Тема 10. Экстремум функции нескольких переменных

Понятие локального экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия. Случай двух переменных. Метод наименьших квадратов.

Неявно заданные функции и отображения. Теоремы о разрешимости. Вычисление производных неявно заданных функций. Уравнения нормали и касательной плоскости к графику функции.

Условный экстремум. Прямой метод отыскания условного экстремума. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Необходимые и достаточные условия относительного экстремума. Задача о нахождении наименьшего и наибольшего значения функции в области.

Классические методы оптимизации.

Тема 11. Неопределенный интеграл

Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблицы интегралов. Приемы интегрирования: замена переменной, формула интегрирования по частям. Понятие об интегрировании рациональных дробей, простейших иррациональных функций, простейших трансцендентных функций.

Тема 12. Определенный интеграл и его приложения

Интегральная сумма Римана, геометрический смысл интегральной суммы. Понятие интегрируемой функции. Определения интеграла.

Ограниченность интегрируемых функций. Верхние и нижние суммы Дарбу, их свойства. Нижний и верхний интегралы. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функции, монотонной ограниченной функции, функции с конечным числом точек разрыва.

Свойства интегрируемых функций и определенного интеграла. Производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу. Теорема о существовании первообразной.

Основная формула интегрального исчисления. Формула замены переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям.

Приложения определенного интеграла. Интегральная теорема о среднем. Вычисление площади криволинейной трапеции в декартовых, в полярных координатах. Вычисление длины дуги кривой.

Приближенное вычисление определенных интегралов: формула прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Понятие о несобственных интегралах. Определения. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов. Признаки сходимости: признаки сравнения, критерий Коши, признаки Дирихле и Абеля. Абсолютно и условно сходящиеся интегралы.

Тема 13. Кратные интегралы

Понятие двойного, тройного, кратного интеграла. Геометрический смысл и свойства кратных интегралов. Сведение кратного интеграла к повторному. Замена переменной в двойном, тройном интегралах.

Тема 14. Числовые ряды

Определение числового ряда. Частичные суммы ряда. Понятие сходящегося числового ряда. Свойства сходящихся рядов: необходимое условие сходимости ряда, линейная комбинация сходящихся рядов, свойства остатка ряда. Критерий Коши сходимости ряда.

Достаточные признаки сходимости положительных числовых рядов: интегральный признак Коши, признак Д’Аламбера, радикальный признак Коши.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Знакопеременные ряды. Абсолютная, условная сходимость. Сходимость абсолютно сходящегося ряда. Признак Лейбница как признак условной сходимости.