44
2.3.4. Устойчивость прямоугольной пластины при комбинированном нагружении
Устойчивость прямоугольной пластины при сжатии вдоль двух осей
Рассмотрим случай сжатия вдоль двух осей прямоугольной шарнирно закрепленной по контуру пластины (рис. 2.14).
|
|
|
a |
|
|
O |
Ny |
|
|
x |
|
|
|
|
|
b |
Nx |
|
Nx |
|
|
y |
Ny |
|
|
|
Рис. 2.14. Шарнирно закрепленная по контуру пластина, сжатая вдоль двух осей
Уравнение устойчивости (2.46) в данном случае примет вид |
|
||||||||
D 2 2 w+ |
|
x |
∂2 w |
+ |
|
y |
∂2 w |
=0, |
(2.69) |
N |
N |
||||||||
|
|
|
∂ x2 |
|
|
|
∂ y2 |
|
|
где верхняя черта над усилиями означает, что они действуют совместно.
Здесь мы можем использовать тот же прием, что и при решении задачи об одноосном сжатии пластины, т.е. зададим прогиб в форме двойного тригоно-
∞ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, подставив его в уравнение |
||||
метрического ряда w=∑ ∑ Amn sin m π x sin n π y |
||||||||||||||
m=1 n=1 |
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
||
устойчивости (2.69), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
m |
|
n |
|
|
m |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
D(a2 |
+ b2 )− |
|
|
N x− |
|
|
N y=0. |
(2.70) |
||||||
π2 a2 |
π2 b2 |
|||||||||||||
Пусть N x N y, тогда можно записать N y=ϕ N x, где ϕ – коэффициент про-
порциональности, причем ϕ 1. Следовательно из уравнения (2.70) мы можем получить следующую формулу для критического усилия
45 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
кр=k |
|
π2 D |
, |
|
(2.71) |
|||
|
N |
||||||||||
|
|
|
b2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
2 |
|
|
|||||||
k= |
(m2 |
b |
+n2) |
. |
|
||||||
a2 |
(2.72) |
||||||||||
|
b2 |
|
|
||||||||
|
|
|
m2 |
+ϕ n2 |
|
||||||
|
|
|
a2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При заданной величине ϕ в результате перебора различных значений m и n можно найти наименьшее значение k, при подстановке которого в формулу (2.71) получим выражение для расчета критического усилия.
Для примера рассмотрим квадратную пластину (a = b). В этом случае
|
|
k= |
|
(m2 +n2 )2 |
. |
(2.73) |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
m2 +ϕ n2 |
|
|||
При ϕ 1 минимальное значение k достигается, когда m=n=1. При этом |
|||||||||
|
|
|
k= |
4 |
. |
|
(2.74) |
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1+ϕ |
|
||
Выразим k из уравнения (2.71) и подставим в уравнение (2.74). В то же |
|||||||||
уравнение (2.74) подставим ϕ= |
|
N y кр |
|
. Учитывая, что при раздельном действии |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
N x кр |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
усилий их критические значения для квадратной пластины (ab =1) будут определяться следующим выражением (формула (2.57), рис. 2.9)
N x кр=N y кр=4 |
π2 D |
, |
(2.75) |
|||||||||
b2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и проведя ряд несложных преобразований, окончательно получим |
|
|||||||||||
|
|
|
x кр |
+ |
|
|
y кр |
=1. |
|
|
||
|
|
N |
N |
|
(2.76) |
|||||||
|
|
N x кр |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
N y кр |
|
|
||||||
Для наглядности можно построить график, показанный на рис. 2.15. Здесь прямая, соединяющая точки (0 ; N y кр) и ( N xкр ; 0), разделяет область возможных
комбинаций усилий N x и N y на две части. Комбинации этих усилий, лежащие в
области I, не вызывают потери устойчивости пластины. Сама прямая соответствует критическому состоянию, а область II является областью неустойчивости.
|
46 |
|
N y |
|
|
Ny кр |
|
|
|
II |
|
|
I |
|
O |
Nx кр |
N x |
Рис. 2.15. Области устойчивости I и неустойчивости II пластины, сжатой вдоль двух осей
Устойчивость прямоугольной пластины при совместном сжатии и сдвиге
Рассмотрим случай сжатия и сдвига прямоугольной шарнирно закрепленной по контуру пластины (рис. 2.16).
Nxy
|
|
x |
|
Nx |
|
Nx |
|
Nxy |
a |
b |
|
Nxy |
|||
|
|||
|
Nxy |
|
|
|
y |
|
Рис. 2.16. Шарнирно закрепленная по контуру пластина, нагруженная сжатием и сдвигом
|
Зададим прогиб в той же форме, что и при рассмотрении потери устойчи- |
|||||
вости |
пластины |
от |
действия |
только |
сдвигающих |
усилий |
w=C sin πby sin πl (x−ky) (формула (2.61)). Повторяя вывод формулы (2.64) для
критических касательных напряжений потери устойчивости при сдвиге, получим следующее соотношение
47
|
|
|
|
π2 D |
[6 k |
2 |
̄2 |
|
1 |
|
2 2 |
]. |
|
N x кр+2 k N xy кр= |
|
|
|
||||||||||
b2 |
|
+2+ l |
+ |
̄l 2 |
(1+k |
) |
(2.77) |
||||||
Как было показано выше, минимальное значение правой части уравнения (2.77) реализуется при ̄l 2=1+k2. Откуда получим
|
x кр+2 k |
|
xy кр=4 |
π2 D |
(1+2 k2 ). |
(2.78) |
|
N |
N |
||||||
b2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
В соответствии с полученными выше результатами критические значения отдельно действующих усилий равны
N x кр=4 |
π2 |
D |
, N xy кр=4√ |
|
|
π2 |
D |
. |
(2.79) |
|
2 |
||||||||||
b |
2 |
b |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем (2.78) с учетом (2.79)
|
|
N |
x кр |
|
|
|
|
|
N |
xy кр |
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
+2 k √2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
+2 k |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
N x кр |
|
N xy кр |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
xкр |
Найдем k из условия минимума сжимающих усилий, т.е. при |
N |
||||||||||||||||||||
∂ k |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k=√ |
|
|
|
|
xyкр |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
N xyкр |
|
|
|
|
|
|||||||
Подставим это выражение для k в (2.80) и окончательно получим
NN xx кркр +(NN xyxy кркр )2=1.
В графическом виде это соотношение представлено на рис. 2.17.
N xy 
Nxy кр
II
(2.80)
=0
(2.81)
(2.82)
I
O |
|
|
|
|
Nx кр |
|
x |
||
N |
||||
Рис. 2.17. Области устойчивости I и неустойчивости II пластины при совместном действии сжатия и сдвига