Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

M1_11_2012.pdf

Скачиваний:

141

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

505 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы

4x2 −7x +5	≤ 0	1	≤ 0 x (2;3). Промежуток при-
x2 −5x +6		(x −2)(x −3)

надлежит ОДЗ*. Наименьшая длина промежутка, который содержит все решения, равна 1. Ответ. (2; 3), 1. ◄

п.5. Нестрогое неравенство	f (x)	≥ 0(≤ 0).

	g (x)

Воспользуемся определением нестрогого неравенства и особенностью иррациональных неравенств.

Получим

f (x)= 0,

f (x)

g (x)≠ 0;

≥ 0

(≤

(УР10)

g (x)

f (x)> 0,

g (x)> 0

0).

Пример 11. Решите неравенство

− x − x2

≤ 0.

x2 −1

= 0,

− x − x

2 −1 ≠ 0;

− x − x

♦ Воспользуемся (УР10):

≤ 0

x2 −1

− x − x

> 0,

2 −1 < 0

x = −3,

xx= 2,(−3;2), x {−3} (−1;1) {2}. Ответ: {−3} (−1;1) {2}. ♦

x (−1;1)

§3. Неравенства, содержащие модуль

В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие пере-

менную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).

Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под

2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы

знаком модуля, на каждом из промежутков сохраняли знак, т. е. были или положительными, или отрицательными. Тогда на каждом таком промежутке неравенство можно записать без модуля. В таком случае говорят, что мы раскрыли модуль.

Пример 12. (МГУ, 1993) Решите неравенство

x −1

− x −2

x + 2

♦

< 0 .

x + 2

1. x −1 ≥ 0

x ≥1

x −1

− x −2

= −

< 0 x > −2 .

x + 2

+ 2

Получаем в этом случае x ≥1 .

2. x −1 < 0

x <1

−x +

1 − x −2 = −

2x +1

< 0

x +0,5

> 0 .

x + 2

Рис. 5

И мы получаем в этом случае x (−∞; −2) (−0,5;1) .

Объединяя результаты 1. 2., получаем окончательный

Ответ: (−∞; −2) (−0,5; +∞)

Пример 13. (МГУ, 1992) Решите неравенство

x −5

−1

≤1 .

x −6

−4

♦

x −5

−1

≤1

x −5

−2

x −6

≤ 0.

x −6

−4

x > 6 :

x −5 −2x +12 +3

10 − x

≤ 0 x (−∞;8) [10;+∞).

2x −16

2x −12 −4

Учитывая условие x

> 6 , получаем x (6;8) [10; +∞).

2. 5 ≤ x ≤ 6 :

x −5 + 2x −12 +3

= 3x −14 ≤

0 x (−∞; 4) 14

;

+∞ .

−2x +12 −4

8 −2x

Учитывая условие x [5;6], получаем x [5;6].

x <5 : −x +5 + 2x −12 +3 =

x −4

−1 ≤ 0,

≤ 0

8 −2x

−2x +12 −4

x ≠ 4.

Учитывая условие x < 5 , получаем

x (−∞;4) (4;5).

Ответ: (−∞;4) (4;8) [10; +∞). ♦

2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы

п.1. Неравенства вида f (x) < g (x)

Пусть в некоторой точке

a выполнено неравенство

f (x)

< g (x),

тогда g (a)> 0 и

f (a)

< g (a).

Тогда имеет место картинка

f a

)

(

g a

)

( )

Рис. 6

(

и неравенства −g (a)< f (a)< g (a).

И, наоборот: пусть

в некоторой точке

выполнены

неравенства

−g (a)< f (a)< g (a).

Тогда,

во-первых,

−g (a)< g (a) g (a)> 0 , а,

во-вторых, f (a) < g (a). Следовательно, имеет место условие равносильности

		f (x)< g (x),
f (x)	< g (x) −g (x)< f (x)< g (x)		(УР М1)
f (x)	< g (x) −g (x)< f (x)< g (x)	f (x)> −g (x).	(УР М1)
		f (x)> −g (x).

п.2. Неравенство вида f (x) > g (x).

Пусть в некоторой точке a неравенство выполнено, т. е. f (x) > g (x).

Это означает, что, или,

а) g (a)< 0 (модуль принимает неотрицательные значения и всегда больше любого отрицательного числа), или,

б) если g (x)≥ 0 , имеет место картинка

f (a)

)

(

g(a)

Рис. 7

f (a)> g (a),

исовокупность неравенств f (a)< −g (a).

И, наоборот, пусть в некоторой точке a имеет место совокупность

2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы

неравенств

f (a)> g (a),

f (a)< −g (a).

Тогда,

а) если g (a)< 0 , то неравенство

f (a)

> g (a) выполнено,

б) если

g (a)≥ 0 , то имеет место

предыдущая картинка и выполне-

но неравенство

f (a)

> g (a).

Следовательно

, имеем равносильные соотношения

f (x)

> g (x)

f (x)> g (x),

(УР М2)

f (x)< −g (x).

Пример 14. (МГУ, 2000, ВМК) Решите неравенство x2 −8x + 2 − x2 ≥ 2x + 2.

−8x + 2

− x2

≥ 2x + 2,

♦

x2 −8x + 2

− x2

≥ 2x + 2

−8x + 2

− x2

≤ −2x −2

−8x + 2 ≥ x

+ 2x + 2,

−8x

≥ x

+ 2x

+ 2,

x2 −8x + 2 ≤ −x2 −2x −2;

−8x

≤ x

−2x

−2

−8x + 2 ≤ x

−2x −2,

−8x + 2 ≥ −x

+ 2x + 2

x ≤ 0,

x [1;2], = 2,

x (−∞;0] [1;2] [5;∞).

, (−3; 2),

x ≥

(−∞;0] [5;∞)

Ответ: (−∞;0] [1;2] [5; +∞). ♦

п.3. Неравенство вида

f (x)

g (x)

Рассмотрим разность

f (x)

−

g (x)

. Она может быть любого знака,

2012-2013 уч. год, № 1, 11 кл. Математика. Алгебраические уравнения, неравенства, системы

но сумма f (x) + g (x) всегда неотрицательна, и умножение разности на эту сумму не изменит знака разности, т. е.

(f (x) − g (x))( f (x) + g (x))=

=( f (x)2 − g (x)2 )=(f 2 (x)− g 2 (x))=(f (x)− g (x))(f (x)+ g (x)) и

знак разности f (x) − g (x) совпадает со знаком

произведения (f (x)+ g (x))(f (x)− g (x))

(П М1)

Имеем еще одно условие равносильности

f (x) < g (x) (f (x)− g (x))(f (x)+ g (x))< 0 . (УР М3)

Пример 15. (МФТИ, 2000)

Решите неравенство

−x2 +7x −6

≤ 0.

x2 −6x +5

−

x2 −2x −3

♦ ОДЗ*: −x2 +7x −6 ≥ 0 (x −1)(x −6)≤ 0 x [1;6].

В ОДЗ* имеем

−x2 +7x −6

≤ 0 (в силу УРМ3)

x2 −6x +5

−

x2 −2x −3

−x2 +7x −6

≤ 0

−x2 +7x −6

≥ 0

(2x2 −8x + 2)(−4x +8)

(x −(2 + 3 ))(x −(2 − 3 ))(x −2)

x2 −7x +6 = 0,

x =1,

x ≠ 2 ± 3,

x = 6,

x ≠ 2,

(x −(2 + 3))(x −(2 − 3 ))(x −2)> 0 (2 − 3; 2) (2 + 3;+∞).

Учитывая ОДЗ*, получаем

Рис. 8

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.20254 Мб4Linear Methods.doc
#
01.07.20254 Мб1Linear-PremoLab-Series.doc
#
03.06.2015551 Кб5LM1117.pdf
#
03.06.201521 Мб142M.A.Leontovich-термодинамика и стат физика.pdf
#
03.06.2015688 Кб89M1_10_14.pdf
#
03.06.2015505 Кб141M1_11_2012.pdf
#
03.06.2015582 Кб60M1_8_14.pdf
#
03.06.2015849 Кб80M3_10_14.pdf
#
03.06.2015603 Кб62M3_8_14.pdf
#
03.06.2015364 Кб69M3_8_2010.pdf
#
03.06.2015654 Кб62M4_10_14.pdf