока окупаемости. Для обоих проектов NPV(i) > 0, i < IRR, d > 1 - проект остался выгодным. Так как NPV(i)^В < NPV(i)^А  и d^B < d^А, то проект стал менее прибыльным. Так как IRR^В < IRR^А , то проект стал более рискованным (уменьшилась разность IRR – i ).

Замечание. Рассмотреть самостоятельно зависимость показателей эффективности проекта (7.1) от величины его доходов R.

Зависимость показателей эффективности от ставки дисконтирования i рассмотрим при заданных доходах R, сроке проекта n, инвестициях I. Параметры R, n, I определяют значение показателя внутренней нормы доходности (IRR) проекта. Установим множество значений показателя IRR при заданных R, n, I. Значение показателя IRR при заданных R, n, I - решение r уравнения доходности (7.3). Покажем, что r > 0 тогда и только тогда, когда I < nR. Из уравнения доходности имеем:

Ra_n,r = I .

Тогда коэффициент дисконтирования . С другой стороны, . Если решение уравнения (7.3) r > 0, тогда a_n,r < n. Значит, . Отсюда I < nR. И наоборот. Пусть I < nR. Тогда согласно теореме 4.2 уравнение (7.3) имеет единственное положительное решение r > 0. Несложно убедиться, что отрицательное решение уравнения (7.3) r < 0 соответствует условию I > nR, что означает заведомую убыточность проекта. Этот случай может представлять только теоретический интерес, как и значения . Таким образом, в общем случае r . Однако если значения R, n, I заданы, то можно показать, что . В этом случае показатель r . Таким образом, при заданных R, n, I показатель IRR проекта фиксирован и принимает одно из значений из указанного интервала.

1) Рассмотрим зависимость показателя NPV(i) от ставки дисконтирования i. Будем считать, что параметры R, n, I таковы, что I < nR, что обеспечивает положительное значение показателя IRR проекта.

Имеем: NPV(i) = Ra_n,i – I , где коэффициент дисконтирования ренты . Тогда , . Значит, NPV(i) – убывающая выпуклая функция i на множестве , причем NPV(i = 0) = nR – I > 0, . График функции NPV(i) имеет вид:

Рис. 1.7.8

С увеличением ставки дисконтирования значение показателя NPV(i) уменьшается, причем в точке i = r, где r - значение IRR проекта, NPV(r) = 0. При 0 i < r , как и было установлено, NPV(i) > 0 и NPV(i) < 0 если i > r (см. свойство 3 показателя IRR, параграф 1.6). Увеличение ставки дисконтирования делает проект менее выгодным или вообще неприемлемым. И наоборот, чем меньше ставка дисконтирования i < IRR, тем более выгодным является проект. Таким образом, инвестор заинтересован в том, чтобы ставка дисконтирования была меньше.