Решение

Для удобства составления математической модели задачи представим данные в табличной форме:

	А	В	Запас пищи
Р1	1	2	500
Р2	3	1	900
Масса одной рыбы	2	1
Количество рыб	х1	х2

Формализуем условия задачи: составим целевую функцию и ограничения задачи.

Получилась задача линейного программирования с двумя переменными и двумя функциональными ограничениями.

Изобразим в декартовой системе координат допустимое множество, линию уровня целевой функции и направление ее градиента. Линию уровня целевой функции привяжем к одной из угловых точек допустимого множества (в данном случае – к точке (300;0) ), чтобы было яснее, в какой именно из угловых точек будет максимум.

Из рис. 4.9 видно, что максимум будет достигаться в точке пересечения функциональных ограничений. Найдем эту точку и значение целевой функции в ней:

Ответ: Озеро следует заселить рыбой вида А в количестве 260 штук и рыбой В в количестве 120 штук. При этом общая масса рыбы составит 640 кг.

Задача 2

Имеется два вида сырья: S₁ и S₂ в количествах 800 и 1400 единиц. Можно изготовить три вида продукции: Р₁, Р₂ и Р₃. Затраты сырья на единицу продукции составляют соответственно: 4; 2; 5 и 2; 6; 5. Цена готовых изделий: 8; 14; 10. Найти оптимальный план производства и минимальные цены, по которым еще выгодно было бы продать сырье.

Решение

Представим данные в табличной форме:

	Р1	Р2	Р3	Запасы сырья	Цены сырья
S1	4	2	5	800	y1
S2	2	6	5	1400	y2
Цены изделий	8	14	10
Количество изделий	x1	x2	x3

Формализуем задачу. Поскольку задача содержит три переменные, графически на плоскости ее решить невозможно. Но так как она содержит два функциональных ограничения, можно перейти к двойственной, которая будет иметь две переменные, и решить ее графически.

Изобразим допустимую область, линию уровня целевой функции и направления ее градиента для двойственной задачи – см. рис. 4.10.

M

Рис. 4.10

Как видно из рис.10, точка М является точкой минимума функции F на допустимой области D. Она лежит на пересечении прямых 1 и 2. Ее координаты определяются из системы

Вернемся к решению прямой задачи. В соответствии с теоремой о дополняющей нежесткости в оптимальной точке имеем:

1. так как третье ограничение не эффективно, то ;

2. так как то оба соответствующих неравенства в прямой задаче должны обратиться в равенства.

Таким образом, получаем:

Ответ: Оптимальный план производства:

Сырье выгодно продавать по ценам не ниже 1 и 2 соответственно.