Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский государственный горный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

неопр.ин-л лекции и практики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

3.5. Вычисление интеграла J5 =

Ax + B

dx, k ≥ 2

∫( x2

+ px + q)k

Проведем преобразования:

Ax + B

dx = ∫

(2x

+ p) + (B −

)

dx =

J5 = ∫

(x2 + px + q)k

2x + p

dx.

∫

dx + B −

∫

(x2 + px + q)k

Первый интеграл сводится к интегралу от степенной функции подста-

новкой x2 + px + q = t; (2x + p)dx = dt :

∫

2x + p

dx = ∫

t−k +1

+C =

+C.

(x2 + px

+ q)k

1 − k

(1 − k)(x2 + px + q)k −1

Второй интеграл (обозначим его Jk ) запишем в виде

= ∫

∫

dx = ∫

(x2 + px + q)k

2 + (q −

(t 2 + m2 )k

)

где мы положили x +

=t; dx = dt;

q −

= m2 > 0.

Для этого вида интеграла в прим. 6 разд. 2.3. была получена рекур-

рентная формула

2k −1 Jk .

Jk +1 =

2km2 (t2 + m2 )k

2km2

Для J1 имеем J1

= ∫

arctg

+ C .

t 2 + m2

Далее ищем J2 , полагая k =1, ищем J3,

полагая k = 2,

и т. д.

Пример 8. Вычислить интеграл J = ∫ (x2 1+ 4)3 dx.

Решение:

Запишем рекуррентное соотношение

Jk +1 =	1		x	+	2k −1 Jk .
Jk +1 =	2km2 (x2 + m2 )k			+	2k −1 Jk .
	2km2 (x2 + m2 )k				2km2
		31

Имеем
							1									1									x								3								1							x
J3
	= ∫				2					3 dx =												2						2	+								J2	=									2						;
	= ∫		(x		2		+		4)	3 dx =					2	2		4			(x	2		+ 4)				2	+		2		2	4			J2	=		16					(x		2	+ 4)		2 +3J2			;
			(x				+		4)						2	2		4			(x			+ 4)							2		2	4						16					(x			+ 4)
J2	= ∫						1				dx =					1							x									1			J1 =			1						x				+ J1
																												+																					;
			(x2 +						4)2						2	1		4 (x2 + 4)										+		2 1 4												2 + 4							;
			(x2 +						4)2						2	1		4 (x2 + 4)												2 1 4								8 x				2 + 4
J1 = ∫							dx			=		1		arctg			x	+ C.
J1 = ∫				x2 +					4	=	2			arctg				+ C.
Тогда				x2 +					4		2					2
Тогда																			1					x					1						x
																			1					x					1						x
															J2 =													+			arctg					+ C ;
															J2 =				8									+	2		arctg				2	+ C ;
																			8	x2 + 4									2						2
		1							x												1							x						3					x							1					x
J3
	=							2					2 + 3J2						=								2					2	+					2					+					arctg				+ C.
	=	16				(x		2	+ 4)				2 + 3J2						=		16					(x	2	+ 4)				2	+					2					+			2		arctg			2	+ C.
		16				(x			+ 4)												16					(x		+ 4)						8 (x					+ 4)							2					2

3.6. Вычисление интеграла J6 = ∫ ax2 + bx + c dx

Интегралы вида ∫ ax2 + bx + c dx ( a ≠ 0 ) с помощью операции выде-

ления полного квадрата приводятся к одному из табличных интегралов (13–14) (в зависимости от знака a ).

Пример 1. Вычислить ∫ x2 − 4x +13 dx .

Решение:

∫ x2 −4x+13 dx = ∫ (x−2)2 +9 d(x−2) =

=[(x−2) (x−2)2 −9 + 92 ln (x−2)+ (x−2)2 +9 ]+ C =

=(x − 2) x2 − 4x +13 +	9	ln (x − 2)+ x2	− 4x +13 +C.
	2

Пример 2. Вычислить ∫ 12 + 4x − x2 dx .

Решение:

∫ 12 +4x − x2 dx = ∫ −[(x2 −4x +4) −4 −12]dx = ∫ 16 −(x −2)2 d(x −2) =

=x−22 16−( x−2)2 + 162 arcsin x−42 + C =

=	x−2	12+4x−x2 + 8 arcsin	x−2	+ C.
	2
		4
		32

3.7. Вычисление интеграла J7 =

∫(Mx + N ) ax2 + bx + c

Интегралы

вида

∫

подстановкой

t =

Mx + N

(Mx + N ) ax2 +bx +c

сводятся к интегралам, рассмотренным в разд. 3.1–3.5.

Пример.

Вычислить ∫

−4) x2 +6x +15

Решение:

t =

, x − 4 =

∫

x − 4

(x − 4)

+ 6x +15

= t + 4, dx = −t 2

−

= ∫

= − ∫

t 2

+ 4

+15

+ 24

+15

t 2

= −∫

= −

∫

55t 2 +14t +1

7 2

(

)

t +

= −

ln t +

+ t 2 + 14 t +

+ C =

= −

+C .

x −4

55(x −

x −4

3.8. Вычисление интеграла J8	=	∫	Pn( x)		dx
			ax2	+ bx + c

Интегралы типа J8 (где Pn (x) лять, пользуясь формулой

∫	Pn (x)		dx = Qn−1	(x)
	ax2	+ bx + c

−многочлен степени n ) можно вычис-

ax2 + bx + c + λ∫	dx	,
ax2 + bx + c + λ∫		,
ax2	+ bx + c

где Qn−1(x) − многочлен степени n −1 с неопределенными коэффициента-

ми; λ – некоторое число.

Коэффициенты многочлена и число λ находятся дифференцированием приведенной формулы.

Пример. Вычислить ∫	x2
Пример. Вычислить ∫	dx .
1	− 2x − x2
Решение:
По приведенной выше формуле

J = ∫

dx = ( Ax + B) 1 − 2x − x2

+ λ∫

1 − 2x − x2

Дифференцируя это равенство, получаем

= A 1 − 2x − x2 + ( Ax + B)

− 2 − 2x

или

1 − 2x − x2

2 1 − 2x − x2

1 − 2x − x2

x2 = A(1 − 2x − x2 ) + ( Ax + B)(−1 − x) + λ,

и окончательно

x2 = A −3Ax − 2Ax2 − B − Bx − λ.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа,

получим

= −2 A,

A = −

0 =3A − B,

B =

0 = A − B +λ

λ = 2.

Следовательно,

учетом

x +

− 2x − x2

+ 2∫

= −

− 2x − x2 = 2 − (x

+1)

1 − 2x

− x

−

x +

+ 2arcsin

x +1

+ C .

1 − 2x − x2

Практическая часть

«Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен»

1. ∫	dx		=		1	∫					dx				=		1	∫						dx						=
1. ∫	2x2 + 6x +10		=		2	∫	x2 + 3x +							5	=		2	∫	(x	2	+ 2		3	x +	9		) + 5	−	9	=
	2x2 + 6x +10				2		x2 + 3x +							5			2			2			3		9				9
											3												2			4			4
											3												3
					d x				+

		1									2					1		1				x + 2
	=	1	∫								2			=		1		1		arctg		x + 2			+ C .
	=	2	∫					3		2		11		=		2		11		arctg					+ C .
		2						3		2		11				2		11					11
				x +							+
																		2					2
								2					4
								2					4

3x +5

(2x + 4 −4)+5

2x + 4

dx =

dx −1

∫

x2 + 4x +

∫

x2 + 4x +

∫ x2 + 4x +

x2 + 4x +8

∫

∫d (x2 + 4x +8)

− ∫

4x +8

−

arctg

x + 2

+ C .

x2 + 4x +8

(6x

x −1

+ 2) −

dx =

3. ∫

dx = ∫

3x2 + 2x +1

∫

6x + 2

dx −

∫

ln(3x2

+ 2x +1) −

∫

3x2 + 2x +1

1 ln(3x2 + 2x +1) − 4

∫

1 ln(3x2

2x +1) −

2 arctg 3x +1 +

x +

4. ∫

6x − 2

dx = ∫

3(2x − 4) +12 − 2

dx =

x2 − 4x + 5

=3∫

2x − 4

dx +

∫

dx =

x2 − 4x + 5

(x − 2)2 − 4 + 5

d(x2 − 4x + 5)

dx =3ln

∫

− 4x + 5

+10arctg(x − 2).

∫

x2 − 4x + 5

(x − 2)2 +

7x − 2

(6x −5)

− 2

5. ∫

dx = ∫

dx =

3x2 −5x + 4

∫

6x −5

dx +

∫

3x2 −5x + 4

	7		23	1	6			dx
=	6 ln 3x2 −5x + 4	+				∫					=
=	6 ln 3x2 −5x + 4	+	6	3	23	∫		5 2		23	=
							x −		+
							x −		+	36
								6		36

7 ln 3x2

−5x + 4 +

23 arctg 6x −5 + C.

5x −3

(2x + 6) −

−3

(2x + 6)

dx =

∫

6. ∫

dx = ∫

dx −

x2 + 6x − 40

−18∫

d(x + 3)

x2 + 6x − 40

− 18 ln

x + 3 − 7

+ C =

+ 3)2 − 49

x + 3 + 7

= 5 ln

2 + 6x − 40

− 9 ln

x − 4

+ C.

x +10

x −3

7. ∫

dx =

∫(x2 − 6x +1)

d(x2 − 6x +1) = x2 − 6x +1 + C .

x2 −6x +1

8. ∫

dx = 1

∫

2x +1

dx −

1 ∫

x2 + x +1

= x2 + x +1 − 1 ∫

1 2

x +

x2 + x

+1 −

x2 + x +1

ln x +

+C .

3x +4

dx = ∫−

(−2x +6)

+9 +4 dx = −

(2x − 6)dx +

9. ∫

∫

− x2 +6x

7 − x2 +6x

7 − x2 + 6x

+13∫

d (x −3)

= −3 7 − x2 +6x +13arcsin x −3 +C .

16 −(x −3)2

3x +5

(2x − 4) + 6 + 5

dx = 3

(2x −4)

10. ∫

= ∫

∫

dx +

(x2 −4x +7)2

(x2 − 4x + 7)2

(x2 −4x +7)2

+11

d(x −2)

= −

+11

рекуррентная

∫

((x −2)2 +3)2

2(x2 −4x +7)

∫

(u2 +3)2

формула

= −

+11

∫

2(x2 −4x +

u2 +3

2(u2 +3)

= −

11u

arctg

+C =

2(x2 −4x +

6(u2 +

6 3

= −

11(x −2)

arctg x −2 +C.

2(x2 −4x +7) 6(x2 −4x +7)

6 3

5x + 6

(2x + 6) −15 + 6

11. ∫

dx =

∫

dx =

(x2 + 6x +

15)3

(x2 + 6x +15)3

∫

(2x + 6)dx

−

9∫

(x2 + 6x +15)3

2 + 6x +15)3

−9 ∫

d(x + 3)

−

((x + 3)2 + 6)3

+ 6x +15)2

(x2

рекуррентная

= −

−9 ∫

= −

−

(u2 + 6)3

формула

4 (x2 +6x +15)2

arctg

x + 3

−9

4 6

2 6((x + 3)2 + 6)

+ 3)2 +

2 6

((x

6)2

−5

−

arctg

x +3

−

x +3

−

x +3

+C.

4(x2 +6x +15)2

32 (x2 +6x +15)

8 (x2 + 6x +15)2

12.

∫

6 −5x −3x2 dx =

3∫

− x2

−

x +2 dx

3∫

−

+2 dx =

x +

=3∫ 9736 −(x+56 )2 d (x+56 )=

		(			)				(			)
	3		x+	5		97		− x+			5	2	+		97			arcsin		x+5 / 6		+ C =

	2			6			36				6					36				97 / 36
	2			6			36				6					36				97 / 36
	=	3				5		2	−	5	x − x			2	+		97		arcsin		6x +5	+C =
	=		x +					2	−		x − x				+				arcsin			+C =
		2				6				3							36				97
=	1	(6x + 5)					6 −5x −3x2								+		97		3 arcsin 6x + 5				+ C .
	12																	72			97

	∫ 3x2	−5x+6 dx = 3 ∫	x−	5 2	+	47	d x−	5	=

13.				6 )		36		6 )
			(				(

				(					)(					)															(				)				(								)
	=		3		x−		5			x−		5			2 +		47		+			47				ln			x−			5	+				x−					5			2 +	47				+ C =

			2
			2				6					6					36			36												6									6					36
	1		(6x −5) 3x2 −5x																	47					3										5										x2 −			5
=															+6 +													ln x −										+												x	+ 2		+C .
=	12														+6 +					72								ln x −							6			+										3		x	+ 2		+C .
	12																			72															6													3
				dx									t		=	1		, x =						1										−			dt																dt
14. ∫											=		t		=	x		, x =							t			= ∫						−			t 2								=		− ∫								=
																x				dt					t												t 2
		x 5x2			− 4x					+1																				1 5 4
		x 5x2			− 4x					+1																				1 5 4																					5 − 4t + t 2
														dx = −t 2																						−					+1
														dx = −t 2																	t			t 2		−			t		+1
= −ln t − 2 + 1 − (t −															2)		2			+ C = = −ln															1												1				2		+C .
																	2																		1			+									1
																																		x −			2	+							1+		x		−2
																																		x −			2										x
15. J = ∫						x2				dx = ( Ax + B) x2 + x +1 + λ∫																																					dx					.
				x2 + x +1																																									x2 + x +1
Дифференцируя это равенство, получаем
		x2			= A					x2 + x +1 + ( Ax + B)																						2x +1													+					λ				, или
x2 + x +1																													2 x2 + x +1																		x2 + x +1
							x2 = A(x2 + x +1) +( Ax + B)(x +																																1) +λ .
																																						2
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа,
получим																																						1
																																						1
										x2			1 = 2A,																			A				=		2			,
																																A				=					,

											1		0		=		3	A − B,																		= −					3			,
										x			0		=		2	A − B,														B				= −					4			,
											0						2				B																				4
										x	0										B																			1
													0 = A +											+λ								λ = −								8			.
													0 = A +							2				+λ								λ = −											.
Следовательно,																				2
Следовательно,																																									c				учетом
		1		3												1									dx																c				учетом
J =		1	x −	3			x	2		+ x +1 −						1									dx							=																			1			3	=

		2		4												8 ∫							2																								(x +					)2	+
		2		4												8 ∫					x		2		+ x +1									x2 + x +1 =													(x +				2	)2	+	4
					1					3											x				+ x +1																										2			4
					1	x	−			3					+ x +1 −										1		ln x +					1		+ x2								+ x +1 + C .
			=		2	x	−			x2					+ x +1 −										8		ln x +					2		+ x2								+ x +1 + C .
					2					4															8							2
																									38

16. ∫	3x3 −7x2 +1 dx = ( Ax2 + Bx +C)	x2 − 2x +5 + λ∫	dx	.
	x2 − 2x +5		x2 − 2x +5
Продифференцируем полученное		выражение,	умножим	на

ax2 +bx + c и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х:

3x3 −7x2 +1 = (2Ax + B) x2 − 2x +5 + Ax2 + Bx +C (x −1) +						λ	;
x2 − 2x +5			x2 − 2x +5			x2 − 2x +5
(2Ax + B)(x2 −2x +5) +( Ax2 + Bx +C)(x −1) +λ= 3x3 −7x2 +1;
2Ax3 − 4Ax2 +10Ax + Bx2 − 2Bx +5B + Ax3 + Bx2 +Cx − Ax2 − Bx −C + λ=
		=3x3 − 7x2 +1;
3Ax3 −(5A −2B)x2 +(10A −3B +C)x +5B −C +λ = 3x3 −7x2 +1;
x3		3A =3,		A =1,
x3		3A =3,		A =1,

x
x		5A −2B = 7,		B = −1,
			0,
x1		10A −3B +C =	0,	C = −13,
	0	5B −C +λ =1.		λ = −7.
x
Поэтому
∫3x3 −7x2 +1 dx = (x2 − x −13)			x2 − 2x +5 −7∫		dx	=
x2 − 2x +5					(x −1)2	+ 4
= (x2 − x −13) x2 − 2x +5 −7 ln(x −1 +				x2 − 2x +5) +C.

17. J = ∫(4x2 − 6x) x2 + 3dx .

Сведем интеграл к виду J8 :

J = ∫(4x2 − 6x) x2 + 3dx = ∫	(4x2 − 6x)(x2 + 3) dx ,
	x2 + 3

поэтому

∫	(4x2 − 6x)(x2 + 3) dx = ( Ax3 + Bx2 + Cx + D) x2 + 3 + λ∫							dx .
	x2 + 3							x2 + 3
Дифференцируя, получаем
	4x4 −6x3 +12x2 −18x	= (3Ax	2	+ 2Bx +C) x	2	+3	+
	x2 +3	= (3Ax		+ 2Bx +C) x		+3	+
	x2 +3
		39

( Ax3 + Bx2 +Cx + D)x

;

x2 +3

4x4 −6x3 +12x2 −18x =(3Ax2 + 2Bx +C)(x2 +3) + Ax4 + Bx3 +Cx2 + Dx +λ;

4x4 −6x3 +12x2 −18x = 4Ax4 +3Bx3 +(2C +9A)x2 +(6B + D)x +3C + λ;

A =1; B = −2; C = 3 / 2; D = −6; λ = −9 / 2;

∫(4x

−

6x) x

−2x

x −

+3 −

ln x + x

+C.

+3dx = x

6 x

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Найти:

1) ∫

; 2); ∫

; 3)

∫

; 4)

∫

x2 + x + 3

−2x − x2

x2 −5x +6

4 −3x − x2

Задание 2. Найти:

1) ∫

x +3

dx ; 2)

∫

x +4

dx ; 3) ∫

5x +2

dx ;

x2 +2x +5

2x2 −6x −8

x2 +3x −4

4) ∫

x −9

dx .

4 +2x − x2

Задание 3. Найти:

1) ∫

;

2) ∫

−1) x2

−1) x2 − x −1

− x +1

Задание 4. Найти:

1) ∫ x2 + 4x +13 dx ; 2) ∫ 8 +2x − x2 dx .

Задание 5. Найти

1) ∫

x10 − x +1

∫

; 3) ∫

2x2

−

dx .

1 + x2

dx ; 2)

x2 − 2x +5

x2 +1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025542 Кб7наш вариант.doc
#
01.03.202586 Кб2Некрасов.doc
#
01.07.20255 Мб1нелинейная.docx
#
03.06.2015349 Кб1180Немецкий язык (технические тексты).pdf
#
03.06.20151 Мб7неопр.ин-л и индивид. задания.pdf
#
03.06.20152 Мб12неопр.ин-л лекции и практики.pdf
#
30.07.201988 Кб11Несчастный случай.doc
#
01.07.2025148 Кб0нефть.rtf
#
01.07.20252 Мб2нп Описание цепей упр-я (А4)..doc
#
01.03.2025146 Кб1Нт413СИЭ_Скутина_статистическая_практика.doc
#
03.06.201595 Кб25Облачные технологии.docx