2. Линейные пространства

74. Докажите, что в линейном пространстве «правый» нейтральный элемент является и «левым» нейтральным элементом.

75. Докажите, что в линейном пространстве «правый» противоположный данному элементу является и «левым» элементом, противоположным данному элементу.

76. Докажите, что в линейном пространстве нейтральный элемент и элемент, противоположный данному элементу, определяются единственным образом.

77. Докажите, что множество всех решений системы линейных однородных уравнений есть линейное пространство.

78. Является ли множество всех решений системы линейных неоднородных уравнений линейным пространством?

79. *Можно ли задать структуру линейного пространства на множестве, состоящем из одного элемента?

80. *Можно ли задать структуру линейного пространства на множестве, состоящем из двух элементов?

81. *Можно ли задать структуру линейного пространства на множестве, состоящем из конечного числа (более одного) элементов?

82. Докажите, что множество всех матриц одного порядка Mс естественными операциями их сложения и умножения на число есть линейное пространство.

83. В множестве квадратных матриц третьего порядка рассматривается два отображения: умножения матриц : MMM и умножения вещественного числа на матрицу •: MM. Определяют ли эти операции (отображения) наMструктуру линейного пространства?

84. Пусть MиM, пусть– множество решений системы линейных уравнений, а– множество решений системы линейных уравнений. Верно ли, что если, то?

85. Пусть MиM, пусть– множество решений системы линейных уравнений, а– множество решений системы линейных уравнений. Верно ли, что если, то?

86. Пусть MиM, пусть– множество решений системы линейных уравнений, а– множество решений системы линейных уравнений. Верно ли, что если, то?

87. Пусть MиM, пусть– множество решений системы линейных уравнений, а– множество решений системы линейных уравнений. Верно ли, что если, то?

88. *Пусть MиM, пусть– множество решений системы линейных уравнений, а– множество решений системы линейных уравнений. Верно ли, что если, то существует ненулевое решение-вектор?

89. *Пусть MиM, пусть– множество решений системы линейных уравнений, а– множество решений системы линейных уравнений. Верно ли, что если, то существует ненулевое решение-вектор?

90. Является ли множество всех функций, непрерывных на заданном отрезке относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число линейным пространством?

91. Является ли линейным пространством множество всех функций, непрерывных на заданном отрезкеи таких, чтодля всякой, относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число?

92. *Является ли линейным пространством множество всех функций, непрерывных на заданном отрезкеи таких, чтодля всякой, относительно обычных операций умножения функций и умножения функции на число?

93. Является ли линейным пространством множество всех функций, непрерывных на заданном отрезке с естественными операциями сложения и умножения на число и таких, что?

94. Является ли линейным пространством множество всех функций, непрерывных и ограниченных на заданном отрезке относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число?

95. Является ли линейным пространством множество всех функций, непрерывных и неограниченных на заданном интервале относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число?

96. Является ли линейным пространством множество всех функций , дифференцируемых на множествеотносительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число?

97. Докажите, что если система векторов линейного пространства линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.

98. Докажите, что если система векторов линейного пространства содержит линейно зависимую подсистему векторов, то эта система линейно зависима.

99. *Докажите, что всякую линейно независимую систему векторов конечномерного линейного пространства можно дополнить до его базиса.

100. *Докажите, что все базисы конечномерного линейного пространства состоят из одного и того же количества векторов.

101. Верно ли, что если линейное пространство имеет размерность , то всякая его система векторов, содержащая болеевекторов, линейно зависима?

102. *Известно, что в линейном пространстве его всякая система векторов, содержащая более векторов, линейно зависима. Является ли это пространство конечномерным? Можно ли определить размерность этого пространства?

103. Является ли подпространством линейного пространства пересечение двух его подпространств?

104. Является ли подпространством линейного пространства объединение двух его любых подпространств?

105. Может ли быть объединение двух подпространств линейного пространства быть его подпространством?

106. В координатном линейном пространстве KMрассматривается подмножество всех векторов-столбцов таких, что сумма всех его элементов – нулевая. Является ли это подмножество подпространством в линейном пространствеK?

107. В координатном линейном пространстве K=Mрассматривается подмножество всех векторов-столбцов, у которых имеется сумма двух элементов равная единице. Является ли это подмножество подпространством в линейном пространствеK?

108. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка Mрассматривается подмножество всех вырожденных матриц. Является ли такое подмножество подпространством линейного пространстваM?

109. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка Mрассматривается подмножествоGLвсех невырожденных матриц. Является ли это подмножество подпространством линейного пространстваM?

110. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка Mрассматривается подмножествоSвсех симметрических матриц. Является ли это подмножество подпространством линейного пространстваM?

111. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка Mрассматривается подмножествоKвсех кососимметрических матриц. Является лиKподпространством линейного пространстваM?

112. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка Mрассматривается подмножествоDвсех диагональных матриц. Является ли это подмножество подпространством линейного пространстваM?

113. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка Mрассматривается подмножество всех матриц с нулевой суммой элементов главной диагонали. Является ли такое подмножество подпространством линейного пространстваM?

114. В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка Mрассматривается подмножество всех матриц со всеми нулевыми элементами главной диагонали. Является ли это подмножество подпространством линейного пространстваM?

115. Какова размерность линейного пространства матриц M?

116. Какова размерность линейного пространства квадратных матриц M?

117. Какова размерность подпространства Sлинейного пространства квадратных матрицM, состоящего из всех симметрических матриц?

118. Какова размерность подпространства Kлинейного пространства матрицM, состоящего из всех кососимметрических матриц?

119. Докажите, что любое конечное пересечение подпространств линейного пространства есть его подпространство.

120. Докажите, что сумма подпространств любого линейного пространства есть его подпространство.

121. Докажите, что линейная оболочка любой конечной системы векторов линейного пространства есть его подпространство.

122. Пусть – линейная оболочка системы векторов, координаты которых в некотором базисе-мерного линейного пространства известны. Как задать это подпространство системой линейных уравнений?

123. Подпространство конечномерного линейного пространства задано некоторой системой линейных уравнений. Как найти какой-либо базис этого подпространства?

124. Каждое из двух подпространств конечномерного линейного пространства задано системой линейных уравнений. Как задать системой линейных уравнений пересечение этих подпространств?

125. Каждое из двух подпространств конечномерного линейного пространства задано системой линейных уравнений. Как найти базис пересечения этих подпространств?

126. *Каждое из двух подпространств линейного пространства задано системой линейных уравнений, как задать системой линейных уравнений сумму этих подпространств?

127. Каждое из двух подпространств конечномерного линейного пространства задано системой линейных уравнений. Как найти базис суммы этих подпространств?

128. В линейном пространстве имеется вектор, гдеи, причеми, гдеи– подпространства. Может ли в этом случае сумма подпространствбыть прямой?

129. В линейном пространстве имеется вектор, гдеи, причем, гдеи– подпространства. Может ли в этом случае сумма подпространствбыть прямой?

130. Верно ли, что линейное пространство , если существует вектортакой, что его разложениеединственно, где,, аи– подпространства?

131. Верно ли, что если в линейном пространстве для одного вектораединственно разложениетакое, чтои, гдеи– подпространства, то каждый вектор этого пространства имеет единственное разложение на векторные слагаемые, принадлежащие подпространствами, соответственно,?

132. В пятимерном линейном пространстве рассматриваются шесть различных нетривиальных подпространств. Может ли их сумма быть прямой?

133. Какое максимальное число подпространств в пятимерном линейном пространстве можно выбрать, чтобы их сумма могла быть прямой?

134. В девятимерном линейном пространстве заданы два подпространства размерности 6 и 5. Каковы наибольшие и наименьшие значения размерностей суммы и пересечения этих подпространств?

135. *Докажите, что всякое подпространство конечномерного линейного пространства также конечномерно, причем, если подпространство , то≤.

136. Докажите, что если размерность подпространства линейного пространстваравна, то оно совпадает с, т.е..

137. *В линейном пространстве квадратных матриц Mрассматривается его подпространствоSвсех симметрических матриц того же порядка. Найдите его дополнительное подпространство.

138. *В линейном пространстве квадратных матриц Mрассматривается его подпространствоKвсех кососимметрических матриц того же порядка. Найдите его дополнительное подпространство.

139. *В линейном пространстве квадратных матриц Mрассматривается его подпространство всех диагональных матрицDтого же порядка. Найдите его дополнительное подпространство.

140. Всякое ли подпространство конечномерного линейного пространства имеет в нем дополнительное подпространство?

141. **Всякое ли подпространство линейного пространства (не обязательно конечномерного) имеет в нем дополнительное подпространство?

142. **В линейном пространстве всех функций, непрерывных на заданном отрезкес естественными операциями сложения и умножения на число выделяется подпространствотаких функций, что. Можно ли в линейном пространствеуказать его дополнительное подпространство?

143. **В линейном пространстве всех функций, непрерывных на заданном отрезкес естественными операциями сложения и умножения на число выделяется подпространствотаких функций, чтои. Можно ли вуказать дополнительное подпространство к?

144. Может ли матрица быть матрицей перехода от базиса к базису в некотором линейном пространстве?

145. Может ли матрица быть матрицей перехода от базиса к базису в некотором линейном пространстве?

146. Может ли матрица быть матрицей перехода от базиса к базису в некотором линейном пространстве?

147. Если – матрица перехода от базисак базису, то как связаны координаты (координатные столбцы) одного и того же вектораив этих двух базисах?

148. Как взаимно расположены два базиса линейного пространства, если матрица перехода – скалярная?

149. Как взаимно расположены два базиса линейного пространства, если матрица перехода – верхняя треугольная?

150. Как взаимно расположены два базиса линейного пространства, если матрица перехода – нижняя треугольная?

151. Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если в первом базисе поменять местами первый и второй базисные векторы?

152. *Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если в первом базисе сделать циклическую перестановку его векторов?

153. *Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если в первом базисе изменить порядок его векторов на противоположный?

154. Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если первый вектор первого базиса умножить на 2?

155. Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если к первому вектору первого базиса прибавить его второй вектор?

156. Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если во втором базисе поменять местами первый и второй базисные векторы?

157. *Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если во втором базисе сделать циклическую перестановку его векторов?

158. *Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если во втором базисе изменить порядок его векторов на противоположный?

159. Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если первый вектор второго базиса умножить на 2?

160. Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если к первому вектору второго базиса прибавить его второй вектор?

161. *Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если в каждом из базисов изменить порядок его векторов на противоположный?

162. Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если в каждом из базисов первый вектор умножить на 2?

163. *Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если в каждом из базисов все векторы вектор умножить на 2?

164. Докажите, что для матриц перехода от базиса к базису имеет место соотношение: .

165. Докажите, что матриц перехода от базиса к базису имеет место соотношение .

166. Докажите, что свойство конечномерных линейных пространств «быть одинаково ориентированными» есть отношение эквивалентности на множестве всех конечномерных пространств одинаковых размерностей.