Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский государственный горный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

неопр.ин-л лекции и практики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Решение:

x + 3

Ax + B

Cx + D

(x2 + 2)(x2 +1)= (x2 + 2)

(x2 +1)

x +3 =( Ax + B)(x2 + 2) + (Cx + D)(x2 +1) .

Находим неизвестные коэффициенты методом неопределенных коэф-

фициентов:

0 = A +C,

A =1,

= B

+ D,

=3,

откуда

1 = 2A +C,

= −1,

3 = 2B + D,

D = −3.

x +3

Таким образом,

−

(

+ 2

)(

(

+ 2

)

(

)

Пример 4. Найти интегралы:

a) ∫

3x5

−4x

dx , b) ∫

x3 +3x +1

dx , c) ∫

x4 + 2

dx .

x2 + 2

x2 −4

Решение:

Во всех примерах подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью, т. к. степень многочлена, стоящего в числителе, больше или равна степени многочлена, стоящего в знаменателе. Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть рациональной дроби и правильную рациональную дробь.

3x5 − 4x x2 +1 3x5 + 3x3 3x3 −3x

−3x3 − 4x

3x3 −3x

− x

Таким образом, 3x5 −4x = 3x3 −3x −

2 +1

Разбиваем исходный интеграл на три интеграла.

3x5 −4x

dx =

3x3 −3x −

x3dx−3 xdx−

dx =

∫

x2 +1

∫x2

∫

x2 +1

∫

−

∫

d(x2 +1)

−

+C.

b) ∫

+3x +1

x +1

dx =

∫

x +

∫xdx +∫

x2 +2

x2 +

xdx

+∫

∫

x2 +2

x2 +

2 +2

∫

d(x2

+2)

∫

ln x

arctg

+C .

x2 +

( 2)2

x2 +

c) ∫

+ 2

dx =

∫ x

+ 4 +

= ∫x

+ 4∫dx +18∫

− 4

−

+ 4x +18∫

+ 4x +18

x − 2

+ C =

2 − 22

x + 2

x − 2

4x +

+ C .

+ 2

Пример 5. Найти интегралы:

a) ∫

7x − x2 −4

dx ,

b) ∫

2x4 −3x3 −21x2 −26

dx .

2 −5x

+6)(x

+1)

(x2 −5x + 4)(x +3)

Решение:

a) ∫

7x − x2 −4

dx .

2 −5x

+6)(x

+1)

Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, т. к. степень многочлена, стоящего в числителе, ( n = 2 ) меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе, ( n = 3 ).

Разложим знаменатель подынтегральной функции на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения

x2 −5x + 6 = 0; D = 25 − 4 6 =1; x =	5 ±1	; x =3; x	2	= 2.

1,2	2	1
Тогда (x2 −5x +6)(x +1)= (x −2)(x −3)(x +1) .

В разложении правильной дроби на простейшие каждому множителю знаменателя вида x −a соответствует слагаемое x −Aa . Поэтому в данном случае имеем

7x − x2 − 4

(x2

−5x + 6)(x +1)

+1)(x − 2)(x −3)

x +

x − 2

x −3

A(x − 2)(x −3)

+ B(x +1)(x −3) + C(x +1)(x − 2)

(x +1)(x − 2)(x −3)

Приведя правую часть разложения на сумму простейших дробей к общему знаменателю, и приравняв числители дробей, получим тождество

7x − x2 −4 = A(x −2)(x −3) + B(x +1)(x −3) +C(x +1)(x −2) .

Коэффициенты A, B, C определим, например, с помощью метода частных значений (подставим одни и те же значения x в правую и левую часть тождества):

x = 2	6 = −3B,
x = 2	6 = −3B,
		−12 =12A,
x = −1		−12 =12A,
		8 = 4C,
x =3		8 = 4C,

A = −1,

откуда B = −2,

C = 2.

Подставим найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим

7x − x2 − 4

∫

dx = ∫

−

dx =

(x2 −5x + 6)(x

+1)

x +1

x − 2

−3

= −∫

− 2∫

+ 2∫

= −∫d(x +1)

− 2∫d(x − 2)

+ 2∫d(x −3)

x +1

x −

x +1

x − 2

x −3

= −ln

x +1

− 2ln

x − 2

+ 2ln

x −3

+ C =

= ln(x −3)2 − (ln

x +1

+ ln(x − 2)2 )+ C = ln

(x −3)2

+ C .

(x − 2)2

Замечание: результат интегрирования можно оставить в виде суммы логарифмических функций.

b) ∫ 2x4 −3x3 −21x2 −26 dx . (x2 −5x + 4)(x +3)

Так как подынтегральная функция является неправильной дробью (степень многочлена в числителе ( n = 4 ) больше, чем степень многочлена знаменателя ( n = 3 )), то путем деления числителя на знаменатель можно представить ее в виде суммы целого многочлена и правильной рациональной дроби. Удобно раскрыть скобки в знаменателе и поделить «уголком» числитель на знаменатель.

Так как

(x +3)(x2 −5x + 4)= x3 −2x2 −11x +12 и x2 −5x + 4 = (x −1)(x −4) ,

то

2x4 −3x3 −21x2 −26

3x2

−13x −38

= 2x +1

(x2 −5x + 4)(x +3)

(x2 −5x + 4)(x +

= 2x +1 +

3x2 −13x −38

(x −1)(x

−4)(x +3)

Тогда исходный интеграл примет вид

2x4 −3x3 − 21x2 − 26

3x2 −13x −38

∫

1 +

−5x + 4)(x + 3)

= ∫ 2x +

(x −1)(x − 4)(x + 3)

dx =

= x2 + x + ∫

3x2 −13x −38

dx .

(x −1)(x − 4)(x +

Вычислим отдельно оставшийся интеграл. Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, которая может быть разложена на сумму трех простейших дробей (аналогично тому, как это было сделано в пункте a):

3x2

−13x −38

∫

dx = ∫

−

dx = ∫

(x −1)(x − 4)(x + 3)

x −1

x +

x + 3

x − 4

+ 4∫

−2∫

= ln

x + 3

+ 4ln

x −1

− 2ln

x − 4

+C .

x −

Тогда окончательно получим

∫

2x4 −3x3 − 21x2 − 26

dx = x2 + x +

∫

3x2 −13x −38

dx =

(x −1)(x − 4)(x +

(x2 −5x + 4)(x + 3)

= x2 + x + ln

x + 3

+ 4ln

x −1

− 2ln

x − 4

Пример 6. Найти интеграл

J = ∫

+ x4 −8

dx .

− 4x

Решение:

Подынтегральная дробь – неправильная, поэтому выделим ее целую часть:

_	x5	+ x4	−8	x3 −4x

	x5 −4x3			x2 + x + 4

_ x4 + 4x3 −8 x4 −4x2

_ 4x3 + 4x2 −8 4x3 −16x

4x2 +16x −8,

т. е.

x5 + x4 −8

= x2 + x + 4 +

4x2 +16x −8

x3 − 4x

Проинтегрируем:

4x2 +16x

−8

4x2 +16x −8

+ x + 4 +

+ 4x

dx.

J = ∫ x

− 4x

dx =

+ ∫

x(x − 2)(x + 2)

Правильную дробь

4x2 +16x −8

разложим на простейшие дроби и

x(x − 2)(x

+ 2)

найдем коэффициенты A, B, C:

4x2 +16x −8

x(x − 2)(x + 2)

− 2

x +

Приведя правую часть равенства к общему знаменателю и отбросив последний, имеем

4x2 +16x −8 = A(x − 2)(x + 2) + Bx(x + 2) +Cx(x − 2) , 4x2 +16x −8 = x2 ( A + B +C) + x(2B − 2C) − 4A.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов A, B, C:

x2		4 = A + B +C,	A = 2,
x1		16 = 2B −2C,
			откуда B =5,
x	0	−8 = −4A,
			C = −3.

Таким образом,

4x2 +16x −8

−

Тогда

x3 − 4x

x −

x +

J =

+ 4x +

∫

−

dx =

x −

x + 2

+ 4x + 2ln(x) + 5ln(x − 2) − 3ln(x + 2) + C =

Cx2 (x − 2)

−3ln(x + 2) + C =

4x + ln

(x + 2)3

Пример 7. Найти интеграл J =

∫

x2 dx

3 −

Решение:

Правильную дробь

разложим на простейшие дроби.

−8

Bx +C

;

−

(x − 2)(x2 + 2x + 4)

− 2

+ 2x + 4

A(x2 + 2x + 4) + (Bx +C)(x − 2)

;

−

− 2)(x2 + 2x + 4)

x2 = A(x2 + 2x + 4) + (Bx +C)(x − 2) ;

x2 = ( A + B)x2 + (2A +C − 2B)x + 4x − 2C ;

1 = A + B,

0 = 2A −2B +C,

откуда B

0 = 4A −2C,

J = ∫

dx =

∫

2x + 2

dx =

ln(x −2) +

∫

d(x2 + 2x + 4)

x3 −

−

x2 + 2x + 4

+ 2x + 4

1 ln(x − 2) +

1 ln(x2 + 2x + 4) +

1 ln C = ln 3 C(x3 −8).

Пример 8. Найти интеграл J = ∫

x2 −5x + 9

dx .

(x −1)2 (x2 + 2x +

Решение:

Разложим правильную дробь на сумму простых:

x2 −5x + 9		=	A	+	B	+	Cx + D		.
(x −1)2 (x2	+ 2x + 2)		x −1		(x −1)2		x2	+ 2x + 2

Умножая обе части полученного разложения на знаменатель

Q(x) = (x −1)2 (x2 + 2x + 2) , имеем

x2 −5x + 9 = A(x −1)(x2 + 2x + 2) + B(x2 + 2x + 2) + (Cx + D)(x −1)2 ,

или

x2 −5x +9 = ( A +C)x3 +( A + B −2C + D)x2 +(2B +C − 2D)x − 2 A + 2B + D.

Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях многочленов слева и справа в последнем равенстве, получаем систему линейных уравнений (относительно A, B,C, D ):

x3	A + C = 0
x3	A + C = 0
x2	A + B − 2C + D =1	.
x	2B + C − 2D = −5	.
x	2B + C − 2D = −5
1	− 2A + 2B + D =9

Решая полученную систему (например, методом Гаусса), найдем

A = −75 , B =1, C = 75 , D = 215 .

Вернемся к вычислению интеграла:

J = −

∫

x dx

∫

x −

(x −1)2

x2 + 2x + 2

= −7 ln | x −1| −

ln(x2 + 2x + 2) +14 arctg (x +1) + C .

x −1

Пример 9. Найти интеграл J = ∫

x + 9

dx .

x3 − 6x2 +

Решение:

Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь, разложим ее на простейшие дроби и проинтегрируем:

x +9	=	x +9		=	A		+	B	+	C	=
					x −	3		(x −3)2		x
x3 −6x2 +9x x(x −3)2
			57

=	Ax(x −3) + Bx +C(x −3)2		=	Ax2	−3Ax + Bx +Cx2 −6Cx +9C			=
	x(x −3)2					x(x −3)2

	=	( A +C)x2	+ (B −3A −6C)x +9C				,
			x(x −		3)2

откуда

x + 9 = ( A + C)x2 + (B −3A − 6C)x + 9C .

Для нахождения A, B,C воспользуемся методом неопределенных коэффициентов, т. е. приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x :

x2		0	= A +C,	A = −1,
	1		= B −3A −6C,
x		1	= B −3A −6C,	B = 4, .
x	0		=9C
x		9	=9C	C =1.

Следовательно,

x +9

−1

x3 −6x2 +9x

x −3

(x −3)2

x +9

−1

1)dx =

∫

dx = ∫

(

x −3

(x −3)2

x3 −6x2 +9x

−ln

x −3

+ ln

+C = ln

−

(−1)(x −3)

x −3

Пример 10. Найти интеграл

J = ∫

(x5 + 4x3 )dx

(x +1)2 (x2 + 2x + 3).

Решение:

Так как степень полинома в числителе больше степени полинома в знаменателе, то выделим целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель, предварительно перемножив сомножители в знаменателе.

В результате интеграл J перепишется в виде

J = ∫(x − 4)dx + ∫12x3 + 24(x2 + 29x +12) dx .

(x +1)2 x2 + 2x + 3

Первый интеграл легко вычисляется: он равен 12 x2 − 4x . Прежде чем вычислять второй интеграл (обозначим его J2 ), необходимо выяснить, ве-

щественны или комплексны корни уравнения x 2 +2x +3 = 0 .

Так

как

корни

уравнения

комплексные

(дискриминант

D = 22 −4 3 = −8 < 0 ), то разложение подынтегральной функции в J2 име-

ет вид

12x3 + 24x2 + 29x +

B x

+ C

(x +1)2 (x2 + 2x + 3) =

x +1

(x +1)2

x2 + 2x + 3

После приведения правой части равенства к общему знаменателю по-

лучим

12x3 + 24x2 + 29x +12 =

= A (x +1)(x2 + 2x + 3)+ A

(x2

+ 2x + 3)+ A (B x + C )(x +1)2 ,

или

12x3 + 24x2 + 29x +12 = x3 (A + B )+ x2 (3A + A + 2B + C )+

+ x(5A1 + 2A2 + B1 + 2C1 )+ 3A1 + 3A2 + C1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и

правой части равенства, получим систему уравнений:

+ B

=12,

3A1 + A2 + 2B1 +C1 = 24,

+ 2C1 = 29,

5A1 + 2A2 + B1

+3A

=12.

Решая эту систему, найдем A =

, A

= −

, B =

, C = −6 .

Таким образом,

=17

x − 6

∫

−

∫

dx =

x +1

(x +1)2

x2 + 2x + 3

d (x2 + 2x + 3)−

dx − 6dx

x +1

∫

x +1

x2 + 2x + 3

+2x

−

∫

2 +2x +3

В последнем интеграле знаменатель приводим к полному квадрату:

x2 +2x +3 = (x +1)2 +2 =

x +1

+1 . В результате получаем

арктан-

генс.

Окончательно имеем

J =

− 4x +

ln x +1

ln x

+ 2x + 3 −

arctg

x +1

+ C.

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Найти интегралы:

1) ∫

x 6

−2x 4 +3x 3 −9x 2 + 4

;

2) ∫

x 2 −3x +2

dx ;

−

+ 4x

x (x

+2x +1)

3) ∫

2x 2 −3x −3

dx ;

∫

x 3

+ x −1

dx ;

−1)(x

−2x +

5) ∫

x5 + x4 −8

dx ;

6) ∫

3x2

dx ;

x3 −4x

x3 + 4x2 +

7) ∫

;

∫

2x2

+ 2x +13

;

(x −1)(x + 3)

− 2)(x2

+1)2

9) ∫

6x2 + 46x + 95

dx .

(x + 4)3

Задание 2. Найти интегралы:

1) ∫

x 4 +1

2) ∫

x11dx

;

x 6 +1

x 8 +3x 4 +2

3) ∫

x 4 −3

dx ; 4)

4) ∫

x 2 −1

dx .

x (x

+3x

+2)

+ x

+ x +1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.03.2025542 Кб7наш вариант.doc
#
01.03.202586 Кб2Некрасов.doc
#
01.07.20255 Мб1нелинейная.docx
#
03.06.2015349 Кб1180Немецкий язык (технические тексты).pdf
#
03.06.20151 Мб7неопр.ин-л и индивид. задания.pdf
#
03.06.20152 Мб12неопр.ин-л лекции и практики.pdf
#
30.07.201988 Кб11Несчастный случай.doc
#
01.07.2025148 Кб0нефть.rtf
#
01.07.20252 Мб2нп Описание цепей упр-я (А4)..doc
#
01.03.2025146 Кб1Нт413СИЭ_Скутина_статистическая_практика.doc
#
03.06.201595 Кб25Облачные технологии.docx