ТФКП Половинкин

§ 13. Теория вычетов

81

Функция f

имеет полюсы 1-го порядка (нули знаменателя) в точ­

ках zk =

еi(1Г/4+1Гk/2), k =О, 1, 2, 3, причем точки z

0

и z

1

лежат внутри

контура 'YR·

По теореме 1 о вычетах получаем

· (

res f

+ res f

)

. [ 1 + ei 2f

+

1 + e2i .3f]

=

JR = 21r~

= 21r~

.37Г

.97Г

Z0

Z1

4et Т

4et4

.

[ 1

e-it + ei"i

1

e-i~ + ei~]

= 27r~

2i .

2

+ - 2i

.

2

=

1r ( cos ~- cos

3

1rv'2.

;) =

С другой стороны

JR = l+пf(z) dz + r f(z) dz 1:1. Ih + 11.

-R

lcR

Очевидно, что

интеграл Ih --t J

при

R --t +оо.

Позже

(см.

лемму 4) мы докажем,

что интеграл Ik --t О при R-+ +оо, откуда

в итоге получим, что J = 1r...J2.

Обобщая пример 2,

изучим правила вычисления интегралов раз­

Jh =~ ~+RRn,m(x)dx,

J~ =~1 Rn,m(z)dz.

{20)

-R

CR

Очевидно, что lim Jh = J. Осталось показать, что lim

J~ = О,

R~+oo

R~+oo

откуда последует формула:

+oo

· l

l-оо

Rn т(х) dx = 21Гi "res Rn m·

(21)

'

~

+ '

k=1

zk

Докажем необходимое утверждение.

Лемма 4. Пусть Ф(z) -

непреръtвная фунх;ция на замх;ну-

то.м. .множестве {z 1 Imz ~О, lzl ~ Ro > 0}. Пусть Ся 6.

{z ilzl =

Если lim e(R)R =О, то

lim

fc Ф(z) dz =,0.

R~+oo

R~+oo

R

11. Вычисление интегралов вида

J = 121ГR(cos !р,sin IP) d!p,

{22)

§ 13. Теория вычетов

83

Сделаем

замену

z = z(ер) = ei~P,

О ~ ер ~

21Г.

Тогда

cos ер =

= .!. (ei~P + e-i~P) = .!. (z + .!.) ; sin ер=

~

(z- !),dz = iei~P dcp, т. е.

2

2

z

2~

z

J = {21Г R (z(cp) + _1_

z{cp) _

1

)

. z'(cp)

dcp =

} 0

2 2z{cp)'

2i

2iz(cp)

iz(cp)

= {

R(!(z+!),~(z-!))~z= {

R1 (z)dz.

jlzl=l

2

z

2~

z

~z

}lzl=l

111. Вычисление интегралов вида

J = /_:ооeiax R(x) dx,

{23)

.

eiox

+О

(

1

)

при

lxl

> 1.

R(x)ezo:x =

xm-n+1

xm-n

Интеграл f

+оо

eiox

сходится

при т- n ~ 1

(по признаку

1

m-п dx

х

х .

eiox -

eio

Дирихле:

функция J1 ezo:t dt =

.

ограничена по модулю, а

функция

m -n

~а:

монотонно стремится к нулю при х ~ +оо). Инте-

1

х

грал f +oo О ( xm!nн)

dx сходится абсолютно, так как по условию

1

т- n + 1 ~ 2.

Сходимость интеграла {23) в -оо при т- n ~ 1 про­

веряется аналогично.

Рассмотрим, как и в пункте 1, положительно ориентирован-

ный контур 1R

д [- R, R] U СR.

При достаточно больших R > R0 =

= max{Jztl\ k Е l,l}

получаем

l

1eiaz R(z) dz = 27ri L r~(eiaz R(z)),

{24)

'YR

k=l zk

равенства

(1)

COS ер -

х

.

-

у

lzТ ,

Slll ер -

lzТ ,

где Arg z = { !р + 27Гk 1 k Е Z} -

многозначная функция, определен­

Теорема 1. Пусть z: [0, 1] -+С

-

неnреръtвно дифференциру­

емая функция (т. е.

класса

С1 [0, 1]),

npиttteм

z(t) -:1

О

Vt Е [О, 1].

Пусть знаtttение ер0

Е Arg z(O)

фиксировано.

Тогда

существует

действительная функция ер(·)

Е С1

[0, 1],

удовлетворяющая уравне­

ния.м

_

x(t)

.

(

) _

y(t)

[

]

( )

cos ер(t ) -

lz (t) l,

Slll ер

t

-

lz (t) l,

t Е 0, 1

2

ep'(t) = ху'- ух'.

(4)

х2 + у2

Определим функции и(t) ~ cosep(t), v(t) ~ sinep(t).

Тогда, вычи­

сляя их производные, получаем

§ 14. Приращение аргумента z вдоль контура

89

<р{1, а) Е Arg z(1, а),

<р(О, а) Е Arg z(O, а),

то

<p{l, а) -

<р(О,а)

Е Arg z~l,а~,

z О,а

и так как по условию z~l,а~

=А, т. е. не зависит от а, то

z О,а

V'lj; Е ArgA

3n(a) Е Z,

0

<р(1, а) - <р(О, а) == 'Фо + 21rn(a), Va Е [а, Ь].

(12)

По определению 1 из равенства (12) получаем

I(a) ==

~ arg z(t, а) == <р(1, а) -

<р(О, а) == 'Фо + 21rn(a),

(13)

т. е. I(a) есть ступенчатая функция.

В свою очередь, из формулы (8)

получаем равенство

l(a)

== Im

10

'

zt(t, а) dt.

z(t, а)

ступенчатая функция (13) может быть только константой.

11

Покажем это.

Пусть дана непрерывная функция z : [0, 1] --+ С

(т. е.

z(·) Е С[О, 1])

и пусть z(t) ;f О при всех t Е [О, 1].

Определим

число r 6. min {lz(t)ll t Е [0, 1]}. Очевидно, что r > О.

Выберем с: =

== r /2.

Пусть ze (·) -

любая функция класса С1 [О, 1], аппроксимиру­

2

Определение

4. Приращением аргумента фун'l{;ции

z(·) Е

Е С[О, 1]

на отрез'l{;е [0, 1]

назовем

~

(14)

~ arg z(t) = ~ arg zg(t),

где zg(·)

Е С1 [0, 1]- любая гладкая €-аппроксимация функции z(·)

при достаточно малом значении е > О.

Следствие 2.

Въtра:жение (14) не зависит от въtбора глад'l{;ой

е-аппро'l{;симации zg (·) для непреръtвной фун'l{;ции z (·), т. е.

опреде­

ление 4 'I{;Орре'l{;тно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть zg (·) -

другая гладкая €-аппро­

ксимация функции z(·) (см. рис. 2).

у

Определим функцию

~

z(t, а) ~ azg(t) + (1- a)zg(t),

а Е [0, 1], t Е [0, 1].

Очевидно, что эта функция задает непре­

рывную деформацию. При этом

о

х

lz(t,a)- z(t)l ~

Рис. 2

~ а1zg (t) - z (t) 1 + (1 - а)1zg ( t) - z (t) 1 < е,

где

е= !:. < r ~ lz(t)l,

поэтому

2

lz(t, a)l

~ lz(t)l - jz(t, а) - z(t)l

> r- е= !:. > О,

2

и z(t, а)

=/= О V(t, а), т. е.

непрерывная деформация удовлетворяет

~argzg(t) = ~argzg(t).

11

1Е С\ {О} существует 'Число по Е Z та'l{;ое,

'Что

'У

~о argz = 27rno.

(15)

'У

'У