3. Содержание дисциплины и методические указания

Раздел 1. Математические основы построения дискретных систем автоматики

Системы счисления. Двоичный, десятичный, восьмеричный, шестнадцатеричный коды. Перевод из одной системы счисления в другую.

Двоичная арифметика. Устройства для выполнения арифметических операций. Сумматоры. Представление отрицательных чисел. Сдвиговые регистры.

Литература: [1].

Методические указания

Следует уяснить, что Системой счисления называется совокупность цифровых знаков и правил их записи, применяемая для однозначного изображения чисел.

Позиционными называются такие системы, в которых применяется ограниченный набор цифр, причем значение каждой цифры находится в строгой зависимости от ее позиции в числе. Количество различных цифр, применяемых в данной системе, называется ее основанием.

На пример десятичная система, в ней применяются десять цифр: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; поэтому ее основанием является число десять. Произвольное десятичное число , можно представить в следующем виде: . В левой части равенства записано символическое изображение числа. Правая часть равенства показывает, что все цифры числа в разных позициях имеют разныйвес. Каждая позиция с присвоенными ей номером и весом называется разрядом числа. В частности, единица в первом разряде означает сотню, а единица во втором разряде — только десяток. Анализ; структуры числа показывает, что любое десятичное число' может быть представлено в виде суммы попарных произведений:

(1)

где = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} — некоторая цифра данной системы; J — количество разрядов в целой части числа (до запятой) ; F — количество разрядов в дробной части числа (после запятой); — разрядный вес некоторой цифры.

В определении позиционных систем счисления не наложено никаких ограничений на величину основания. Отсюда очевидно, что основанием системы счисления может быть не только число десять, но и любое другое целое число. При этом структурно некоторое число в другой системе счисления также будет состоять из суммы по парных произведений цифр и степеней основания системы. Если основанию новой системы присвоить по аналогии с числом десять обозначение 10, то формула (1|) будет справедливой для записи чисел в любой системе счисления. В частности, можно, например, рассмотреть. двоичную систему счисления, основанием которой является число два, и, следовательно, для изображения чисел применяются всего две цифры: ={0, 1}. Основание системы счисления два можно записать с помощью имеющихся цифр только одним способом, т. е. в виде числа 10. Таким образом, любое число в двоичной системе записывается в виде комбинации нулей и единиц, расставленных согласно формуле (1). Так, уже рассмотренное нами десятичное число 118,375 в двоичной системе запишется следующим образом:=1110110,011 =. Индекс в круглых скобках показывает величину основания системы, в которой записано данное число.

Используя формулу (1), можем записать это же число в восьмеричной системе счисления: . Для изображения чисел в этой системе применяются восемь цифры:={0, 1,2,3,4,5,6,7}.

Используя формулу (1), так же можем записать это же число в шестнадцатеричной системе счисления: Эта система состоит из 16 цифр={0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}.

Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую.

Исходя из, вышеизложенного, запишем правило перевода целых чисел из одной позиционной системы в другую: для перевода целого числа из одной позиционной системы в другю его надо последовательно делить на основание новой системы до тех пор„ пока не получится частное, у которого целая часть равна 0. Число в новой системе счисления записывается из остатков от последовательного деления, причем последний остаток будет старшей цифрой нового числа. Заметим, что вычисления, осуществляемые по этому правилу, должны выполняться в исходной системе счисления.

Пример 1. Перевести из десятичной системы в двоичную целое число Х= 118.

Решение. Производим последовательное деление исходного числа:

Пример 2. Перевести десятичное число Х= 118в .восьмеричную систему.

Решение. . Производим последовательное деление исходного числа:

Ответ: X = 118₍₁₀₎ = 166₍₈₎

Для перевода двоичного числа в восьмеричную систему его следует разбить на триады, начиная от запятой, а затем каждую триаду заменить ее восьмеричным эквивалентом. Если последние (левая и правая) триады получатся непол­ными, то их следует дополнить нулями.

Пример 3. Перевести двоичное число Х= 1110110,011₍₂₎в восьмеричную систему счисления.

О т в е т: X=001 110 110, 011₍₂₎= 166,3₍₈₎.

Пример 4. Перевести десятичное число X=118,375₍₁₀₎ в шестнадцатеричную.

Решение. Перевод в шестнадцатеричную систему:

Ответ: Х=118,375₍₁₀₎ = 76,6₍₁₆₎ .

Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричную систему его следует разбить на тетрады, начиная от запятой, а затем каждую тетраду заменить шестнадцатеричным ее эквивалентом. Если последние (левая и правая) тетрады получатся непол­ными, то их следует дополнить нулями.

Пример 5. Перевести двоичное число Х= 1110110₍₂₎в шестнадцатеричную систему счисления.

О т в е т: X=0111 0110₍₂₎= 76₍₁₆₎.

Если же перевод осуществляется из недесятичной системы, то ввиду ее непривычности для человека производство в ней арифметических действий значительно затруднено. В этом случае для преобразования чисел можно воспользоваться фор­мулой (1) При этом расчеты ведутся в новой системе счисления.

Пример 6. Перевести из двоичной системы в десятичную целое число

Решение. Записываем число X в виде суммы произведений степеней основания на соответствующую цифру по формуле (1.4) в десятичной си­стеме счисления, после чего производим необходимые расчеты (умножение и сложение полученных произведений):

Х= 1110110

X= 1110110=

Ответ: Х= 118

Восьмеричный и шестнадцатеричный коды используются в основном для более краткой формы записи двоичных чисел и самостоятельного применения не имеют.