Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lektsii_zubova_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

320 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

б)Множество Σx0

= {x : 3 = Fx0 ( ′), | ′| 6 r} Γ - кусок границы

в)Множество U−

= x : F

( ′)

−

h <

< F

0 ( ′),

′

< r

}

Ω

{

г)Множество U+

{

x : F

0 ( ′) 6

6 F

0 ( ′) + h,

′

< r

не пересекается с Ω

}

(здесь r > 0, h > 0 - некоторые константы)

2)Òàê êàê Fx0 ( ′) C2(| ′| 6 r), òî

∂Fx0 ( ′)

∂2F 0 ( ′)

r > 0,

h > 0,

M1 è M2

можно было выбрать не зависящими от точки

3)Требуется,

чтобы постоянные

∂ i

6 M1

∂ i∂ j

6 M2

(i, j = 1, 2; | ′|

6 r)

и соответсвующей

ýòîé

точке декартовой системы координат.

Декартову систему координат и окрестость Ux0

= Ux−0

Ux+0

будем называть подходящими для

точки x0, а переменные ′ = ( 1, 2) - локальными координатами на куске Σx0 границы Γ

Неогрàíиченная область

называется внешней областью с границей класса

2, если множе-

\Ω)

Ω R

ñòâî (R

является ограниченной областью с границей Γ класса C

Утверждение: В подходящей системе единичный вектор нормали к Γ на куске Σx0

( ′)), | ′| 6 r, имеет вид

в точке ( 1, 2, Fx0

( −

∂x 1

, −

∂x 2

, 1)

∂F 0

( )

∂F

( )

→−

n ( )

√

1 + (

∂x 1

)

(

∂x 2

)

∂F

( )

∂F

0 ( ) 2

0, которая соответствует точке = 0,

→−

В частности, в точке

n (0) = (0, 0, 1). Таким образом, ось O

направлена по внешней нормали

→−

является касательной

к поверхности Γ в точке x0, а плоскость O

к Γ в этой точке

Свойства границ класса C2

(1) Функция Fx0 ( ′) удовлетворяет оценке

|Fx0 ( ′)|

6 M2· | ′|2

ïðè | ′| 6 r

Для доказательство воспользуемся формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранджа:

∑

∂F 0

( )

∑

∂2F 0

(

)

∑

|Fx0 ( ′)| = |Fx0 ( ′) − Fx0 (0)| =

0 · i

i,j=1

η′

· i· j

M2 i,j=1

| i|· | j| =

i=1

)

∂ i

∂ i∂ j

′

(2) Åñëè

, à

) (

)

системе координат , то

(

Σx0

1, 2, Fx0 ( ′)

η1, η2, Fx0 (η′)

- координаты этих точек в подходящей

| ′ − η′| 6 |x − y| 6 C· | ′ − η′|, ãäå C > 1 не зависит от точки x0 и точек x Σx0

è y Σx0

Действительно,

|x − y|2 = ( 1 − η1)2 + ( 2 − η2)2 +

(Fx0 ( ′)2− Fx0 (η′))2

Следовательно,

|x − y| > ( 1 − η1)2 + ( 2 − η2)2 = ′ − η′

∂Fx0

С другой стороны,

Fx0

( ′) − Fx0 (η′) = [

′

· 1 − η1

˜ ′

· 2

− η2

)

] 6

∂ 1

∂ 2

(

)

( ) (

)

( ) (

(

)

(

)

((

)

(

)

∂Fx0

( )

∂Fx0

( )

Отсюда,

˜ ′

− η1 +

2·

∂ 1

˜ ′

· 1 − η1 + 2·

∂ 2

− η2

6 2· M1

2 − η2

−

= ( 1

−

(

−

(η′)

)

6 (1 + 2M1)

· |

′

−

η′

η1) + ( 2

η2) + Fx ( ′)

(3) Существует число d > 0, не зависящее от точки x0 Γ и такое, что шар

B(x0, d) = {x : |x − x0| < d} Ux0

(4) Для любых x

Γ è y

|→−

−

→−

3· |

−

→−

Γ имеет место оценка:

n (x)

n (y)

6 M

, ãäå

(x) - единичный

вектор

нормали к Γ в точке x (M3 - константа, зависящая только от Γ).

Для близких x è y (а именно |x − y| < d) имеем:

( −

, −

, 1)

( −

∂ 1

, −

∂ 2

, 1)

∂ 1

∂η2

∂Fx0

( ′)

∂Fx0 ( ′)

∂Fx0

(η′)

∂Fx0

(η′)

→−

n (x) =

n (y) =

√1 + (

∂ 1

)

+ (

∂ 2

)

√1 + (

∂ 1

)

+ (

∂ 2

)

∂Fx0 ( ′) 2

∂Fx0 (η′) 2

→−

−

→−

(x)

(y) =

F 1 ( ′)

F 1 (η′)

F 2 ( ′)

F 2 (η′)

√

) −

1 + F2 (

) + F2 (

+ F2 (η

) + +F2

(η

)

+ F2 (

) + F2 (

1 + F2

(η

) + +F2 (η

)

′

( ) (

)

( ) (

1 + F

+ F

1 + F

+ F

)

∂

F 1

˜ ′

η1 + ∂

F 1

˜ ′

η2

−

∂ 1

∂ 2

∂

F 2

ˆ ′

η1 +

∂

F 2

ˆ ′

η2

1 + F

+ F

( ) (

)

1 + F + F

(

) (

)

∂ 1

−

∂ 2

√

6 2

′

−

η′

6 2

M3· |x

− y|

C· |

C· |x − |

Для того, чтобы рассматриеваемое неравенство было справедливо для дал¼ких

x è y (òî åñòü äëÿ

|x − y| > d), достаточно константу M3 оперделить равенством M3 = max ( √2C, d)

(5) Åñëè x < Γ, то найд¼тся такая точка x Γ, ÷òî

y Γ

|x − y| > |x − x |

Величина |x − x | называется расстоянием от точки x до границы Γ. Все точки Γ лежат вне шара

B(x, |x − x |). Точка x лежит на границе этого шара. Поэтому вектор (x − x ) ортогонален плоскости,

касающейся Γ в точке x . Операция построения вектора (x − x ) называется операцией опускания

перпендикуляра из точки x íà Γ.

Функцию вида V(0)(x) = ∫Γ

|x −yy|dSy называют потенциалом простого слоя

µ(

)

Γ C2 - ограниченная поверхность

µ(y) - некоторая функция, имеющая физический смысл плотности потенциала простого слоя

µ(x) C(Γ)

Теорема 10.2: Пусть µ(x) C(Γ). Тогда

(0)

(x) C(R3

)

1)Потенциал простого слоя

2)V

(0)

(x) - гармоническая функция в (R \Γ)

3)V(0)(x) = O(

)

ïðè x → ∞

|x|

Доказательство:

3) только что делали то же самое, только интеграл не по шару, а по границе ограниченного множества. 2)Рассмотрим произвольную x1 (R3\Γ) δ = dist{x1, Γ} > 0

(

)

y Γ

Рассмотрим 2 множеств: x B x1, δ/2 ,

|x − y| = |x − x1 + x1 − y| > |x1 − y| − |x − x1

| > δ −

> 0

C∞(

× Γ)

Теперь мы можем рассмотреть наше ядро

B x1

, δ/2

x − y|

значит е¼ можно дифференцировать под знаком|

интеграла:(

)

DxαV(0)(x) = ∫Γ

Dxα(

)µ(y)dSy

|x − y|

Потенциал простого слоя - бесконечно дифференцируемая функция.

∆xV(0)(x) = ∫	∆x	(	1	)	µ(y)dSy = 0
			\|x − y\|
Γ		\| {z }

ôóíä. ðåø.

А что происходит в точках поверхности? Γ - ограниченное, замкнутое множество.


	V(0)(x) = ∫Γ		µ( )
µ(x) C(Γ);			y	dSy 1	< 2 - ядро будет полярным. (2 - размерность поверхности Γ)
µ(x) C(Γ);			\|x − y\|	dSy 1	< 2 - ядро будет полярным. (2 - размерность поверхности Γ)
K(x, y) =	1	(x, y) (Γ × Γ)
K(x, y) =	\|x − y\|	(x, y) (Γ × Γ)

Выберем некоторое ограниченное замкнутое множество. Мы построим некоторую последовательность непрерывных функций, которая будет сходиться к непрерывной функции.(??WTH??)

(0)

= ∫Γ

(

)δµ(y)dSy, ãäå:

Vδ

|x − y|

|x − y|,

|x − y| > δ

непрерывная δ срезка

(| − |)

, x y < δ

| −

−

(

)δ

(

)

−

C R3 × R3

Критерий "дал¼кости"точки:

1)dist(x, Γ) > δ - äàë¼êèå.

2)dist(x, Γ) < δ - близкие

Vδ

− V

= 0

Теперь рассмотрим близкие:

(0)

Для дал¼ких точек очевидно выполняется:

∫

(

)

∫

(

) )

−

(0)

Vδ

− V(0)

−

µ(y)dSy

−

µ(y)dSy 6

µ(y)

| − |

dSy

| − |

y Γ; x y <δ

∫

dSy 6 M·

∫

|x − y|

y Γ; |x−y|<δ

Теперь пусть x - проекция точки x íà Γ

y : |y − x| < δ : |y − x | 6 |y − x| + |x − x | 6 δ + δ = 2δ

∫

M·

6 M·

|x − y|

y Γ; |x−y|<δ

y Γ; |x −y|<2δ

)

1)|x − y| > |η′|

y = 1, 2, Fx ( 1, 2)

′|

′ −

|x −

(

6 2δ

√

(

)

(

)

3)dSy = v1 +

∂Fx

∂

d 1d 2 6 1 + 2M12 d 1d 2

2π

2δ

(0)

d 1d 2

∫ dφ ∫

ρdρ

− V(0)

Vδ

6 M

1 +

η′

= M

1 + 2M12

ρ = 4πM 1 + 2M12· δ 0 ïðè δ → 0

2M12

∫

Òî åñòü íàøà

оценка не зависит от точки x.

√

η′

<2δ

√

Заряды распределены по поверхности с какой-то плотностью.

Потенциал двойного слоя

∫

→−

(

−

∂

Интеграл вида V(2)(x) =

∂ny

ν(y)dSy называется потенциалом двойного слоя

Физический смысл - на поверхности распределены диполи, и поле таких диполей - V(2)(x)

∂

∑

∂

∑

(xk

yk)

x − y →−

−

, n (y)

= nk(y)

(

)

∂ny

−

∂yk

−

→−(

k=1

−

Лемма 10.2: Пусть ν(x) C(Γ). Тогда:

1)V(2)(x) - гармоническая функция в (R3\Γ)

2)V(2)(x) = O(

)

|x|2

(| − |

∑

(| − |)

∂

Пусть x < Γ. Тогда V(2)(x) =

∫

→−

)

ν(y)dSy =

k=1

nk(y)

ν(y)dSy =

∫

∂y

∂ny

∑ Γ

−

∂

= − k=1 ∫ nk(y)

ν(y)dSy

∂xk

x y

òàê êàê ∂yk

3(|x − y|) = −∂xk (|x − y|)

∂

∫

n (y)ν(y)

V(0)(x) = − k=1

dSy

∂xk

−

∑

Заметим, что под знаком интеграла стоит потенциал простого слоя.

V(2)(x) - представляется в виде линейной комбинации 3-х гармонических функций. Значит она сама

является гармонической.

→−

x − y →−

∂

(| − |)

| − |

(y)

| − |

область с Γ

Лемма 10.3:

Пусть

Ω - ограниченная

∂ny

x y

(

x y

)

−y

x y

x − y

→−

Тогда

справедлива оценка:

, n (y)

x, y Γ, x , y

(

|x − y|3

)

|x − y|

d > 0 (наверняка это какая-нибудь константа из свойств гладких поверхностей )

Разобь¼м точки на дал¼кие от границы и близкие:

1)äàë¼êèå: |x − y| > d

x − y

→−

2)близкие:| − |

−

| −

, n

(y)

(

x y 3

)

x y 2

x y

|x − y| < d

x( 1, 2, Fy( ′))

В точке y рассмотрим подходящую систему координат: y(0, 0, 0);

→−

= (0, 0, 1)

(y)

)

x2· |y′

6 x

2y , òàê êàê

(

−x

, n (y)

| −

| − |

|x − y| = 12 + 22 + F2y( ′); | ′| = 12 + 22

существует для любой точки

, è

(2)

Лемма 10.4: Åñëè

ÏÄÑ

(2)

√

ν( )

(Γ), òî

√

(

)

(

)

(Γ)

(2)

x − y

→−

, n (y)

V (x) = ∫Γ

K(x, y)ν(y)dSy

K(x, y) =

(

|x − y|3

)

Для полярного ядра x , y

æ(x, y)

α < n

|x − y|α

1)ÿäðî C(.)

2)|ÿäðî| 6

|x − y|α

наше ядро полярное

2. Тогда

Лемма 10.5: Пусть Ω - ограниченная область с Γ C

(1)

∫

→−

∫

x − y

→−

∂

VGAUSS(x) =

∂ny

−

dSy =

(

−

)

dSy

Доказательство: 1) Пусть x Ω

	−4π,	x Ω
			\
=	−2π,	x Γ
=	−2π,	x Γ



	0, x	R3		Ω
	0, x	R3		Ω

u(x) ≡ 1, тогда

1 =

∫Γ

∂

∫Γ

∂1

−

dSy

−

dSy

∂ny

4π x

−

4π

−

∂ny

→−(

(

|) →−

∂

dSy = −4π

∫Γ

∂ny

−

→−

3)Пусть x (R3\

)

Ω

Используем первую формулу Грина:

∫

∫ (

)

(

−

→−

−

( )

Ω

1·

∂

∆y

1 y

· 1 dy

1 y

dSy −

1 y

, y 1 dSy

∂ny

∂

dSy = 0

∫Γ

→−(|

−

∂ny

3) Теперь рассмотрим x Γ

0 = ϵ > 0 Ωϵ = Ω\

Γϵ = Γ\B(x, ϵ);

σϵ =

∩ (|y − x| = ϵ)

B(x, ϵ);

Ω

∫

→−

∫

x − y

→−

∫

−

→−

∂

(y)

Γϵ

σϵ

∂ny

−

dSy =

Γϵ

(

−

)

dSy +

σϵ

(

−

)

dSy

Оценим ∫σϵ

(

|x − y|3

)dSy

x − y

→−

n (y)

−

→−

y, n (y)

n (y)

cos 0

(

)

| − |·

−

→−

−

x − y

(y)

∫σϵ

(

|x − y|3

)

dSy =

∫σϵ

dSy →

2πε = 2π

ε2

x − y

→−

−

→−

(y)

∫

(

−

)

dSy → ∫

(

−

)

dSy

Γϵ

∫

→−

−

Поэтому VGAUSS(2) (x) =

∂

dSy = −2π

∂ny

Пусть Ω - ограниченная область в R3 с границей Γ класса C2. Пусть x0 - произвольная точка на

Γ è d - константа, фигурирующая в свойстве (3) поверхностей класса C2. Покажем,что x, такой что

(x R3) ∩ (|x − x0| 6 4 )

интеграл

∫

x − y

→−

ограничен константой, не зависящей от

I2 =

(

(y)

)

dSy

(.)x

−

|x −y|<d/2

1)Опустим из точки x перпендикуляр на Γ и получим точку x

2)Введ¼м в окрестости (.)x подходящую систему координат, связанную с точкой x

3)Необходимые неравенства:

à)Òàê êàê |x − x0| 6 d4 è x0 Γ, òî |x − x | 6 d4

á)|x0 − x | = |x − x + x0 − x | 6 |x − x0| + |x − x | 6 d4 + d4 = d2

â)Òàê êàê |y − x0| < d2 , |y − x | = |y − x0 + x0 − x | 6 |y − x0| + |x0 − x | < d2 + d2 = d

г) Координаты точек и векторов в подходящей системе координат.
x =((0, 0, 0)	)

y= η1, η2, F(η′) x = (0, 0, x3)

x − y = (−η1, −η2, x3 − F(η′))

→−	(y) =	(−Fη1 , −Fη2 , 1)
n
		√
			1 + Fη21 + Fη22

α)Fη1 (η′) =

∂F

′

∂F

0, 0 = η1

∂2F

′

+ η2

∂2F

˜′

2) − ∂η1

∂η1 (

(

)

2· ∂η12 ( )

· ∂η1∂η2

( )

(

)

Аналогично

∂ F ˜′

∂ F

˜′

β)

η1

η F (η ) 6 M η + η η

M2 +

η1 η2 M2 = M2 η1 + η1 η2

η1Fη1 (η′)

′

η1η2

6 η1

∂η1

∂η1∂η2

| ·

|· |

|·

|· |

−

свойство

поверхности класса

γ)

F 6 M2

η1

+ η2

(1)

(

)

x − y →−

1 + Fη1

+ Fη2

η1· Fη1

1 + Fη1

+ Fη2

F(η′)

(

)

ä)

n (y)

√

M2(|η1|

η2|

+ 2|η1|· |η2| + |η

|η2|

)

+ |x3|

3M2· (|

η1|

+ |η2|

) +

|x3|

2 2

√1 + Fη1 + Fη2

√

1 + Fη1 + Fη2

δ|F(η′)| 6 M2|η′|2 & |x − x | 6

|x3| 6

−2|x3|· |F(η′)| > −2·

M2|η′|2 = −

M2· |η′|2

å)

−

η2

+ η2

+ x2

+ F2(η′)

−

F(η′) > η2

+ η2

−

F(η′)2 >

η′

+ x2

−

η′

· |

> (1 −

M2)· |η′|2 +

|x3|2

→−

x − y

3M2 η′

+ x3

æ)

(y)

· |

I2 =

(

)

dSy 6

1 + Fη1 + Fη2 dη1dη2 6

−

3/2

y <d/2

η′

+ Fη

√

∫

√

− |

| |

[(1 −

M2)· |η′|

|x3|

]

3M2

∫

η′ 2

∫

dη

η2

dη1dη2 + |x3|·

3 / 2

η′

3/2

[1 − 2 M2]

[

(

1 −

· |η′|

]

|η′|<d

+ |x3|

2π

)

3M2

· ∫ ∫

ρd

+ |x3|· ∫ ∫

ρ· dρ· dφ

3 / 2

3/2

[1 − 2 M2]

[(1 −

]

0 0

M2)ρ

|x3|

6πM2

2π

[

]

6πM2

4π

−

= K

3 / 2

dM2/2

ρ2

1/2

3/2

[1 −

2 M2]

[1 −

2 M2]

[1 −

2 M2]

| |

[(

−

)

]

[1 −

2 M2]

Рассмотрим функцию

x − y →−

−

[

]

W(x, x ) = ∫ (

(y)

) ν(y) − ν(x ) dSy

x y 3

(

)

Здесь x0 Γ - произвольная, а x B x0,

Покажем, что

, x

)

ïðè

x → x

W(x, x

) → W(x

Будем действовать по определению. Пусть дано ϵ > 0 Найд¼м δϵ > 0, такое что

x : |x − x0| < δϵ

будет |W(x, x0) − W(x0, x0)| < ϵ

1)Функция ν(x) C(Γ)

ν(x) равномерно непрерывна на Γ

ϵ > 0

β(ϵ), такой что

(y Γ & |y − x0| < β(ϵ))

|ν(y) − ν(x0)| < ϵ

2)Первое приближение к δϵ : δϵ =

(

)

(

)

∫

[

−

→−

− y →−

][

]

| − |

− |

x y, n (y)

, n (y)

|W(x, x ), W(x , x )| =

x y 3

−

y 3

ν(y) − ν(x ) dSy

−

→−

−

→−

−

→−

−

→−

| − |

(y)

\ | − |

(y)

(

x y 3

)−(

y 3

)

∫0

(

x y 3

)−

(

y 3

)

ν(y)−ν(x

dSy

∫0

]

ν(y)−ν(x ) dSy +

[

]

)

| − |

− |

| − |

− |

y x <β [

Γ ( y x <β)

[ ∫

|y−x0|<β

−

→−

∫0

−

→−

]

ν( )

∫

x − y

→−

−

→−

max

(y)

(

)

dSy

(

)

dSy +2·

y Γ |

y |·

(

)

−

(

)

dSy

x y 3

y 3

x y 3

| − |

<β

− |

Γ ( y x

<β)

| − |

− |

}

| −

}

\ | −

6 K

Íî

x − y

→−

−

→−

- непрерывная функция при

\ | − |

(y)

(

)

(

)

ψ(x) =

∫0

x y 3

−

y 3

dSy

|x − x | 6 δϵ =

− |

Γ ( y x <β)

| − |

|x − y| > |x − y| − |x − x | > β −

β > 0

ψ(x0) = 0

Найд¼тся такое δ1, ÷òî x : |x − x0| < δ1

|ψ(x) − ψ(x0)| < ϵ

Определим δϵ òàê: δϵ

{ β/4, åñëè δ1

> β/4

δ1

, åñëè δ1

< β/4

Ïðè

таких, что

| < δϵ

имеем:

)

−

)| < 2K·

− x

|W(x, x

W(x

, x

+ 2M· ϵ = C· ϵ

Заметим, что ϵ > 0 величину δϵ можно выбрать не зависящей от точки x0

Теорема 10.3: Пусть Ω - ограниченная область с Γ C2; ν(x) C(Γ)

1) Тогда ПДС V(2)(x) C(

);

V(2)(x) C(R3\Ω)

Ω

(2)

lim

(2)

(x) = V

(2)

)

2)V+ (x) = x Ω; x→x0 Γ V

− 2πν(x

V(2)

(x) =

lim

V(2)(x) = V(2)(x0) + 2πν(x0)

−

x R3\Ω; x→x0 Γ

Доказательство: Пусть x0 Γ - фиксированно.

∫

(x − y →−3

)

ν(x0) dSy

Рассмотрим функцию W(x, x0) =

ν(y)

−

[

]

n (y)

Она будет непрерывной, и более того, по доказанному ранее, W(x, x0) → W(x0, x0)

ïðè x → x0

V(2)(x) = W(x, x0) + ν(x0)

(x − y

→−3

dSy

, n (y)

∫

|x − y|

)

			Γ
V(2)(x)	→ W(x0, x0) + ν(x0)· (−4π) x → x0, x Ω
0	0	0		x	0	− y →−	0
W(x , x ) + ν(x )· (−4π) = ∫Γ				(	0	, n (y)	)	ν(y)dSy − ν(x ) ∫Γ
						, n (y)
						\|x0 − y\|3

x	0	− y →−	0
(		, n (y)	)
				dSy − 4πν(x ) =
		\|x0 − y\|3

= V(2)(x0) + 2πν(x0) − 4πν(x0) = V(2)(x0) − 2πν(x0)

Аналогично доказывается, если последовательность точек будет снаружи.

Тут написано немного травы, про то что гауссовкий интеграл ограничен. Ну и что, что ограничен? И пара непонятно к чему относящихся рисунков. Далее доказывется факт про функцию W, который

мы доказывали ранее

Правильная нормальная производная потенциала простого слоя.

V(0)(x) = ∫Γ	µ( )
	y	dSy
	\|x − y\|

Производные по нормали существуют, а по касательным производные могут уходит в ∞

Пусть				1			,		2
				u(x) 0C				Γ C
x		x	0		(Ω)0∩ C(Ω)
	=			→−	x	Γ
				+ n (x )t;

Нас интересуют малые параметры t (наверно отрицательные), иначе мы можем вылезти за границу.

∂u	3		∂		du x	0	+ n (x0)t
∂u			∂		du x		→−
	(x) =	nk(x0)		u(x) =	(		dt	)
∂ n (x0)	(x) =	nk(x0)	∂xk	u(x) =	(		dt	)
→−	k=1
	∑

Определение: Говорят, что u(x) имеет правильную нормальную производную по направлению внеш-

ней нормали к Γ из Ω, если

à)

конечный lim

∂u(x)

∂u

)

∂ n (x0)

∂ n

x x0

→

→−

б) Этот предел существует равномерно по всем x0 Γ

→− 0

Лемма 10.6: Åñëè u(x) имеет правильную нормальную производную по нормали n (x ), òî à)u(x) имеет производную по нормали, которая совпадает с ПНП

∂u

á)ÏÍÏ ∂→−n (x0) (x) - непрерывна на Γ

Доказательство: обычная нормальная производная = lim u(x0) − u(x)

(x =

+ n (x0)t) =

→−

du x0 + n (x0)t

x→x0

|x0 − x|

(

0 + n (x0)t

u x

→−

∂u

−

∂u(x) =

∂u

= lim

−

(

)

lim

[

]

t=t˜

= lim

(x)

t>0; t

→

= t>0; t

→

∂ n (x0)

∂ n

Vδ

(

→−

)

Vδ

( ) =

∂ n (x0)

−

δ n (x

) , δ > 0

( )

→−

(Γ)

(

)

∑

0 ∂u

→−

∂u(x0)

(x ) =

∂x

−

Vδ x

k=1

( )

δ n (x )

( )

→−

−

→−

}

∂ n

δ n (x0), x0

- так называемая параллельная поверхность к Γ;

Лемма 10.7: Пусть Ω - ограниченная область с Γ C , функция u(x) такая, что:

1)u(x) C2(Ω) ∩ C(Ω)

2)∆u(x) C(Ω)

3)u(x) имеет правильную нормальную производную по внешней нормали.

Тогда:

∫

→−

Ω

∂u (x)u(x)dSx −

Ω

2dx

∆u(x)u(x)dx =

u(x)

Доказательство: используем первую формулу

Грина (все условия применимости выполнены)

∫

∂ n

→−

∫

u(x)

2dx

∆u(x)u(x)dx =

∂u (x)u(x)dSx −

∂ n

Ωδ

∫

Γδ

Ωδ

u(x)

dx - существует. Далее, как я понимаю мы устремляем δ к 0 и получаем искомое равенство.

Ω

Задача Неймана

Найти u(x) C2(Ω) ∩ C(

), имеющую правильную нормальную производную и удовлетворяющую

Ω

условиям:

∂ n

0, x

Ω

∆u

= u1(x), u1(x) C(Γ)

∂u ≡

→− Γ

Докажем, что у потенциала простого слоя есть правильная нормальная производная.

V(0)(x) = ∫Γ

µ(

)

dSy

|x − y|

∂

µ(y)

∂

y x →−

∂V

)

(0)

(x) = nk(x0)

∫

dSy =

∫

nk(x0)

µ(y)dSy =

∫

(

−x y 3

)

µ(y)dSy

∂ n (x0)

∂xk

x y

k=1

∂xk

x y

→−

k=1

| − |

(| − |)

| − |

∑

∂V(0)

(

0) =

lim

∂V(0)

δ n (x0)

( →− )±

δ>0; δ

→

→−

)

(x )

(

∂ n

(

−x0

∂ n

∫

y 3

)µ(y)dSy - прямое значение нормальной производной от V(0)(x)

→−

∂V

[

(

)

(0)

n (x )

Лемма 10.8: µ(x)

C(Γ) прямое значение нормальной производной

äëÿ x0

Γ и является

непрерывной функцией на Γ

Kˆ (x

, y) = (

|x0 − y|3

)

- полярное

K(x

, y) =

(

|x0 − y|3

)

− y

→−

(y)

−

→−

, n

x0, n (x0)

Теорема 10.4: У потенциала простого слоя V(0)(x) ñ µ(x) C(Γ)

(

→− )

(

→−

)

ÏÍÏ

∂V(0)

(x0)

Имеет место правило скачка:

∂V(0)

(x0) =

∂ n

± 0

→−

δ n

(x )

- полярное

→− (		)
∂V
[(0)		x0 + 2πµ(x0)
∂ n

2) (2)

x − y

→−

, n (y)

Vµ = ∫Γ

(

|x − y|3

)

µ(y)dSy

x →−

∫

→−

∫

(2)

∂V

(2)

W1(x, x0) =

(0)

x + Vµ (x) =

(

−y

)

µ(y)dSy + Vµ (x) =

∂ n (x0)

−

( )

−

→−

−→−

−

→−

M3 y − x

y x, n (y)

n (x )

n (y)

n (x

)

∫

(

)

µ(y)dSy 6

−

(	y		x	→−	(y)	−	→−	)
		−		, n	(y)		n (x0)		µ(y)dSy
		−		\|y − x\|3					µ(y)dSy

|x − y|, действительно:

x0(0, 0, 0);						y = (η1, η2, Fx0 (η1, η2));														x = (0, 0, x3)
					1		2
	y x0 2 = η2						+ η2	+	F 0 (η , η						)	2
\|y		− x 2\| = η21+ η22+ Fx0 (η1											, η2)				x3 2
										x			1	2	−				2
\|		− \|					2								−				2		2			2					2	2		2	2 2	2
			0 2				2	2					0				−				2			2			0			2		2	2 2	2
	y x						η1 + η2					Fx		(η1			−						η1	+ η2	+		Fx	(η1, η2)			η1	+ η2 + M2(η1		+ η2)	2	2
	y x						η1 + η2		+			Fx		(η1	, η2)								η1	+ η2	+		Fx	(η1, η2)			η1	+ η2 + M2(η1		+ η2)	2	2
	\| − \|			=			2	2			0										2	6			η2	+ η2				6					= 1 + M2d
	y x 2			=			2	2			0										2	6			η2	+ η2				6		η2 + η2			= 1 + M2d
	\| − \|					η1 + η2 +				Fx (η1, η2)								x3							1			2				1	2
	\| − \|					η1 + η2 +				Fx (η1, η2)								x3							1			2				1	2

W(x, x0) → W(x0, x0)

∂V(0)

x = W(x, x0) − Vµ(0)(x)

→−

( )

(0)

∂ n (x )

→−

(

)

(

)

(

)

( )

δ>0,δ

→

−

→−

−

→−

−

→−

−

lim

∂V

δ n (x0)

= lim W x0

δ n (x0), x0

lim V(2) x0

δ n (x0)

= W(x0, x0)

lim V(2) x

∂ n (x )

Блин, тут реально полное укурство написано, без поллитра не разобрать.

Теорема 10.5: Пусть Ω - ограниченная область с Γ C2. Тогда у внутренней задачи Дирихле ( ) при

любой граничной функции u0(x) C(Γ), а также задачи Неймана ( ) при любых граничных условиях u1(x) C(Γ) существует единственное классическое решение u(x) è v(x) соответсвенно

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.20253 Мб4lekcii_po_kursu_promyshlennye_roboty_dlya_stude...doc
#
03.06.201523 Кб18Lektsia_5_Eumetazoa.docx
#
01.07.202512 Мб2Lektsii_Development (1).docx
#
03.06.20151 Мб12Lektsii_Vesna.pdf
#
03.06.2015304 Кб11Lektsii_zubova_1.pdf
#
03.06.2015320 Кб9Lektsii_zubova_2.pdf
#
03.06.2015450 Кб12Leonidov.pdf
#
01.07.20254 Мб4Linear Methods.doc
#
01.07.20254 Мб1Linear-PremoLab-Series.doc
#
03.06.2015551 Кб5LM1117.pdf
#
03.06.201521 Мб142M.A.Leontovich-термодинамика и стат физика.pdf