ТФКП Половинкин

Покажем, что функция и из формулы Пуассона (14) на круге

Пусть М= sup{lи0(()11 (Е ;уя}· Тогда из формулы Пуассона (14} и

леммы 2 получаем, что

Осталось показать, что в каждой точке (0 Е 1R (т. е. в каждой точке

непрерывности функции и0) для функции и из (14) справедливо ра­

венство

= Rei'Фo, выберем число 6 Е (0, 1r) так, чтобы для всех точек ( = Rei'Ф,

У которых IФ- 'Фоl < 6, выполнялось неравенство \и0(()- и0((0)\ <с:.

Обозначим -y(l, д) = {( 1 ( = ReiФ, IФ-Фоl < д}, -у(О,д) ='Ун\-y(l, 8).

Разобьем интеграл (22) на два интеграла по дугам 1(1, 6) и т(О, 6). В силу выбора числа 6 и из леммы 2 получаем

произвольности числа. с: > О дает выполнение граничного условия в

192 Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП

Теорема 4. Для любой ограни'Ченной односвязной области G с простой кусо'Чно-гладкой границей Г и для любой кусо'Чно­

непрерывной (с коне'Чным 'Числом то'Чек разрыва 1-го рода) на Г функции и0( () решение общей зада'Чи Дирихле существует.

Д о к аз а т е ль с т в о. По теореме Римана (теорема 1 § 27) су­ ществует регулярная функция w == f(z), осуществляющая конформ­ ное отображение области G на круг В1(0). Пусть z == g(w)- обрат­ ная функция к функции f. По принципу соответствия границ (тео­ рема 2 §27) функция f(z) (и соответственно g(w)) непрерывно про­

должима на границу Г (на окружность lwl == 1). Поэтому и в силу

кусочной непрерывности на Г функции и0(() функция и0(g(а)) бу­

дет кусочио-непрерывной на окружности lal = 1. По этой граничной

функции запишем через интеграл Пуассона функцию u(w), опреде-

ленную в круге lwl < 1. Тогда по теореме 1 функция и(z) 6 u(f(z))

будет гармонической в области G. В силу теоремы 3 она ограничена

инепрерывна на G U Г всюду за исключением точек разрыва функ­ ции и0. Введем обозначение

Так как а==/((), (Е Г и w == f(z), z Е G, то, делая замену пе­

ременных а и w через ( и z, при этом допуская, что функция f'(z)

также непрерывно продолжи~ла на границу Г, получаем формулу ре­ шения общей задачи Дирихле в области G вида

Заме'Чание 3. Утверждение теоремы 4 остается справедливым

для случая неограниченной области G, граница которой содержит точку оо, если существует конформное отображение f области G

на круг lw/ < 1, удовлетворяющее принципу соответствия границ.

Если же при этом функция f удовлетворяет усиленно:му принципу

соответствия границ (т. е. функции f и f' непрерывно продолжимы

на границу области), то справедлива формула (25).

Например, это верно, когда область G конформно отобража­

ется на круг lwl < 1 некоторым дробио-линейным отображением /,

так как оно конформно отобра.жаеru всю расширенную комплексную

плоскость С на всю плоскость С и поэтому оно и его производная

непрерывно продолжимы на границу данной области G. В качестве

демонстрации этой возможности получим решение общей зaдatttu Ди­

рихле на верхией полуплосх;ости.

Теорема 5. Пустъ даиа oгpauuttteuua.я и x;ycotttuo-ueпpepъtвua.я

фуих;ци.я u0 : IR --+ IR с x;ouetttuъt.м tttисло.м motttex; разрыва первого рода

(вх;люtttа.я motttx;и +оо и -оо). Тогда существует решеиие u(z) об­

щей задаtttи Дирихле в верхией полуплосr.;ости Im z > О с гpauиtttuъt.м

где z == х + iy, у > О.

Д о к аз а т е ль с т в о. Существование решения u(z) следует из

теоремы 4 и замечания 3. Формула (26) легко следует из фор­ мулы (25), если в качестве функции J, отображающей верхнюю по­

луплоскость в единичный круг, взять, например, функцию f(z) == == (z- i)/(z + i) и провести упрощения выражений под интегралом

мулы (25). Зафиксируем произвольную точку z0 == х0 + iy0 , где у0 >

>О, и рассмотрим дробио-линейное отображение

при котором f(z0 ) ==О. Из формулы (27) получаем обратное отобра-

жение

w -1

круга lwl < 1 на верхнюю полуплоскость.

По теореме 1 функция u(w) ~ u(g(w)) будет гармонической в

круге lwl < 1. При этом она будет непрерывной в замкнутом круге lwl ~ 1, за исключением конечного числа точек разрыва, полученных

от функции u0 , включая, может быть, и точку w0 == 1. По фор~1уле

Пуассона (14) (или по теореме 4 § 24 о среднем для гармонических функций) для функции u получаем

Так как для w ={+ i1] и z = х + iy функция w = - ~ (z + .;) дает

соотношения

{ = - ~ (х2~у2 + 1) ' 1J = - ~ ( 1- х2~у2) '

то, вычисляя выражение

Список литературы

1. Вицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплекс­

ного переменного. - М.: Наука, 1969, 1972, 1984.

2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - 5-е изд.

-М.: Наука, 1988.

3. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т.1, - М.: Наука, 1998.

4. Лаврентьев М.А., Шабат В.В. Методы теории функций ком­

плексного переменного. - М.: Наука, 1973, 1987.

5. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.2, -М.: На­

ука, 1991.

6. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного пере­ менного. -14-е изд. -М.: Высшая школа, 1999.

7. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1982, 1989.

8. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического ана­ лиза. - М.: Наука, 1988; М.: Изд-во МФТИ, 1997.

9. Шабат В.В. Введение в комплексный анализ. Ч.1,2, -М.: Наука,

1985.

10. Яковлев Г.Н. Лекции по математическому анализу. Часть 2, - М.: Физматлит, 2001.