petrovic

51

•ã¦-® ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥- «¨ -ã«î ¯à¥¤¥«

f(¢x; ¢y) ¡ f(0; 0)

p5 ¢x ¢ ¢y ¡ sin(p5

)

:

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=

lim

¢x ¢ ¢y

¢x

0

p(¢x)2 + (¢y)2

¢x

0

p(¢x)2 + (¢y)2

¢y!!0

¢y!!0

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p5

sin(p5

) =

1

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x

0; y

0:

xy

¡

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xy

xy

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6

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6 ½, £¤¥ ½ =

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x2 + y2

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p5

¡ sin(p5

)

1

5

(¢x)3(¢y)3

¢x ¢ ¢y

¢x ¢ ¢y

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6

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2

(¢x)

2

2

(¢x)

+ (¢y)

+ (¢y)

p

p

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(3.8)

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¢ ¯à ¢®©

(¢x)2 + (¢y)2

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,

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¢x ! 0

¢y ! 0

p

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¯

3 cos3 '

½3 sin3 '

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¯

5

½

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¯

¢

¯

6 ½1=5;

½2 cos2

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½2 sin2 '

½

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0

¢y

0

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x sin y

y sin x

x2 + y2 > 0,

f(x; y) = (0;

x2

¡+ y2

;

x = y = 0

¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0; 0),

äã-ªæ¨ï

f(x; y) =

(0;(x2 + y2)3=2

x = y = 0

x sin y ¡ y sin x ;

x2 + y2 > 0,

-¥¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬

¢ â®çª¥ (0; 0).

52

•à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥àë § ¤ ç,

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(x2y3)3=5

x2 + y2 > 0,

•à¨¬¥à 3.21. f(x; y) =

;

x2

¡

xy + y2

(

0;

x = y = 0.

’ ª ª ª f(x; 0) = 0 ¯à¨ ¢á¥å x (¯à¨ x 6= 0 íâ® á«¥¤ã¥â

¨§ ®¡é¥© ä®à¬ã«ë,

f(0; 0) â ª¦¥ à ¢- 0), â®

@f (0; 0) =

€- «®£¨ç¯ -®, @f

@x

=

d

f(x; 0)

¯

= 0.

dx

@y

x=0

¯

(0; 0) = 0.

Žáâ ñâáï ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥- «¨ -ã«î ¯à¥¤¥«

lim

f(¢x; ¢y) ¡ f(0; 0)

=

¢y!!0

p(¢x)2

+ (¢y)2

((¢x)2(¢y)3)3=5

¢x

0

=

lim

:

¢y!!0

((¢x)2

¡ ¢x¢y + (¢y)2)p(¢x)2 + (¢y)2

¢x 0

=

(cos ')6=5(sin ')9=5

;

1 ¡ cos ' sin '

â.¥. ®-® -¥ § ¢¨á¨â ®â ½.

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¤¥« -¥ áãé¥áâ¢ã¥â, äã-ªæ¨ï f(x; y) -¥ ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬

¢

53

•à¨¬¥à 3.22. f(x; y) = (

x2 ¡ xy + y2 ;

x2 + y2 >.0,

(x2y3)3=5

p

0;

x = y = 0

ˆ-âã¨â¨¢-ë¥ á®®¡à ¦¥-¨ï,

- «®£¨ç-ë¥ ¯à¨¢¥¤ñ--ë¬ ¢

- ç «¥ à¥è¥-¨ï ¯à¥¤ë¤ã饣®

3

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äã-ªæ¨ï f(x; y) ¨¬¥¥â ¯®à冷ª

½, ¨ ¯®á«¥ ¤¥-

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«¥-¨ï - ½ ¯à®¤®«¦ ¥â áâ६¨âìáï ª -ã«î. ‡- ç¨â, ®- ¤¨ä-

ä¥à¥-æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0; 0). ’¥¯¥àì ¯à¨¢¥¤ñ¬

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ª § ⥫ìá⢮.

€- «®£¨ç-® ¯à¥¤ë¤ã饬㠯ਬ¥àã, -ã¦-® ¯à®¢¥à¨âì, à -

¢¥- «¨ -ã«î ¯à¥¤¥«

lim

((¢x)2(¢y)3)3=5

:

(3.9)

¢y!!0 p(¢x)2 ¡ ¢x¢y + (¢y)2p(¢x)2 + (¢y)2

¢x

0

•®á«¥ ¯¥à¥å®¤

ª ¯®«ïà-ë¬ ª®®à¤¨- â ¬, ¯®«ã稬 ¢ëà ¦¥-¨¥

((½ cos ')2(½ sin ')3)3=5

=

p½

2

2

2

2

2

'p½

2 cos2 ' + ½2 sin2

'

cos

' ¡ ½

cos ' sin ' + ½

sin

=

½(cos ')6=5(sin ')9=5

p

:

1 ¡ cos ' sin '

à ¢¥- 0, äã-ªæ¨ï f(x; y) ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬

¢ â®çª¥ (0; 0).

(0; 0)

=

p

•à¨¬¥à 3.23. f(x; y) = x

1 + y2=3.

= f(0; y)

= 0, â ª ª ª f(x; 0) =¯

x ¯à¨ ¢á¥å x, f(0; y) = 0

ˆ¬¥¥¬:

@f

d

f(x; 0)

¯x=0

= 1,

@f (0; 0)

=

d

@x

dx

@y

.

¯•à®¢¥à¨¬, à ¢¥- «¨ -ã«î ¯à¥¤¥«

¯à¨ ¢á¥å

y

¯

¯

dy

¯

y=0

lim

f(¢x; ¢y) ¡ f(0; 0) ¡ ¢x

= lim

¢x(

1 + (¢y)2=3

¡ 1)

:

!

p

2

!

p

(¢x)2

+ (¢y)2

¢x!0

(¢x)2

¢x!0

¢y 0

+ (¢y)

¢y 0

p

•®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïà-ë¬ ª®®à¤¨- â ¬ ¯®á«¥¤-¥¥ ¢ëà ¦¥-

-¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤

½p

q

½ cos '(

1 + (½ sin ')2=3

¡ 1)

= cos '( 1 + (½ sin ')2=3 1):

p

¡

2 cos2 ' + ½2 sin2 '

Ž-® -¥ ¯à¥¢®á室¨â ¯® ¬®¤ã«î

1 + ½2=3

¡ 1. •â äã-ªæ¨ï

®â

½

áâ६¨âáï ª -ã«î ¯à¨

+0. „¢®©-®© ¯à¥¤¥« à ¢¥- 0,

½ ! p

äã-ªæ¨ï f(x; y) ¤¨ää¥à¥-æ¨à㥬

¢ â®çª¥ (0; 0).

•à¨¬¥à 3.24. f(x; y) = 3

sin4 x + cos4 y

.

Žâ¬¥â¨¬, çâ® f(0; 0) = 1

. „ «¥¥,

p

@f

(0; 0) =

d

f(x; 0)¯x=0 =

d

(sin x)4=3¯x=0 =

@x

dx

dx

¯

4¯

1=3

¯

=

¯(sin x)

cos x

= 0;

3

¯x=0

@f

d

d

4=3

¯

(0; 0) =

f(0; y)

=

(cos y)

¯y=0

=

¯

@y

dy

dy

¯y=0

¯

4

¯

1=3

¯

=

(cos¯

y)

(

sin y)

= 0:

3

¡

¯y=0

¯

Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢ëç¨á«¥-¨¥ â ª¨¬ ᯮᮡ®¬ ¢â®à®©¯¨§ íâ¨å

¯à®¨§¢®¤-ëå ¢¯®«-¥ § ª®--®,

¢®â ¢ëç¨á«¥-¨¥ ¯¥à¢®© ¨§ -¨å,

áâண® £®¢®àï, -ã¦-® ¡ë«® ¡ë ¯à®¢®¤¨âì ¯® ®¯à¥¤¥«¥-¨î. ’¥¬

-¥ ¬¥-¥¥ ¬®¦-® áç¨â âì ¨§¢¥áâ-ë¬, çâ®

dxd

(x4=3) = 34 x1=3 ¯à¨

¢á¥å ¤¥©á⢨⥫ì-ëå x, £¤¥ x1=3 = p3

, ¨ ¢ëç¨á«¥-¨¥ ¯¥à¢®©

x

¨§ ç áâ-ëå ¯à®¨§¢®¤-ëå ⮦¥ áç¨â âì ®¡®á-®¢ --ë¬.

•ã¦-® ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥- «¨ -ã«î ¯à¥¤¥«

lim

f(¢x; ¢y) ¡ f(0; 0)

=

lim

3

sin4 ¢x + cos4 ¢y

¡ 1

:

¢x 0

(¢x)2

+ (¢y)2

¢x

0

p

p

(¢x)2 + (¢y)2

¢y!0

¢y!0

!

p

!

•®á«¥ ¯¥à¥å®¤

ª ¯®«ïà-ë¬ ª®®à¤¨- â ¬ ¯®á«¥¤-¥¥ ¢ëà -

¦¥-¨¥ ®æ¥-¨âáï ¯® ¬®¤ã«î ᢥàåã á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:

¡ 1

¯

= jA ¡ 1j

=

jA3 ¡ 1j

=

3

sin4(½ cos ')+ cos4(½ sin ')

¯p

½2 cos2 ' + ½2 sin2 '

½

½(1 + A + A2)

¯

¯

¯

p

4

¯

4

(½ sin ')

1

¯

sin (½ cos ') + cos¯

¯

=

j

¯

¡ j

6

½(1 + A + A2)

6

j sin4(½ cos ')j + j1 ¡ cos4(½ sin ')j

6

½4 + 2 sin2(½ sin ')

6

½

½

6

½4 + 2½2

= 2½ + ½3:

½

¡ cos2 ®) 6 2 sin2 ®.

µ1 ¡ cos

x

¶;

y 6= 0,

•à¨¬¥à 3.25. f(x; y) =

y

jyj

(

p

.

0;

y = 0

’ ª ª ª f(x; 0) = 0 ¯à¨ ¢á¥å x,

f(0; y) = 0 ¯à¨ ¢á¥å y, â®

•ã¦-® ¯à®¢¥à¨âì,¯

à ¢¥- «¨ -ã«î ¯à¥¤¥«

¯

@f@x (0; 0) = dxd

f(x; 0)¯x=0 = 0,

@f@y

(0; 0) =

dyd

f(0; y)

y=0 = 0.

¯

¯

¢y µ1 ¡ cos

lim

f(¢x; ¢y) ¡ f(0; 0) =

lim

j¢yj¶ =

¢x

(¢x)

+

p

(¢x)

+ (¢y)

¢x!0

p

2

2

¢x!0

p

2

(¢y)2

¢y!0

¢y!0

2

µ

x

¶

¢y ¢ 2 sin

¢

2