Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_zubova_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

320 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

(!НЕПОНЯТНО почему функèя u будет непрерывной)

Определение: если K(x, y) C(G × G) - то это ядро называется непрерывным.

Теорема 9.1: Если K(x, y) C(G × G), то интегральный оператор K:

1)D(K) = {u(x) : u(x) C(

)}

2)K : u(x) → Ku(x) =

∫G

K(x, y)u(y)dy

а)Является ограниченным.

á)

max

∫G

|K(x, y)|dy 6

max

|K(x, y)|· |G|

K C(G) 6

|G| = mes G

x G

(x,y) (G×

)

1)u(x) C(

); K(x, y) C(

); Ku(x) = ∫G

K(x, y)u(y)dy Ku(x) C(

)

|Ku(x)| =

∫

K(x, y)u(y)dy

max

(

)

|· ∫

( ,

)

|dy

y G

|K x

( )

6 max

∫G

( ,

)

( )

Ku C(G) =

x G

|Ku x |

x G

|K x

|dy· u x

C(G)

max

∫

max max

( ,

)

mes

max

( ,

)

Ku C(G) 6

x G

|K(x,

y)|dy

x G

[

y G

|K x

| ·

(x,y) (G×

) |K x

|· |G|

]

Определение: Ядро K(x, y) называется полярным, если его можно представить в виде

æ(x, y)

K(x, y) =

( (x, y) (G×G), x , y)

ãäå æ(x, y) C((G×G))

è α < n (размерность пространства)

|x − y|α

Лемма 9.4: ßäðî K(x, y) является полярным тогда и только тогда, когда:

à)

á)K(x, y) C((GB× G)\{x =

})

|K(x, y)| 6

x G; y G; x , y B > 0; β < n

|x − y|β

Доказательство в ( )

B : |æ| 6 B

K(x,y) - полярное

K(x, y) - непрерывное

по теореме Вейерштрасса для ж

Доказательство в ( )

Покажем, что можно построить нужную ж

a)β < n ϵ > 0 : β + ϵ < n

{

K(x, y)· (x − y)β+ϵ,

; x , y

æ(x, y) =

; y

x = y G

ж - непрерывная в

\{x = y}

Рассмотрим произвольную точку (x0, y0)

;

x0 = y0

|æ(x, y) − æ(x0, y0)| = |æ(x, y)| = |K(x, y)|· |x − y|β+ϵ 6

− y|β+ϵ

= B|x

− y|ϵ =

|x − y|

= B x − x0 + x0

− y ϵ 6 B(|x − x0| + |y − y0|)

ïðè

) :

, значит

B( x

)

, значит

- непрерывна

(x, y)

→

, y

−

| →

−

| →

−

→

Определение: ядром, транспонированным к ядру K(x, y) называется ядро K′(x, y) = K(y, x).

Интегральный оператор K′ c ядром K′(x, y) называется транспонированным к интегральному оператору K

Теорема 9.2:

1°) интегральный оператор с полярным ядром ( и K′) - ограниченный оператор в простанстве C(						G	)
K C(G)	6 x G	∫	\|K x	y	\|dy
	sup		( ,	)
		G

2°) ϵ > 0 K представим в виде: K = K1,ϵ + K2,ϵ, причем K2,ϵ C(G) 6 ϵ; K2′,ϵ C(G) 6 ϵ K1,ϵ - интегральный оператор с непрерывным ядром

K2,ϵ - интегральный оператор с полярным ядром

Доказательство:

Рассмотрим ψ(y) = K(x, y)· u(y),

( x

)

1)y

\{x}, òî ψ(y) C(

\{x})

∫ |ψ(y)|dy < ∞

2)|ψ(y)| = |K(x, y)|· |u(y)| 6

u(y) C(

)

|x − y|α

φ(x) = ∫G

K(x, y)u(y)dy = ∫G

ψ(y)dy x

Выберем произвольное маленькое δ > 0

K(x, y) = Kδ1(x, y) + Kδ2(x, y)

()

K1	(x, y) =	1	æ(x, y), ãäå:
		\|x − y\|α
δ			δ

(

|x − y|α

Kδ2(x, y)

|x − y|α ,

|x − y| > δ

непрерывная δ срезка

)

y < δ

−

> δ

−

]

æ(x|, y)

1 , x y < δ

y α − δα

− |

интегральные операторы Kδ1, Kδ2 Возьм¼м произвольную u(x) C(G)

\|Kδ2u(x)\| = \|Ku(x) − Kδ1(x)\| =		∫
\|Kδ2u(x)\| = \|Ku(x) − Kδ1(x)\| =		∫

		x		y	<δ
	G	x	−	y	<δ	}
		∩{\|	−	\|		}

æ(x, y) x 1y α

− δ1α

u(y)dy

6 B u C(G)

∫

x dyy α 6

[| − |

]

| − |

<δ

∩{|

− |

}

6 B u C(

∫

= B u C(

)· ∫

= B u C(

)· S1· ∫ ρn−1−αdρ =

δn−α u C(

)

|x − y|α

|z|α

(n −

α)

)

|x−y|<δ

|z|<δ

- не зависит от x

Kδ2 C(

) 6

BS1

δn−α

(n − α)

max |Ku − Kδ1u| 6

BS1

δn−α

−

α)

x G

K − Kδ1 C(

) → 0 ïðè δ → 0

K C(

)

6 Kδ1 + Kδ2 C(

) 6 Kδ1 C(

) + Kδ2 C(

) 6 const , òàê êàê

( ,

)

sup

(diam G)n−α

K C(G)

6 supx G ∫ |K x

|dy

B·

∫

|x − y|α

6 B· x

∫

|x − y|α

B· S1

(n − α)

|x−y|6diam G

= ∫ u(x)v(x)dx,

Ââåä¼ì â G билинейную форму:

u, v

u, v C(

)


Лемма 9.5: Пусть K - интегральный оператор с полярным ядром, а
							Ku, v	= u, K′v
оператор. Тогда u(x), v(x) C(					G	)					]
		∫	(	)				u(y)·	[	∫
	Ku, v =			∫ K(x, y)u(y)dy v(x)dx = ∫							K(x, y)v(x)dx dy =

K′ - транспонированный

∫

[ ∫

]

u(x)· K(x, y)v(y)dy dx =

=	u, K′v		(Здесь мы использовали теорему Фубини-Тонелли о замене переменных)
			G G	G	G	G	G
			Интегральные уравнения с малыми по норме интегральными операторами.
							∑
							∞
		Определение: Пусть E - линейное нормированное пространство. Ряд					uk, uk E называется
					∑		k=0
					∞
нормально сходящимся, если сходится ряд					uk
					k=0

Лемма 9.6: Если ряд сходится нормально в банаховом пространстве, то он сходится (то есть s E,

∑

è s =

∞

такой что sn =

uk → s ïðè n → ∞

uk )

k=0

Доказательство:

ϵ > 0

N(ϵ) > 0, такое что

m > n > N(ϵ) →

uk < ϵ - это равномерная сходимость ряда(??)

k∑

∑

=n+1

sm − sn =

uk < ϵ так как пространство Банахово, то эта фундаментальная

=n+1

k=n+1

последовательность, и она сходится к некоторому элементу пространства s

∑

s = s − sn + sn 6 sn + s − sn 6

∞

uk + s − sn 6 uk + s − sn 6 uk + s − sn

u(x) = λ ∫G

k=0

( )

K(x, y)u(y)dy + f (x); x

Теорема 9.3: Пусть в интегральном уравнении ( ) ядро полярное и такое, что |λ|· K C(

) < 1

Тогда:

1°) интегральное уравнение ( ) имеет единственное решение u(x) C(

)

f (x) C(

). Это решение

да¼тся (при фиксированном λ) нормально сходящимся рядом Неймана:

∑j

∞

u(x) = f (x) + λjKj f (x) = λjKj f (x) x

2°) Оператор (I

−

λK) отображает вс¼ C(

) íà âñ¼ C(

), имеет непрерывный обратный оператор

(I − ΛK)−1, è

справедлива оценка:

(I − λK)−1

) 6

C(G)

− | |·

1)λK - сжимающий оператор: λK = |λ|· K < 1 Используем метод приближений:

u0(x) = f (x); u1(x) = f (x) + λKu0(x) = f (x) + λK f (x) u2(x) = f (x) = λKu1(x) = f (x) + λK f (x) + λ2K2 f (x)

∑N

uN(x) = f (x) + λKuN−1(x) = f (x) + λjKj f (x)

j=1

1)âñå ui(x) - непрерывные (частичные суммы ряда Неймана, λ - фиксированное)

λjKj f (x) C(

)

= λj

· Kj f (x) C(

)

6 λ j· K Cj (

)·

f C(

) =

( λ · K

))j

· f

)

∞

j j

∞

∑

λ K f (x) C(

) 6 [

j=0 (|λ|· K C(

)) ]· f C(

) 6

· f C(

)

1 − |λ|· K C(

)

j=0

ïðè N → ∞ uN(x) → u(x) = f (x) + λ· Ku(x)

А это и есть выполнение нашего интегрального оператора.

Пусть есть 2 решения: v(x) = uI(x) − uII(x)

v(x) = λKv(x)

v C(

) = |λ|· Kv(x) C(

) 6 |λ|· K C(

)· v C(

), отсюда

[1 − |λ|· K C(

)]· v C(

) 6 0

Первая скобка > 0, вторая 6 0, отсюда v C(

)

= 0

u(x) = λKu(x) + f (x)

à)(I − λK)u(x) = f (x)

á)u(x) − (I − λK)−1 f (x)

Оценим оператор (I − λK)−1 :

λK)−1 f (x)

u(x)

∞

λjKj

f (x)

∞

λjKj f (x)

−

C(G)

−

C(G)

∑

C(G)

− |

|·

C(G) ·

C(G)

)

j=0

k=0

Лемма 9.3:

(I − λK)−1a, b = ∫

[

(I − λK)−1a(x) b(x)dx - является регулярной функцией от λ

à) a(x), b(x) C(

)

]

в круге |λ| <

K C(

)

) < 1, òî (I − λK)−1a, b = a, (I − λK′)−1b

á)Åñëè |λ|· K C(

Доказательство: a C(

), b C(

)

∑j

∞

(I − λK)−1a(x) = λjKja(x)

∑j

∞

λjKja(x)b(x) - сходится равномерно

его можно почленно интегрировать.

[

]

∑

∫

(I − λK)−1a(x) b(x)dx = ∫

∞

∫ [Kja(x)]b(x)dx

j=0

λjKja(x)b(x)dx = j=0

λj

- степенной ряд

∫

λj

[Kja(x)]b(x)dx 6 |λ|j· Kja C(G)· b C(G)· mes G 6 |λ|j· K Cj (G)· a C(G)· b C(G)· mes G =

C(G)) ·

|·

C(G)·

C(G)

mes G

|λ| 6 − ϵ, в этом круге функция будет регулярной.

K C(G)

∑j

(I − λK′)−1b(x) =

∞

λj(K′)jb(x) - ряд Неймана

K a

K′

Ka, b

K′b

, (

, b

= a, (K′)jb

Kja, b

∞

∑j

(I − λK)−1a, b =

λj Kja, b =

λj a, (K′)jb = a,

λj(K′)jb = a, (I − λK′)−1b

Интегральные уравнения с вырожденными ядрами.

Интегральное уравнение v(x) = λ ∫G

Определение:

K(y, x)v(y)dy + g(x); x

( ) u(x) = λ ∫ K(x, y)u(y)dy + f (x); x

называется союзным интегральным уравнением к

K(y, x) = K′(x, y)

∑j

Определение: Ядро K(x, y) C(

) называется вырожденным, если K(x, y) =

aj(x)bj(y), ãäå:

aj(x) C(

);

bj(y) C(

);

N - конечно

{a1(x), . . . , an(x)} - линейно независимы

{b1(y), . . . , bn(y)} - линейно независимы

∑

N−1

aN(x) = α1a1(x) + . . . + αN−1aN−1(x) = αkak(x)

∑

k=1

∑

N−1

K(x, y) = aj(x)· bj(y) + aN(x)· bN(y) = aj(x)· bj(y) + αkak(x)bN(y) =

∑j

j=1

]

∑j

j=1

k=1

[

N−1

= aj(x) bj(y) + αjbN(y) = aj(x)bj(y)

Подставим: u(x) = λ ∫

[ ∑

]

aj(x)bj(y) u(y)dy + f (x),

j=1

Введ¼м обозначения:

à)µij = ∫

bi(y)aj(y)dy = bi, aj ;

A = µij iN,j=1

φ1

φN

á)

φi = ∫

bi(y) f (y)dy = bi, f ;

→−

= .

ñ)

∫

bi y u y dy

bi u

→−

( ) ( )

= ,

;

( )

Утверждение (об эквивалентности) :

1)Пусть u(x) C(G) - решение интегрального уравнения ( ) с вырожеднным ядром. Тогда:

∑j

а) выполняется равенство: u(x) = λ

cjaj(x) + f (x),

→−

определ¼н отношением (

)

б) где вектор

в) и удовлетворяет: (

E −

→−

(

)

) c = φ

∑j

→−

u x

2)Пусть

). Тогда

) = λ

cjaj x

) +

) - решение интегрального

c - некоторое решение СЛАУ (

(

уравнения.

[ ∑

]

∑ {

}

∑

à)u(x) = λ ∫

j=1 aj(x)bj(y) u(y)dy + f (x) = λ j=1

aj(x) ∫ bj(y)u(y)dy + f (x) = λ j=1 aj(x)cj + f (x)

∫ aj(x)bi(x)dx +

∫

∫ bj(x)u(x)dx = λ j=1 cj

f (x)bi(x)dx

∑j

∑

→−

−

→−

= λ c

+ φ

c =

λA c

λA) c

= φ

[ ∑

]

∑

u (x) − λ ∫

∫ bj(y)u (y)dy − f (x) =

j=1 aj(x)bj(y) u (y)dy − f (x) = λ j=1 cjaj(x) + f (x) − λ j=1 aj(x)

∑

[

]

∑

[ ∑

]

∫

= λ j=1 aj(x) cj −

bj(y)u (y)dy = λ j=1 aj(x)[cj − ∫

bj(y) λ i=1 ciai(y) + f (y) dy] =

]

∑

[

∑

∫

bj(y)ai(y)dy − ∫

= λ j=1 aj(x)[cj − λ i=1 ci

bj(y) f (y)dy] = λ j=1 aj(x) cj − λ i=1 µji· ci − φi

= 0

То есть невязка = 0, и мы доказали утверждение.

Теперь рассмотрим союзное уравнение:

v(x) = λ ∫

[ ∑

]

bj(x)aj(y) v(y)dy + g(x), x

Gj=1

∑N

v(x) = λ bj(x)dj + g(x), ãäå:

		j=1
di = ∫G	ai(y)v(y)dy ψi = ∫G						ai(y)g(y)dy
Причем		(E		T	→−	ψ
		(E	−	λA	) d	= →−
			−

Пусть D(λ) = det(E − λA) = det(E − λA)T = det(E − λAT)

1)D(λ) - многочлен от λ степени 6 N

2)D(λ) . 0, D(0) = 1

3)D(λ) = 0 имеет конечное число корней λ1, λ2, . . . λp

(I) D(λ)

0 (λ

)

тогда (

→−

λ , λ

, . . . λ

−

) c

φ имеет единственное решение

(II) λ = λk

(1 6 k 6 p)

D(λ) = 0

Rg(E − λA) = Rg(E − λAT) = r < N

Пусть m = N − r

Пусть (

→−

−

) c

= 0 имеет фундаментальную матрицу решений, состоящую из

c (1)

c (2), . . . , c (m)

∑j

u1(x), u2(x), . . . , um(x) - решения, им соответствующие;

uk(x) = λ c(jk)aj(x)

→−

→−(1)

→−(2)

→−(m)

Пусть

−

λA

имеет фундаментальную матрицу решений, состоящую из

) d

, d

, . . . , d

Покажем, что u1(x), u2(x), . . . , um(x) - базис в пространстве решений однородного уравнения. Для этого сначала покажем их линейную независимость. Пусть

α1u1(x) + . . . + αmum(x) = 0

]

∑

[

]

∑

0 = α1

[λ j=1

aj(x)x(1)j

] + . . . + αm[λ j=1

aj(x)x(jm)

= λ j=1

aj(x) α1c1(1) + . . . + αmc(jm)

= 0

λ , 0 (иначе матрица будет единичной)

α = 0

k = 1, m

À òàê

{

}

Система

aj(x)

j=1 - линейно независима

α1c1(1) + . . . + αmc(jm) = 0

êàê

→−

(j)

- линейно незавиñèìû, òî

Определение: функция u(x) C(G), u(x) . 0, удовлетворяющая однородному интегральному уравне-

∫

íèþ u(x) = λ K(x, y)u(y)dy называется собственной функцией ядра K(x, y) (или интегрального опера-

òîðà K). Собственное число λ называется характеристическим числом ядра.

1)характеристические числа , 0				(λ , 0)
2)µ =	1	Ku = ∫G	K(x, y)u(y)dy =	1		u(x)
	λ				λ

3)Характеристическое число - корень характеристического уравнения D(λ) = 0

4)Характеристические числа ядра и транспонированного ядра - совпадают и их конечное число

(для них одинаковое характеристическое уравнение)

Условие разрешимости интегрального уравнения

u(x) = λ ∫G

K(x, y)u(y)dy + f (x)

(

−

A →−

→−

φ,→−) = 0

→−

по теореме Фредгольма

T)→− = 0

(

) c

= φ;

(λ) = 0

− N

(→−

]

∑

∑ G

[ ∑

0 = j=1 φjdj = j=1

∫

bj(y) f (y)dy· dj = ∫

f (y)

j=1 bj(y)dj dy = 0

∑j

v(x) = λ bj(x)dj

λ ∫G

∫G

f (y)v(y)dy = 0

v(y) - решение однородного союзного уравнения

f (y)v(y)dy = 0

Теперь пусть λ - любое, но ядро вырождено.

Интегральное уравнение с полярным ядром.

u(x) = λ ∫G

K(x, y)u(y)dy + f (x),

v(x) = λ ∫G

K(y, x)v(y)dy + g(x),

Теорема Вейерштрасса (аппроксимацоинная)

Пусть Ω - ограниченная область в Rnh(x) C(G).

Тогда ϵ Pϵ(x) переменных x1, x2, . . . , xn, h(x) − Pϵ(x) C(G) = max |h(x) − Pϵ(x)| < ϵ

x G

Лемма 9.8: Пусть K - интегральный оператор с непрерывным ядром K(x, y) C(G × G). Тогда ϵ > 0

Интегральный оператор K можно представить в сиде K = Pϵ+K0,ϵ, причем K0,ϵ C(G) 6 ϵ; K0′,ϵ C(G) 6 ϵ Ãäå Pϵ - интегральный оператор с вырожденным ядром

K0,ϵ - интегральный оператор с непрерывным ядром. Доказательство:


1)K(x, y) C(G × G)			Pϵ(x, y) переменных x1, . . . , xn, y1, . . . , yn такой, что
Ââåä¼ì			ϵ
	K(x, y) − Pϵ(x, y)		−
max	K(x, y) − Pϵ(x, y)	< mes G
x,y G	K0,ϵ(x, y) = K(x, y)
	K0,ϵ(x, y) = K(x, y)			Pϵ(x, y)

Понятно, то Pϵ(x, y) будет интегральным оператором с вырожденным ядром:

	\|α\|+\|β\|6M
	∑
Pϵ(x, y) =	Cαβxα yβ, α = (α1, . . . , αm); β = (β1, . . . , βn)
	α,β

xα = xα1	. . . xαn ;	yβ = yβ1			. . . yβn
1	n			1	n		оператор с полярным ядром
Лемма 9.9: Пусть				- интегральный			оператор с полярным ядром
			K					ϵ
						· mes G 6 mes G· mes G = ϵ
K0,ϵ C(G) = max		K(x, y) − Pϵ(x, y)				· mes G 6 mes G· mes G = ϵ
	x,y G

Тогда ϵ > 0 он представляется в виде: K = Pϵ + Qϵ, ïðè÷¼ì Qϵ C(G) Pϵ - интегральный оператор с вырожденным ядром

Qϵ - интегральный оператор с полярным ядром

Доказательство: ϵ > 0 K = K1,ϵ/2 + K2,ϵ/2 по теореме 9.2, где: K1,ϵ/2 - интегральный оператор с непрерывным ядром

K2,ϵ/2 - интегральный оператор с полярным ядром

K(x, y).

< ϵ; Q′ϵ C(G) < ϵ

K2,ϵ/2 C(

) <

K2′

,ϵ/2 C(

) <

K0′,ϵ/2

K1,ϵ/2 = Pϵ/2 + K0,ϵ/2,

K0,ϵ/2 C(

) <

)

K = K1,ϵ/2 + K2,ϵ/2 = Pϵ + K0,ϵ/2 + K2,ϵ/2 = Pϵ + Qϵ

Qϵ - интегральный оператор с полярным ядром

Qϵ C(

) = K0,ϵ/2 + K2,ϵ/2 C(

) 6 K0,ϵ/2 C(

) + K2,ϵ/2 C(

)

Пусть K(x, y) - полярное ядро интегрального оператора;

DR = λ : λ C; |λ| 6 R

Выберем	1	}
{		}

ϵ > 0, ϵ = 2R

∑N

P(x, y) = aj(x)· bj(y)

j=1

+ 2ϵ = ϵ

R > 0 - любое конечное

Q′ C(

Q C(

) <

u = λKu + f

u = λ(P + Q)u + f

−

λQ)u = λPu + f (I + λQ′)v = λP′v + g

∑

∫ bj(y)u(y)dy + f (x)

(I − λQ)u = λ j=1 aj(x)

∑

N	∫ aj(y)v(y)dy + g(x)
(I − λQ′)v = λ j=1 bj(x)

1 1

λQ C(G) = |λ|· Q C(G) 6 λ2R 6 2 < 1

(I − λQ)−1, он ограничен и переводит C(G) â C(G) домножим на него:

u(x) = λ (I − λQ)−1aj(x)

=1
∑j	\|	aj {z }
		ˆ (x, λ)

∑N

u(x) = λ aˆj(x, λ)cj + fˆ(x,

∫

bj(y)u(y)dy + (I − λQ)−1 f (x)

| {z }

G	}	fˆ(x, λ)
\| {zj	}	fˆ(x, λ)
c
λ)

j=1

(x) ∫ aj(y)v(y)dy + (I − λQ′)−1 g(x)

(I − λQ′)−1bj

v(x) = λ j=1

∑

j {z

}

{zj

}

gˆ(x, λ)

b (x, λ)

∑j

+ gˆ(x, λ)

v(x) = λ

bj(x, λ)dj

→−

( )

[

c =

−

λ ˆ(λ)] c = φ

(

)

ˆ′

→−

[E λA

(λ)] d

= →−

−

A(λ) = µˆ ij(λ) iN,j=1

µˆ ij(λ) = (bi, aˆj) = bi, (I − λQ)−1aj

c1	ˆ	φˆ1
.	ˆ	.
.	→−	= .
.	φ	.
cN		φˆN
d1		ˆ
d1	→−	ψ1
.	→−	.
.	ˆ	.
.	ψ	= .
.		.
dN		ˆ
dN		ψN

A′(λ) = µˆ ij′ (λ) iN,j=1

µˆ ij′ (λ) = (ai, bˆ j) = ai, (I − λQ′)−1bj

φˆi = bi, (I − λQ)−1 f

ψˆi = ai, (I − λQ′)−1 g

Лемма 9.10:

1°) Матрица A′(λ) - транспонированная к матрице A(λ)

системы уравнений ( ) и (

) - системы с

транспонированными матрицами.

2°) Элементы µˆ ij(λ) матрицы A(λ) - регулярные функции параметра λ в круге |λ| < 2R

Доказательство:

1) λQ C(

) 6

|λ|· Q C(

) < 2R

< 1

То есть даже в области |λ| < 2R наш оператор является оператором с малой нормой.

То же самое можно сказать и про λQ′: λQ′ C(

) < 1

| |

µˆ ′

, (I

λQ′)−1b

λQ)−1a

, b

, (I

(λ)

(λ) = a

−

= (I

−

= b

−

λQ)−1a

= µˆ

То есть матрицы являются транспонированными для

λ 6 R :

(λ) det − λ ˆ(λ) det − λ ˆ′(λ)

D = E A = E A

1)D(λ) - не есть многочлен от λ, но является регулярной функцией λ при |λ| 6 R

2)D(0) = 1 D(λ) . 0

3)В круге |λ| 6 R D(λ) может иметь лишь конечное число нулей. Предположим противное. Тогда

можем выбрать подпоследовательность, которая сходится к некоторой точке. Такая функция должна быть ≡ 0

D(λ) → λ1, λ2, . . . , λp(R)

( ) будет иметь невырожденную матрицу имеет решение всегда. Размерности пространств для основного уравнения и для союзного совпадают.

Теперь нам бы хотелось найти условие разрешимости, когда мы попадаем в λ

á)v(x) = O

u(x) = λ ∫G

K(x, y)u(y)dy + f (x)

∑

(I − λQ)u(x) = λ j=1 aj(x) ∫ bj(y)u(y)dy + f (x)

→−

(

−

λ ˆ

(λ)) c

= φ

(E − λAˆ′(λ))→−d = 0

φˆ T→−

= 0 = λ

∑j

−1

∑j

′ −1

∑j

bj, (I

f dj =

f, (I

bj dj = f, λ

f, v(x)

→−

φjdj = λ

−

λQ)

−

λQ )

bj(x, λ)dj

∑j

Òàê êàê

v(x) = λ

bj(x, λ)dj

f, v(x) = 0 - необходимое условие разрешимости

Теория потенциалов.

= −

4π x

∆K3(x) = δ(x)

φ(x)

φ(x) C∞(R3)

φ(x) ≡ 0 |x| > A

( −

)∆yφ(y)dy = φ(0)

4π y

R∫

функция v(x) âèäà v(x) = R∫3

Определение:

потенциалом ρ(x)

v(x) =

−

4πρ(

)

( −

)dy

4π

x y

R∫

−

ρ(y)

|x − y|dy называется объ¼мным Ньютоновым

Теорема 10.1: Пусть

1)ρ(x) - кусочно-непрерывная ограниченная функция в R3

2)ρ(x) ≡ 0 x : |x| > A

3 Ω R3, такое что ρ(x) C1(Ω)

Тогда:

à)v(x) C1((R3))

1 ïðè |x| → ∞ |x|

â)v(x) C2(Ω)

ã) x Ω ∆v(x) = −4πρ(x)

Доказывать эту теорему мы будем в более простом случае, а именно, когда

ρ(x) C∞(R3) & ρ(x) ≡ 0 x : |x| > A

y − x = z :

v(x) = R∫3

ρ(

)

dy = R∫3

ρ(x +

dz = R∫3

)

ρ(x

|x − y|

|z|

|y|

Dxαv(x) = R∫3

Dxαρ(x + y)

dy α & x R3

|y|

∂F

Лемма 10.1: Пусть F(x, y) è

(x, y) C(Ω × G) j = 1, m

∂xj

Ω - ограниченая область в Rm

G - ограниченная область в Rn

g(y) - абсолютно интегрируема, то есть

∫G

|g(y)|dy < +∞

Тогда ∫G		∂	∫G	F(x, y)g(y)dy = ∫G	∂F
	F(x, y)g(y)dy C1(Ω) è					(x, y)g(y)dy
		∂xj			∂xj

Доказательство:
\|F(x, y)\| 6 M x Ω, y G
∫ \|F(x, y)g(y)\|dy 6 M	∫	\|g(y)\|dy < +∞

G∫ G

Пусть Φ(x) =

F(x, y)g(y)dy, x Ω,

x = (x1, x2, . . . , xm)

∆x = (0, 0, . . . , β, 0, . . . , 0)

где β стоит на j месте

Оценим следующую величину:

Φ(x + ∆x)

Φ(x)

∂F

F(x + ∆x, y)

−

F(x, y)

∂F

−

− ∫

(x, y)g(y)dy

∫

[

−

(x, y) g(y)dy

∂xj

]

∂

(x + θ

∆x, y)

(x, y)

· |

g(y) dy

K = ϵ

6 1

K ·

∫

∂xj

− ∂xj

|·

∂F

ϵ > 0 δ(ϵ) > 0 ∆x : |∆x| < δ(ϵ) →

(x + θ∆x, y) −

(x, y) <

;

K = ∫

|g(y)|dy

∂xj

Продолжим доказательство теоремы

Ω : |x|

< R (R - произвольное)

G : |y| < R + A

F(x, y) = ρ(x, y);

g(y) =

|y|

Пусть |x| < R & |y|

6 R + A

|x + y| 6 |y| − |x| 6 R + A − R = A ρ(x + y) ≡ 0

∫

)

v(x) =

ρ(x

ρ - бесконечно дифференцируема.

|y|

|y|<R+A

Dxαv(x) =

∫

Dxαρ(x + y)

∫

Dαyρ(x + y)

dy =

|y|

|y|<R+A

∆xv(x) = R∫3

∆

ρ(x + y)

dy = R∫3

−

4π∆yρ(x + y)

dy = −4πρ(x + 0) = −4πρ(x)

|y|

−4π|y|

Теперь докажем пункт б) нашей теоремы.

|ρ(x)| 6 M x : |x| 6 A

|v(x)| 6 ∫3

ρ(y)

6 M ∫

| |

|x − y|

|y|<A

|x|

6 A

> 2A

−

| − |

| −

| |

dy 2

2M 4

|v(x)| 6 M ∫

∫

πA3

v(x) = O

)

|x|

(

| |

Потенциал простого слоя

Определение: ограниченноя область Ω R3 называется областью с границей Γ класса C2, åñëè îíà

удовлетворяет условиям:

1)Для любой точки x0 = (x01, x02, x03) Γ существует такая декартова система координат = ( 1, 2, 3) с началом в точке x0 (система координат зависит от точки) и функция Fx0 ( ′), ãäå ′ = ( 1, 2), | ′| 6 r,

такие что	∂Fx0 (0, 0)
à)Fx0 ( ′) C2(\| ′\| 6 r), Fx0 (0, 0) = 0,		= 0 (i = 1, 2)
	∂ i

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.20253 Мб4lekcii_po_kursu_promyshlennye_roboty_dlya_stude...doc
#
03.06.201523 Кб18Lektsia_5_Eumetazoa.docx
#
01.07.202512 Мб2Lektsii_Development (1).docx
#
03.06.20151 Мб12Lektsii_Vesna.pdf
#
03.06.2015304 Кб11Lektsii_zubova_1.pdf
#
03.06.2015320 Кб9Lektsii_zubova_2.pdf
#
03.06.2015450 Кб12Leonidov.pdf
#
01.07.20254 Мб4Linear Methods.doc
#
01.07.20254 Мб1Linear-PremoLab-Series.doc
#
03.06.2015551 Кб5LM1117.pdf
#
03.06.201521 Мб142M.A.Leontovich-термодинамика и стат физика.pdf