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„«ï äã-ªæ¨© -¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥--ëå ¤¥«® ®¡á⮨â á«®¦-¥¥. |
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Š ª ¦¥ ¬®£«® ¯à®¨§®©â¨ â ª, çâ® äã-ªæ¨ï, ¨¬¥îé ï ç áâ- -ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¢ â®çª¥, -¥ ï¥âáï -¥¯à¥àë¢-®©? Š § - «®áì ¡ë, íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â -¥¯à¥àë¢-®á⨠äã-ªæ¨¨, ¨¬¥î饩 ¯à®¨§¢®¤-ãî. •® ¤¥«® ¢ ⮬, çâ® - «¨ç¨¥ ç áâ-ëå ¯à®¨§¢®¤- -ëå ®§- ç ¥â ýå®à®è¥¥þ ¯®¢¥¤¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥--ëå f(x; y) «¨èì ¯à¨ ä¨ªá¨à®¢ --®¬ x ¨ 䨪á¨à®¢ --®¬ y. ƒ¥®-
¬¥âà¨ç¥áª¨ í⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ªà¥áâã ¨§ ¤¢ãå ¯àï¬ëå, ¯ à «- «¥«ì-ëå ª®®à¤¨- â-ë¬ ®áï¬, ¯à®å®¤ï騬 ç¥à¥§ â®çªã (x0; y0).
‚® ¢á¥å ®áâ «ì-ëå â®çª å ¨§ ®ªà¥áâ-®á⨠(x0; y0) äã-ªæ¨ï ¬®-
¦¥â ¢¥á⨠ᥡï ᪮«ì 㣮¤-® ¯«®å®, ¤ ¦¥ ¬®¦¥â áâ६¨âìáï ª 1 ¯® - ¯à ¢«¥-¨ï¬, -¥ ᮢ¯ ¤ î騬 á - ¯à ¢«¥-¨ï¬¨ ª®®à-
¤¨- â-ëå ®á¥©. •¥¯à¥àë¢-®áâì ¦¥ äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥ (x0; y0)
®§- ç ¥â ýå®à®è¥¥þ ¯®¢¥¤¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢® ¢á¥© ý⮫á⮩þ ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, äã-ªæ¨ï, ¨¬¥îé ï ®¡¥
32 |
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çáâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥. •â® -¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨â - 訬 á«®¦¨¢- 訬áï ý®¤-®¬¥à-ë¬þ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï¬.
x 2. „¨ää¥à¥-æ¨à㥬®áâì äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥
‚ᯮ¬-¨¬, çâ® äã-ªæ¨ï ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© - §ë¢ ¥âáï ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ x0, ¥á«¨ ¥ñ ¯à¨à é¥-¨¥ ¢ â®çª¥
¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥
¢f(x0) ´ f(x0 + ¢x) ¡ f(x0) = A¢x + o(¢x) ¯à¨ ¢x ! 0: |
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¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¤¨ää¥- |
à¥-æ¨à㥬®áâì ¢ â®çª¥ à ¢-®á¨«ì- |
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¢®¤-®© ¢ â®çª¥, ¯à¨çñ¬ A = f0(x0). |
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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.2. ”ã-ªæ¨ï n ¯¥à¥¬¥--ëå f(x1; : : : ; xn)
- §ë¢ ¥âáï ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (x01; : : : ; x0n), ¥á«¨ ¥ñ ¯à¨à é¥-¨¥ ¢ í⮩ â®çª¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥
¢f(x1; : : : ; xn) ´ f(x01 + ¢x1; : : : ; x0n + ¢xn) ¡f(x01; : : : ; x0n) = = A1¢x1 + : : : + An¢xn + o(½)
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(¢x1; : : : ; ¢xn) ! (0; : : : ; 0): |
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¢ â®çª¥ (0; 0). |
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äã-ªæ¨ï f(x1; : : : ; xn) ¨¬¥¥â ç áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¯® ¢á¥¬ ¯¥- |
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(0; 0), ¢® ¢á¥å â®çª å ª®â®à®© ®¯à¥¤¥«¥-ë |
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¢f(0; 0) |
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-ï ç áâì ¯à¨à é¥-¨ï ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®© äã-ªæ¨¨ - §ë¢ - ¥âáï ¤¨ää¥à¥-æ¨ «®¬ äã-ªæ¨¨ ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 â®çª¥. • - ¯®¬-¨¬, çâ® ¯à¨à é¥-¨¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®© äã-ªæ¨¨ ¯à¥¤- áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥
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k = 1. …᫨ äã-ªæ¨ï f(x; y) ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (x0; y0), äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© x = x(t), y = y(t) ¤¨ää¥à¥-æ¨-
àã¥¬ë ¢ â®çª¥ t0, ¯à¨çñ¬ x0 = x(t0), y0 = y(t0), â® á«®¦- - ï äã-ªæ¨ï f(x(t); y(t)) ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ t0, ¯à¨-
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x = t, y = t (¤¨ää¥à¥-æ¨àã¥¬ë¥ äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®©), â® á«®¦- ï äã-ªæ¨ï f(x(t); y(t)) = jtj -¥ ¨¬¥¥â ¯à®¨§¢®¤-®© ¢
â®çª¥ t = 0. •â®â ä ªâ ï¥âáï ª®á¢¥--ë¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮¬ ⮣®, çâ® äã-ªæ¨ï pjxyj -¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0; 0).
„¨ää¥à¥-æ¨ « äã-ªæ¨¨ n -¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥--ëå
f(x1; : : : ; xn) ¢ëà ¦ ¥âáï à ¢¥-á⢮¬ (3.2), £¤¥ dx1, . . . , dxn
| ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ë -¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥--ëå. …᫨ áç¨â âì ⥯¥àì, çâ® df | ¤¨ää¥à¥-æ¨ « á«®¦-®© äã-ªæ¨¨ k -¥§ ¢¨-
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樨 ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®©, â® à ¢¥-á⢮ ¨§ ¯à¨¬¥à |
3.6 ¢ë⥪ ¥â |
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¨§ ä®à¬ã«ë ¯à®¨§¢®¤-®© ç áâ-®£®. ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ âॡã¥âáï
38
¯à¨¬¥-¥-¨¥ ¨-¢ ਠ-â-®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥-æ¨ « . €- «®- £¨ç-® ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¤«ï ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬ëå äã-ª- 権 ¯à®¨§¢®«ì-®£® ç¨á« ¯¥à¥¬¥--ëå
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|
|
|
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d(uv) = u dv + v du: |
|
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¤¨ää¥à¥-æ¨àã¥¬ë¥ äã-ªæ¨¨ ¯à®¨§¢®«ì-®³£® ç¨á«´ |
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•ਬ¥à 3.7. “¯à®áâ¨âì ¢ëà ¦¥-¨¥ d arctg u , £¤¥ u |
| |
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||
|
|
|
|
df = f0(x) dx = |
|
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|
|
|
|
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|
1 + x2 |
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|
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‚ ᨫ㠨-¢ ਠ-â-®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥-æ¨ « , |
|
|
|
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|
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u |
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|
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|
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|
v |
du |
u dv |
|
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|
|
|
|
|
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= |
|
¡ |
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2 |
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2 |
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|
|
2 |
|
|
2 |
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2 |
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³ |
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v |
´ |
1 + |
|
|
v |
+ u |
¢ |
|
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v |
|
|
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u + v |
|
|
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|
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•®¤ ä®à¬ «ì-ë¬ ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨¥¬ ¯®-¨¬ ¥âáï ¢ë- ç¨á«¥-¨¥ ç áâ-ëå ¯à®¨§¢®¤-ëå ¨ ¤¨ää¥à¥-æ¨ «®¢ ¢ â¥å á«ã- ç ïå, ª®£¤ ¢ -¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®á⨠à áᬠâਢ ¥¬®© â®çª¨ äã-ªæ¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ á㯥௮§¨æ¨¨ í«¥¬¥-â à-ëå äã-ªæ¨© ¨ § ¢¥¤®¬® -¥¯à¥àë¢-® ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 . ‚ëç¨á«¥- -¨¥ ç áâ-ëå ¯à®¨§¢®¤-ëå ¨ ¤¨ää¥à¥-æ¨ «®¢ ᢮¤¨âáï ⮫쪮 ª ¯à¨¬¥-¥-¨î ¨§¢¥áâ-ëå ä®à¬ã« ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨ï äã-ª- 権 ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© ¨ ª à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¬ ®¯¥à æ¨ï¬.
•ਬ¥à 3.8. ‚ëç¨á«¨âì ¤¨ää¥à¥-æ¨ « äã-ªæ¨¨ f(x; y) = exy¡¼ sin y: ) ¢ ¯à®¨§¢®«ì-®© â®çª¥ (x; y); ¡) ¢ â®çª¥
(1; ¼).
•¥à¢ë© ᯮᮡ. • ©¤ñ¬ ç áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¤ --®© äã-ªæ¨¨:
@f |
= y ¢ exy¡¼ sin y; |
@f |
|
= (x ¡ ¼ cos y) ¢ exy¡¼ sin y; |
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|
|
|
|||||
@x |
@y |
|
|||||
|
@f |
(1; ¼) = ¼e¼; |
|
@f |
(1; ¼) = (1 + ¼)e¼: |
||
|
|
@x |
|
|
@y |
||
|
|
|
|
|
|
||
•®í⮬ã:
) df(x; y) = yexy¡¼ sin ydx + (x ¡ ¼ cos y)exy¡¼ sin ydy; ¡) df(1; ¼) = ¼e¼dx + (1 + ¼)e¼dy.
‚â®à®© ᯮᮡ. „«ï äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®©
= eu ¤¨ää¥à¥-æ¨ « df = eu du. ‚ ᨫ㠨-¢ ਠ-â-®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥-æ¨ « :
)df(x; y) = exy¡¼ sin y d(xy¡¼ sin y) = exy¡¼ sin y(y dx+x dy¡
¡¼ cos y dy) = yexy¡¼ sin ydx + (x ¡ ¼ cos y)exy¡¼ sin ydy.
•â®â ᯮᮡ ¯®§¢®«ï¥â ¢ëç¨á«ïâì ¤¨ää¥à¥-æ¨ « á«®¦-®© |
||||||||||
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||||||||||
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||||||||||
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
= yexy¡¼ sin y; |
|
= (x ¡ ¼ cos y)exy¡¼ sin y: |
||||||
|
@x |
@y |
||||||||
¡) df(1; ¼) = ¼e¼dx + (1 + ¼)e¼dy. |
|
|
|
|||||||
•ਬ¥à |
3.9. |
‚ëç¨á«¨âì |
¤¨ää¥à¥-æ¨ « äã-ªæ¨¨ |
|||||||
f(x; y; z) = ³xy |
´1=z |
¢ â®çª¥ (1; 1; 1). |
|
|
|
|
||||
•¥à¢ë© ᯮᮡ. •।áâ ¢¨¬ äã-ªæ¨î ¢ ¢¨¤¥ á㯥௮§¨- |
||||||||||
樨 í«¥¬¥-â à-ëå: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
x |
||||
|
|
|
f(x; y; z) = exp µ |
|
ln |
|
¶: |
|||
|
|
|
z |
y |
||||||
40
• ©¤ñ¬ ç áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥:
@f |
1 |
|
x |
|
1 y 1 |
1 |
|
x |
|
1=z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
= exp µ |
|
ln |
|
¶ |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
µ |
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¶ |
|
|
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|
|
|
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|
|
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z |
y |
z |
x |
y |
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y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
@f |
1 |
|
x |
|
1 y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
1=z |
|
|
|||||||||||||
|
= exp µ |
|
ln |
|
¶ |
|
|
|
|
|
µ¡ |
|
|
|
¶ = ¡ |
|
|
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µ |
|
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¶ |
|
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|
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@y |
z |
y |
z |
x |
y2 |
yz |
y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
@f |
1 |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
x |
|
1=z |
|||||||
|
= exp µ |
|
ln |
|
¶ln |
|
µ¡ |
¶ = ¡ |
|
ln |
|
µ |
|
¶ |
; |
|||||||||||||||||||
@z |
z |
y |
y |
z2 |
z2 |
y |
y |
|||||||||||||||||||||||||||
|
@f |
(1; 1; 1) = 1; |
@f |
(1; 1; 1) = ¡1; |
||
|
|
|
|
|
||
|
@x |
|
@y |
|||
@f |
|
|
|
|
||
|
(1; 1; 1) = 0; |
df(1; 1; 1) = dx ¡ dy: |
||||
@z |
||||||
‚â®à®© ᯮᮡ. d(eu) = eu du, ¯®í⮬㠢 ᨫ㠨-¢ ਠ-â- -®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥-æ¨ «
1 |
|
x |
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
df(x; y; z) = exp µ |
|
ln |
|
|
¶d µ |
|
ln |
|
¶ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z |
y |
z |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
1=z |
|
|
1 |
|
x |
|
|
x |
1 |
|
|||||
|
|
|
= µ |
|
¶ |
|
|
¢ · |
|
d µln |
|
¶ |
+ ln |
|
|
¢ d µ |
|
¶¸: |
|||||
|
|
|
y |
|
|
z |
y |
y |
z |
||||||||||||||
’ ª ª ª d(ln u) = 1 |
du, â® ¢ ᨫ㠨-¢ ਠ-â-®á⨠ä®à¬ë ¤¨ä- |
||||||||||||||||||||||||
ä¥à¥-æ¨ « |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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x |
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= |
y |
|
d |
|
x |
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y |
|
|
|
|
y dx ¡ x dy |
= |
y dx ¡ x dy |
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||
y |
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x |
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x |
¢ |
|
|
xy |
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µ |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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•®í⮬ã |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
df(x; y; z) = |
|
x |
1=z |
|
|
|
y dx ¡ x dy |
1 |
ln |
x |
; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
µy ¶ |
|
µ |
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¡ z2 |
y |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xyz |
|
¶ |
|
||||||||||
df(1; 1; 1) = dx ¡ dy:
”®à¬ «ì-®¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨¥ ¯à¨¬¥-ï¥âáï ¯à¨ ¢ë¯®«- -¥-¨¨ § ¬¥-ë ¯¥à¥¬¥--ëå ¢ ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì-ëå ãà ¢-¥-¨ïå á ç áâ-묨 ¯à®¨§¢®¤-묨.
