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☆

31

•®«ãç¥--ãî -¥®¯à¥¤¥«ñ--®áâì ¢¨¤

1

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«®£¨ç-®, @f (0; 0) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

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…᫨ äã-ªæ¨ï ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (çâ® à ¢-®á¨«ì-® áãé¥á⢮¢ -¨î ª®-¥ç-®© ¯à®¨§¢®¤-®©), â® ®- -¥¯à¥àë¢- ¢ í⮩ â®çª¥. Ž¡à â-®¥ -¥¢¥à-® (- ¯à¨¬¥à, äã-ªæ¨ï jxj -¥¯à¥àë¢- , -® -¥ ¨¬¥¥â ¯à®¨§¢®¤-®© ¢ â®çª¥ 0).

„«ï äã-ªæ¨© -¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥--ëå ¤¥«® ®¡á⮨â á«®¦-¥¥.

•ਬ¥à 3.2. • áᬮâਬ äã-ªæ¨î

 

 

 

 

 

(x + y)2

;

x2 + y2 > 0;

f(x; y) = (1x;2 + y2

 

x = y = 0.

•â äã-ªæ¨ï -¥ ï¥âáï -¥¯à¥àë¢-®© ¢ â®çª¥ (0; 0) (á¬.

¯à¨¬¥à 1.1). ‚¬¥á⥠á ⥬,

 

 

 

 

 

@f

 

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(0; 0) =

 

f(x; 0)¯x=0 = 0;

 

@x

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â ª ª ª f(x; 0) =

1; x = 0,

 

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1, ¨ ¯à®¨§¢®¤- ï

6

 

 

 

f(¯x; 0)

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1; x = 0, â.¥.

 

 

í⮩ äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© ¢ «î¡®© â®çª¥ à ¢- 0. €- - «®£¨ç-®, @f@y (0; 0) = 0.

Š ª ¦¥ ¬®£«® ¯à®¨§®©â¨ â ª, çâ® äã-ªæ¨ï, ¨¬¥îé ï ç áâ- -ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¢ â®çª¥, -¥ ï¥âáï -¥¯à¥àë¢-®©? Š § - «®áì ¡ë, íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â -¥¯à¥àë¢-®á⨠äã-ªæ¨¨, ¨¬¥î饩 ¯à®¨§¢®¤-ãî. •® ¤¥«® ¢ ⮬, çâ® - «¨ç¨¥ ç áâ-ëå ¯à®¨§¢®¤- -ëå ®§- ç ¥â ýå®à®è¥¥þ ¯®¢¥¤¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥--ëå f(x; y) «¨èì ¯à¨ ä¨ªá¨à®¢ --®¬ x ¨ 䨪á¨à®¢ --®¬ y. ƒ¥®-

¬¥âà¨ç¥áª¨ í⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ªà¥áâã ¨§ ¤¢ãå ¯àï¬ëå, ¯ à «- «¥«ì-ëå ª®®à¤¨- â-ë¬ ®áï¬, ¯à®å®¤ï騬 ç¥à¥§ â®çªã (x0; y0).

‚® ¢á¥å ®áâ «ì-ëå â®çª å ¨§ ®ªà¥áâ-®á⨠(x0; y0) äã-ªæ¨ï ¬®-

¦¥â ¢¥á⨠ᥡï ᪮«ì 㣮¤-® ¯«®å®, ¤ ¦¥ ¬®¦¥â áâ६¨âìáï ª 1 ¯® - ¯à ¢«¥-¨ï¬, -¥ ᮢ¯ ¤ î騬 á - ¯à ¢«¥-¨ï¬¨ ª®®à-

¤¨- â-ëå ®á¥©. •¥¯à¥àë¢-®áâì ¦¥ äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥ (x0; y0)

®§- ç ¥â ýå®à®è¥¥þ ¯®¢¥¤¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢® ¢á¥© ý⮫á⮩þ ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, äã-ªæ¨ï, ¨¬¥îé ï ®¡¥

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¢ â®çª¥, ®¡ï§ -

¡ëâì -¥¯à¥àë¢-®© ¯®

ª ¦¤®© ¨§ ¯¥à¥¬¥--ëå ¢ í⮩ â®çª¥, -® -¥ ®¡ï§ - ¡ëâì -¥-

¯à¥àë¢-®© ª ª äã-ªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥--ëå.

 

 

 

 

 

•ਬ¥à 3.3. ”ã-ªæ¨ï f(x; y) = jxj

+ jyj

-¥¯à¥àë¢- ¢

é¥áâ¢ã¥â. €- «®£¨ç-®, -¥

áãé¥áâ¢ã¥¯â @f

 

 

 

 

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â®çª¥ (0; 0), -® @f

(0; 0) = d

f(x; 0)

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(0; 0).

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dx

 

 

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x=0

 

 

 

 

x=0 | -¥ áã-

’ª¨¬ ®¡à §®¬, -¥¯à¥àë¢- ï äã-ªæ¨ï -¥ ®¡ï§ - ¨¬¥âì

çáâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥. •â® -¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨â - 訬 á«®¦¨¢- 訬áï ý®¤-®¬¥à-ë¬þ ¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï¬.

x 2. „¨ää¥à¥-æ¨à㥬®áâì äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥

‚ᯮ¬-¨¬, çâ® äã-ªæ¨ï ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© - §ë¢ ¥âáï ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ x0, ¥á«¨ ¥ñ ¯à¨à é¥-¨¥ ¢ â®çª¥

¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥

¢f(x0) ´ f(x0 + ¢x) ¡ f(x0) = A¢x + o(¢x) ¯à¨ ¢x ! 0:

‚ ªãàá å ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® - «¨§

¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¤¨ää¥-

à¥-æ¨à㥬®áâì ¢ â®çª¥ à ¢-®á¨«ì-

- «¨ç¨î ª®-¥ç-®© ¯à®¨§-

¢®¤-®© ¢ â®çª¥, ¯à¨çñ¬ A = f0(x0).

 

€- «®£¨ç-®¥ ®¯à¥¤¥«¥-¨¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï äã-ªæ¨© -¥- ᪮«ìª¨å ¯¥à¥¬¥--ëå.

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.2. ”ã-ªæ¨ï n ¯¥à¥¬¥--ëå f(x1; : : : ; xn)

- §ë¢ ¥âáï ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (x01; : : : ; x0n), ¥á«¨ ¥ñ ¯à¨à é¥-¨¥ ¢ í⮩ â®çª¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥

¢f(x1; : : : ; xn) ´ f(x01 + ¢x1; : : : ; x0n + ¢xn) ¡f(x01; : : : ; x0n) = = A1¢x1 + : : : + An¢xn + o(½)

¢x1

 

p n

 

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(¢x1; : : : ; ¢xn) ! (0; : : : ; 0):

‡¤¥áì ½ =

(¢x1)2 + : : : + (¢xn)2

| äã-ªæ¨ï n ¯¥à¥¬¥--ëå

 

, . . . , ¢x .

 

 

 

 

 

 

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- «¨§

¨§¢¥áâ-ë

 

 

 

 

•¥®¡å®¤¨¬ë¥

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¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®áâ¨.

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äã-ªæ¨ï

f(x1; : : : ; xn)

¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬

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(x0; : : : ; x0 ),

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33

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(x0; : : : ; x0 ) = Ai, i = 1, 2, . . . , n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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•в¨ -¥®¡е®¤¨¬л¥ гб«®¢¨п -¥ п¢«повбп

¤®áâ â®ç-묨.

 

(0; 0) ¨ ¨¬¥¥â ¢ í⮩ â®çª¥ ç áâ-ë¥

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•ਬ¥à 3.4. ”ã-ªæ¨ï f(x; y) =

 

 

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¢ â®çª¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¯® ®¡¥¨¬ ¯¥-

६¥--ë¬, -® -¥ ï¥âáï ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®© ¢ í⮩ â®çª¥.

 

¤ ”ã-ªæ¨ï -¥¯à¥àë¢-

¢ â®çª¥ (0; 0) ª ª á㯥௮§¨æ¨ï -¥¯à¥-

àë¢-ëå äã-ªæ¨©. „ «¥¥,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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@x (0; 0) = dx f(x; 0)¯x=0 = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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¯¥à¥¬¥--®©. €- «®£¨ç-® @f

(0; 0) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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„®ª ¦¥¬, - ª®-¥æ, çâ® äã-ªæ¨ï -¥ ï¥âáï ¤¨ää¥à¥-æ¨-

à㥬®© ¢ â®çª¥ (0; 0). •à¨à é¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢ í⮩ â®çª¥

 

ɇǬ

 

 

 

 

¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬

 

 

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¢f(0; 0) ´ f(¢x; ¢y) ¡ f(0; 0) = j¢x¢yj:

 

 

 

 

 

 

f(x; y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0; 0) A1 = A2 = 0

 

¨ ¢f(0; 0) = o(½) ¯à¨ ¢x ! 0, ¢y ! 0, â.¥.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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j¢x¢yj

 

 

 

= 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•® ¥á«¨ ¯¥à¥©â¨ ª

 

p

 

 

 

 

+ (¢y)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢x = ½ cos ' ¢y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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(¢x)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢y

!

0

 

 

 

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¨ï¬ à

§-ë¥ ¯à¥¤¥«ë, §- ç¨â,p

¤¢®©-®© ¯à¥¤¥« -¥ áã-

= ½ sin ', â®

 

 

 

 

j½ cos ' ¢ ½ sin 'j

 

=

 

 

cos ' sin '

. •® à §-ë¬

- ¯à ¢«¥-

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

½2 cos2 ' + ½2 sin2 '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

é¥áâ¢ã¥â, ¨ f(x; y) -¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬

¢ â®çª¥ (0; 0).

 

 

¥

 

„®áâ â®ç-®¥ ãá«®¢¨¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®áâ¨.

 

 

ɇǬ

äã-ªæ¨ï f(x1; : : : ; xn) ¨¬¥¥â ç áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¯® ¢á¥¬ ¯¥-

६¥--ë¬

@f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x0; : : : ; x0 )

 

 

 

 

@x1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

@xn , -¥¯à¥àë¢-ë¥ ¢ â®çª¥

 

 

 

 

 

 

. . . ,

 

1

 

 

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ª ª äã-ªæ¨¨ n ¯¥à¥¬¥--ëå, â® ®-

¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬

 

¢ í⮩

â®çª¥.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•â® ¤®áâ â®ç-®¥ ãá«®¢¨¥ -¥ ï¥âáï -¥®¡å®¤¨¬ë¬.

 

 

 

 

 

 

(0; 0), -® -¥ áãé¥áâ¢ã¥â -¨

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•ਬ¥à 3.5. ”ã-ªæ¨ï f(x; y) =

3 x2y2 ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬

 

¢ â®çª¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®¤-®© ®ªà¥áâ-®á⨠â®çª¨

34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0; 0), ¢® ¢á¥å â®çª å ª®â®à®© ®¯à¥¤¥«¥-ë

@f

@f

 

 

 

¬®¦¥â ¡ëâì ¨ à¥ç¨ ® -¥¯à¥àë¢-®á⨠@f

 

@x ¨ @y . ‡- ç¨â, -¥

 

 

@f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x ¨ @y ¢ â®çª¥ (0; 0).

¤ •à¨à é¥-¨¥ äã-ªæ¨¨ ¢ â®çª¥ (0; 0)

 

p

 

 

 

 

 

 

 

•¥à¥å®¤ï ª

¯®«ïà-ë¬ ª®®à¤¨- â ¬

 

 

 

 

,

 

 

 

¢f(0; 0) ´ f(¢x; ¢y) ¡ f(0; 0) =

3

 

(¢x)2

(¢y)2

:

 

 

ç¨â, j

½

j 6 ½

 

. •® ã⢥

p

¢x

=

½ cos '

 

¢y =

 

 

1.2 lim

½

 

 

= 0,

= ½ sin ', ¨¬¥¥¬:

j¢f(0; 0)j =

3

½4 cos2

' sin2

'

6 ½4=3. ‡- -

 

¢f(0; 0)

 

1=3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢f(0; 0)

 

ত¥-¨î

¢x!0 ¢y!0

â.¥. ¢f(0; 0) = o(½) ¯à¨ ¢x ! 0, ¢y ! 0. ‡- ç¨â, f(x; y) ¤¨ä-

ä¥à¥-æ¨à㥬

 

¢ â®çª¥ (0; 0) á ª®íä䍿¨¥-â ¬¨ A1

= A2 = 0

(®âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ @f

(0; 0) = @f (0; 0) = 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x

 

 

 

@y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ ®á¨ y, ªà®¬¥ â®çª¨

(0; 0), -¥ áãé¥áâ¢ã¥â @f@x . ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¨ y0 6= 0

 

 

 

 

 

 

 

 

@x

(0; y0) = dx f(x; y0)¯x=0

= dx

µqx2y02¶¯x=0 =

 

 

 

 

 

 

 

 

@f

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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3

 

 

 

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= qy0 dx

(

x

)¯x=0 = qy0

¢ ¢x!0 p¢x

 

;

 

 

 

 

 

 

3 ¯

2

 

 

d

 

p3

 

 

2

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3¯

2

 

lim

 

 

(¢x)

 

 

 

 

 

¥áâ¢ã¥¯â.

 

 

 

 

 

 

 

¯®á«¥¤-¨© ¯à¥¤¥« -¥ áãé

€- «®£¨ç-®,

¢ ª ¦¤®©

â®çª¥ ®á¨ x, ªà®¬¥ â®çª¨ (0; 0), -¥ áãé¥áâ¢ã¥â

@f@y .

 

 

 

 

 

¥

 

 

 

„«ï § ¯®¬¨- -¨ï -¥®¡å®¤¨¬ëå ãá«®¢¨© ¨ ¤®áâ â®ç-ëå

ãá«®¢¨© ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®áâ¨,

 

 

 

â ª¦¥

ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å

ª®-âà¯à¨¬¥à®¢, ¯®«¥§-

 

á«¥¤ãîé ï á奬

(á¬. à¨á. 3.4)

 

 

 

 

 

 

Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 3.3. ”ã-ªæ¨ï n ¯¥à¥¬¥--ëå f(x1; : : : ; xn)

- §ë¢ ¥âáï

 

-¥¯à¥àë¢-®

 

 

¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®©

¢

â®çª¥

(x0

; : : : ; x0 ),

¥á«¨ ¢á¥

 

¥ñ

ç áâ-ë¥

¯à®¨§¢®¤-ë¥

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1

 

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n ¯¥à¥¬¥--ëå.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@xn -¥¯à¥àë¢-ë ¢ í⮩ â®çª¥ ª ª äã-ªæ¨¨

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

„®áâ â®ç-®¥ ãá«®¢¨¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®á⨠⥯¥àì ¬®¦¥â

¡ëâì áä®à¬ã«¨à®¢ -® â ª: ¥á«¨ äã-ªæ¨ï f(x1

; : : : ; xn) -¥¯à¥-

àë¢-® ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬

¢ -¥ª®â®à®© â®çª¥, â® ®-

¤¨ää¥-

à¥-æ¨à㥬 ¢ í⮩ â®çª¥.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| íâ® ¨ ¥áâì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35

 

x + y

XX

 

 

 

 

 

 

©© p

 

 

 

 

 

 

 

XXX -¥¯à¥àë¢-®áâì

 

 

 

©jxyj

 

j j j j

 

 

 

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¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®áâì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

áãé¥áâ¢ãîâ

 

 

 

ç áâ-ë¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯à®¨§¢®¤-ë¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ç áâ-ë¥

 

 

 

 

-¥¯à¥àë¢-ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¯à®¨§¢®¤-ë¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

¡

;

x

= y = 0

•¨á. 3.4

 

 

 

 

 

 

 

 

1x;2 + y2

 

 

p

 

 

 

 

 

 

(x + y)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + y2 > 0;

 

 

 

 

x

y

 

 

 

x 3. „¨ää¥à¥-æ¨ «. ˆ-¢ ਠ-â-®áâì ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥-æ¨ «

’ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®©, «¨-¥©-

-ï ç áâì ¯à¨à é¥-¨ï ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®© äã-ªæ¨¨ - §ë¢ - ¥âáï ¤¨ää¥à¥-æ¨ «®¬ äã-ªæ¨¨ ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 â®çª¥. • - ¯®¬-¨¬, çâ® ¯à¨à é¥-¨¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®© äã-ªæ¨¨ ¯à¥¤- áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥

¢f(x01; : : : ; x0n) = A1¢x1 + : : : + An¢xn + o(½):

‹¨-¥©- ï ç áâì ¯à¨à é¥-¨ï A1¢x1+ : : :+An¢xn

¤¨ää¥à¥-æ¨ «. Ž¡®§- ç ¥âáï íâ® ¢ëà ¦¥-¨¥ df(x0; : : : ; x0 ).

 

 

 

 

1

n

•à¨à é¥-¨ï -¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥--ëå ¢x1, . . . , ¢xn

¯à¨-

-ïâ® - §ë¢ âì ¨å ¤¨ää¥à¥-æ¨ « ¬¨ ¨ ®¡®§- ç âì dx1,

. . . ,

dxn.

’ ª

ª ª ¤«ï ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®© äã-ªæ¨¨ Ai =

= @f (x0; : : : ; x0 ), â®

 

 

 

 

@xi

1

n

 

 

 

 

 

 

df =

@f

dx1 + : : : +

@f

dxn

(3.2)

 

 

@x1

 

 

 

 

 

@xn

 

(df ¨ §- ç¥-¨ï ç áâ-ëå ¯à®¨§¢®¤-ëå à áᬠâਢ îâáï ¢ â®çª¥

(x01; : : : ; x0n)).

36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ¬¥¥â ¬¥á⮠⥮६

® ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬®áâ¨

á«®¦-®©

äã-ªæ¨¨.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•ãáâì äã-ªæ¨ï f(x1; : : : ; xn) ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬

¢ â®çª¥

(x0

; : : : ; x0 ),

äã-ªæ¨¨

x1(t1; : : : ;

tk),

. . . , xn(t1; : : : ;

tk)

1

 

n

 

¢ â®çª¥ (t0;

 

t0).

’®£¤ , ¥á«¨ x0

=

¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬ë

: : : ;

 

 

 

 

 

1

 

k

 

1

 

= x1

(t0; : : : ;

t0),

. . . , x0

= xn(t0

; : : : ; t0), â® á«®¦- ï äã-ª-

 

 

1

k

n

1

 

k

 

 

 

æ¨ï

f(x1(t0;

: : : ; t0); : : : ; xn(t0; : : : ; t0))

¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬

¢

 

 

1

 

k

1

 

k

 

 

 

â®çª¥ (t0; : : : ; t0), ¯à¨çñ¬ ¤«ï ç áâ-ëå ¯à®¨§¢®¤-ëå í⮩

 

 

1

k

 

 

 

 

 

 

 

äã-ªæ¨¨ ¯® ¯¥à¥¬¥--ë¬ t1, . . . , tk ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ä®à¬ã«ë:

 

 

 

 

 

@x1

 

 

 

@xn

Xj

 

@xj

 

@f

 

 

@f

 

 

@f

 

n

@f

 

 

@ti

=

@x1

¢

@ti

+ : : :+

@xn

¢

@ti

= =1

@xj

 

@ti

; i = 1; 2; : : : ; k:

— áâ-ë¥

¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¯® ¯¥à¥¬¥--ë¬ ti ¡¥агвбп ¢

â®çª¥

(t0; : : : ; t0), ç áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¯® ¯¥à¥¬¥--ë¬ xj

| ¢

1

k

 

â®çª¥ (x0

; : : : ; x0 ).

 

1

n

 

Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ ¢á¥ à áᬠâਢ ¥¬ë¥ äã-ªæ¨¨ -¥ ¤¨ä- ä¥à¥-æ¨à㥬ë, ¢á¥£® «¨èì ¨¬¥îâ ç áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¢ á®- ®â¢¥âáâ¢ãîé¨å â®çª å, â® á«®¦- ï äã-ªæ¨ï ¬®¦¥â ¨ -¥ ¨¬¥âì ç áâ-ëå ¯à®¨§¢®¤-ëå. • áᬮâਬ, - ¯à¨¬¥à, á«ãç © n = 2,

k = 1. …᫨ äã-ªæ¨ï f(x; y) ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (x0; y0), äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© x = x(t), y = y(t) ¤¨ää¥à¥-æ¨-

àã¥¬ë ¢ â®çª¥ t0, ¯à¨çñ¬ x0 = x(t0), y0 = y(t0), â® á«®¦- - ï äã-ªæ¨ï f(x(t); y(t)) ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ t0, ¯à¨-

çñ¬ df

= @f

dx +

@f

dy

dt

@x

dt

@y

dt .

(0; 0), -® ¨¬¥¥â ç áâ-ë¥

p

 

 

”ã-ªæ¨ï f(x; y)

=

jxyj -¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥

 

 

 

 

 

¯à®¨§¢®¤-ë¥ (¯à¨¬¥à 3.4). …᫨ ¢§ïâì

x = t, y = t (¤¨ää¥à¥-æ¨àã¥¬ë¥ äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®©), â® á«®¦- ï äã-ªæ¨ï f(x(t); y(t)) = jtj -¥ ¨¬¥¥â ¯à®¨§¢®¤-®© ¢

â®çª¥ t = 0. •â®â ä ªâ ï¥âáï ª®á¢¥--ë¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮¬ ⮣®, çâ® äã-ªæ¨ï pjxyj -¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0; 0).

„¨ää¥à¥-æ¨ « äã-ªæ¨¨ n -¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥--ëå

f(x1; : : : ; xn) ¢ëà ¦ ¥âáï à ¢¥-á⢮¬ (3.2), £¤¥ dx1, . . . , dxn

| ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ë -¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥--ëå. …᫨ áç¨â âì ⥯¥àì, çâ® df | ¤¨ää¥à¥-æ¨ « á«®¦-®© äã-ªæ¨¨ k -¥§ ¢¨-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37

ᨬëå ¯¥à¥¬¥--ëå t1,

. . . , tk, â®

1

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X Xj

 

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@xj

 

dti =

 

 

 

 

df = k

@f dti =

k

@

 

n

 

 

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i=1

=1

@xj

 

@ti

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

k

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

@f

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X

@f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x

 

 

 

 

 

 

= j=1

 

 

Ã

=1

 

j

dti

! = j=1

 

 

dxj:

 

 

 

 

@xj

@ti

@xj

•®«ã稫®áì à ¢¥-á⢮,

 

 

- «®£¨ç-®¥ (3.2), ⮫쪮 §¤¥áì

dxj

| ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ë äã-ªæ¨© xj(t1; : : : ; tk).

‘®¢¯ ¤¥-¨¥ ¯®

ä®à¬¥ ¯®«ãç¥--®£® à ¢¥-áâ¢

 

¨ (3.2) - §ë¢ ¥âáï ¨-¢ ਠ-â-

-®áâìî ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥-æ¨ «

®â-®á¨â¥«ì-® § ¬¥-ë ¯¥à¥¬¥--

-ëå. •â®â ä ªâ ¬®¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ - ¯à¨ ¢ëç¨á«¥-¨¨

¤¨ää¥à¥-æ¨ «®¢.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•ਬ¥à 3.6.

„®ª § âì, çâ® ¤«ï ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬ëå

äã-ªæ¨© ¯à®¨§¢®«ì-®£® ç¨á«

 

¯¥à¥¬¥--ëå

 

 

 

 

 

 

 

 

³v

´

 

 

 

 

v2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

u

 

 

=

v du ¡ u dv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢ â®çª å, £¤¥ §- ¬¥- ⥫ì -¥ ®¡à é ¥âáï ¢ -ã«ì.

xy

¤ „«ï äã-ªæ¨© ¤¢ãå -¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥--ëå f(x; y) =

ç áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ @f

1

@f

 

x

 

@x

= y

, @y

= ¡

 

. ’ ª ª ª í⨠ç áâ-ë¥

y2

¯à®¨§¢®¤-ë¥ -¥¯à¥àë¢-ë ¢ â®çª å, £¤¥ y =6 0, â® äã-ªæ¨ï ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 , ¨

df = y1 dx ¡ yx2 dy:

‚ ᨫ㠨-¢ ਠ-â-®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥-æ¨ « , ¤«ï á«®¦-®© äã-ªæ¨¨ f(u; v) = uv ¤¨ää¥à¥-æ¨ « ¡ã¤¥â

df =

1

du

 

u

dv =

v du ¡ u dv

:

¥

 

¡ v2

 

v

 

v2

‡ ¬ ¥ ç - ¨ ¥. …᫨ u, v | ¤¨ää¥à¥-æ¨àã¥¬ë¥ äã-ª-

樨 ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®©, â® à ¢¥-á⢮ ¨§ ¯à¨¬¥à

3.6 ¢ë⥪ ¥â

¨§ ä®à¬ã«ë ¯à®¨§¢®¤-®© ç áâ-®£®. ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ âॡã¥âáï

38

¯à¨¬¥-¥-¨¥ ¨-¢ ਠ-â-®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥-æ¨ « . €- «®- £¨ç-® ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¤«ï ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬ëå äã-ª- 権 ¯à®¨§¢®«ì-®£® ç¨á« ¯¥à¥¬¥--ëå

 

 

 

 

 

d(uv) = u dv + v du:

 

 

 

 

¯¥à¥¬¥--

¤¨ää¥à¥-æ¨àã¥¬ë¥ äã-ªæ¨¨ ¯à®¨§¢®«ì-®³£® ç¨á«´

•ਬ¥à 3.7. “¯à®áâ¨âì ¢ëà ¦¥-¨¥ d arctg u , £¤¥ u

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

v

-ëå, ¯à¨çñ¬ §- ¬¥- ⥫ì -¥ ®¡à é ¥âáï ¢ -ã«ì.

 

 

 

 

 

„«ï äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© f(x) = arctg x

 

 

 

 

 

 

 

df = f0(x) dx =

 

dx

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‚ ᨫ㠨-¢ ਠ-â-®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥-æ¨ « ,

 

 

 

 

 

 

u

 

d uv

 

v

2

 

 

v du

 

u dv

 

v

du

u dv

 

d

arctg

=

³ ´

 

=

 

 

 

 

 

 

¡

 

=

 

¡

 

:

 

u2

 

2

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

2

³

 

v

´

1 +

 

 

v

+ u

¢

 

 

v

 

 

 

u + v

 

 

 

v2

 

 

 

 

 

 

 

x 4. ”®à¬ «ì-®¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨¥

•®¤ ä®à¬ «ì-ë¬ ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨¥¬ ¯®-¨¬ ¥âáï ¢ë- ç¨á«¥-¨¥ ç áâ-ëå ¯à®¨§¢®¤-ëå ¨ ¤¨ää¥à¥-æ¨ «®¢ ¢ â¥å á«ã- ç ïå, ª®£¤ ¢ -¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ-®á⨠à áᬠâਢ ¥¬®© â®çª¨ äã-ªæ¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ á㯥௮§¨æ¨¨ í«¥¬¥-â à-ëå äã-ªæ¨© ¨ § ¢¥¤®¬® -¥¯à¥àë¢-® ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 . ‚ëç¨á«¥- -¨¥ ç áâ-ëå ¯à®¨§¢®¤-ëå ¨ ¤¨ää¥à¥-æ¨ «®¢ ᢮¤¨âáï ⮫쪮 ª ¯à¨¬¥-¥-¨î ¨§¢¥áâ-ëå ä®à¬ã« ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨ï äã-ª- 権 ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®© ¨ ª à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¬ ®¯¥à æ¨ï¬.

•ਬ¥à 3.8. ‚ëç¨á«¨âì ¤¨ää¥à¥-æ¨ « äã-ªæ¨¨ f(x; y) = exy¡¼ sin y: ) ¢ ¯à®¨§¢®«ì-®© â®çª¥ (x; y); ¡) ¢ â®çª¥

(1; ¼).

•¥à¢ë© ᯮᮡ. • ©¤ñ¬ ç áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥ ¤ --®© äã-ªæ¨¨:

@f

= y ¢ exy¡¼ sin y;

@f

 

= (x ¡ ¼ cos y) ¢ exy¡¼ sin y;

 

 

 

@x

@y

 

 

@f

(1; ¼) = ¼e¼;

 

@f

(1; ¼) = (1 + ¼)e¼:

 

 

@x

 

 

@y

 

 

 

 

 

 

39
f(u) =

•®í⮬ã:

) df(x; y) = yexy¡¼ sin ydx + (x ¡ ¼ cos y)exy¡¼ sin ydy; ¡) df(1; ¼) = ¼e¼dx + (1 + ¼)e¼dy.

‚â®à®© ᯮᮡ. „«ï äã-ªæ¨¨ ®¤-®© ¯¥à¥¬¥--®©

= eu ¤¨ää¥à¥-æ¨ « df = eu du. ‚ ᨫ㠨-¢ ਠ-â-®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥-æ¨ « :

)df(x; y) = exy¡¼ sin y d(xy¡¼ sin y) = exy¡¼ sin y(y dx+x dy¡

¡¼ cos y dy) = yexy¡¼ sin ydx + (x ¡ ¼ cos y)exy¡¼ sin ydy.

•â®â ᯮᮡ ¯®§¢®«ï¥â ¢ëç¨á«ïâì ¤¨ää¥à¥-æ¨ « á«®¦-®©

äã-ªæ¨¨ ¡¥§ -¥¯®á।á⢥--®£® - 宦¤¥-¨ï ¥ñ ç áâ-ëå ¯à®-

¨§¢®¤-ëå. ‚¬¥áâ® ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨© ¯à®¢®¤¨âáï ®¤-®,

¢®®¡é¥ £®¢®àï, -¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ £à®¬®§¤ª®¥. •â®â ᯮᮡ ⥬

¢ë£®¤-¥¥, 祬 ¡®«ì襥 ç¨á«® -¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥--ëå ï-

îâáï à£ã¬¥-â ¬¨ äã-ªæ¨¨. • ¯à¨¬¥à, ¤«ï äã-ªæ¨¨ ¯ïâ¨

¯¥à¥¬¥--ëå ¢¬¥áâ® ¯ï⨠¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨© -ã¦-® ¯à®¢®-

¤¨âì ¢á¥£® ®¤-® | í⮠㦥 áãé¥á⢥--®¥ ®¡«¥£ç¥-¨¥. € á ¬¨

ç áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥, ¥á«¨ ®-¨ -ã¦-ë, ¬®£ãâ ¡ëâì ᮡà -ë

ª ª ª®íä䍿¨¥-âë ¯à¨ ¤¨ää¥à¥-æ¨ « å -¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥-

¬¥--ëå. ‚ - 襬 ¯à¨¬¥à¥

 

 

 

 

 

 

 

@f

 

 

@f

 

 

 

 

 

= yexy¡¼ sin y;

 

= (x ¡ ¼ cos y)exy¡¼ sin y:

 

@x

@y

¡) df(1; ¼) = ¼e¼dx + (1 + ¼)e¼dy.

 

 

 

•ਬ¥à

3.9.

‚ëç¨á«¨âì

¤¨ää¥à¥-æ¨ « äã-ªæ¨¨

f(x; y; z) = ³xy

´1=z

¢ â®çª¥ (1; 1; 1).

 

 

 

 

•¥à¢ë© ᯮᮡ. •।áâ ¢¨¬ äã-ªæ¨î ¢ ¢¨¤¥ á㯥௮§¨-

樨 í«¥¬¥-â à-ëå:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

 

 

f(x; y; z) = exp µ

 

ln

 

:

 

 

 

z

y

40

• ©¤ñ¬ ç áâ-ë¥ ¯à®¨§¢®¤-ë¥:

@f

1

 

x

 

1 y 1

1

 

x

 

1=z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= exp µ

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

µ

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

@x

z

y

z

x

y

xz

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@f

1

 

x

 

1 y

 

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

x

 

1=z

 

 

 

= exp µ

 

ln

 

 

 

 

 

 

µ¡

 

 

 

= ¡

 

 

 

µ

 

 

 

 

;

 

@y

z

y

z

x

y2

yz

y

 

 

 

@f

1

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x

 

 

x

 

1=z

 

= exp µ

 

ln

 

ln

 

µ¡

= ¡

 

ln

 

µ

 

;

@z

z

y

y

z2

z2

y

y

 

@f

(1; 1; 1) = 1;

@f

(1; 1; 1) = ¡1;

 

 

 

 

 

 

@x

 

@y

@f

 

 

 

 

 

(1; 1; 1) = 0;

df(1; 1; 1) = dx ¡ dy:

@z

‚â®à®© ᯮᮡ. d(eu) = eu du, ¯®í⮬㠢 ᨫ㠨-¢ ਠ-â- -®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥-æ¨ «

1

 

x

 

 

1

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

df(x; y; z) = exp µ

 

ln

 

 

d µ

 

ln

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

z

y

z

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

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1

 

x

 

 

x

1

 

 

 

 

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y

 

 

z

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y

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x

 

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y

 

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x

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y dx ¡ x dy

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y dx ¡ x dy

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y

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df(x; y; z) =

 

x

1=z

 

 

 

y dx ¡ x dy

1

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x

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µy

 

µ

 

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xyz

 

 

df(1; 1; 1) = dx ¡ dy:

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