Теорема об nинтервалах

В общем случае число переключений оптимального управления конечно и зависит положения граничных точек, от характера чисел матрицыи вида многогранникав пространстве управлений.

Для частного случая, когда система (1) имеет только действительные корни, справедлива теорема об nинтервалах, которую примем без доказательства.

Если характеристические числа матрицы – действительные числа и область управления представляет собойr-мерный куб, то каждое из управленийкусочно-постоянно и имеет не более (n–1) переключений (т.е. не болееnинтервалов знакопостоянства), гдеn– порядок системы.

Приведем еще одну теорему.

Если в системе (1) все характеристические числа матрицы лежат в левой полуплоскости и начало координат является внутренней точкой многогранника, то для любойсуществует оптимальное управление, переводящеев начало координат. Это оптимальное управление, таким образом, характеризует устойчивость системы.

Сформулированные теоремы показывают, что для случая линейных оптимальных быстродействий ПМ позволяет однозначно определить оптимальное управление и соответствующую ему фазовую траекторию.

Рассмотрим пример.

Произвести синтез оптимальной по быстродействию системы.

и

На управления наложено ограничение . Будем искать управлениев функции состояний системы, которое произвольное начальное состояниепереводит в начало координат за минимальное время.

1. Сначала проведем качественный анализ оптимального управления.

а) В данном примере имеем матрицы

, .

Матрица управляемости имеет определитель, т.е. система является полностью управляемой.

б) Характеристические числа матрицы А:

,

характеристические числа являются действительными, следовательно, удовлетворяют теореме об nинтервалах.

Таким образом, оптимальное управление является кусочно-постоянным и имеет не более 2 интервалов знакопостоянства, в зависимости от граничных условий управляющими последовательностями будут:

, ,,.

2. Проведем анализ траектории системы при оптимальном управлении.

Обозначим и найдем решение при:

, .

Из начального условия ,, получим:

, .

Исключая время из этих уравнений получим уравнения фазовых траекторий системы:

.

Фазовые траектории при показаны на рисунке.

Направление фазовых траекторий определяется исходя из системы по знакам производных для переменных под действием известного управления.

3. Синтез системы. Обозначим через множество состояний, из которых подсистема переводится в начало координат, а черезфазовую траекторию при, проходящую через начало координат. Эти множества или траектории описываются уравнениями:

Объединение множеств запишется:

.

Обозначим черезобласть, расположенную левее, а черезобласть правее. Если начальное состояние, то для перевода системы в начало координат требуется управляющая последовательность, причем переключения производится на линии. Аналогично для. Здесь видно, почему в теорем обnинтервалах говорится «не болееnинтервалов» – это происходит в зависимости от граничных условий. Закон управления

.

Линия представляет собой линию переключения. Обычно реализуют закон управления в виде

.

Структурная схема замкнутой системы, реализующей этот закон управления, показана на рисунке, где .