Вариант № 16

1. Какую работу нужно произвести, чтобы насыпать кучу песка в форме усеченного конуса высоты H и радиусами оснований R и r (r < R)?

Плотность песка равна d (песок поднимают с поверхности земли, на которой покоится большее основание конуса).

2. Прямоугольник со сторонами a и b разбивается на две части дугой параболы, вершина которой совпадает с одной из вершин прямоугольника и которая проходит через его противоположную вершину. Найти центры масс обеих частей прямоугольника.

3. Вычислить площадь, ограниченную астроидой x^2/3 + y^2/3 = a ^2/3.

4.^*Доказать, что дуга параболы y = x² ( 0  x  a ) имеет ту же длину, что и дуга спирали  = p (0    a ).

4. Найти длину линии .

5. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси 0x пластинки y² = x, y = x².

6. Фигура, ограниченная параболами y = x² и y² = x вращается вокруг оси 0x. Вычислить объем тела вращения.

7. Установить сходимость или расходимость несобственного интеграла непосредственным вычислением или по признаку сравнения: .

8. Вычислить определенный интеграл по формулам прямоугольника, трапеции, Симпсона, деля отрезок интегрирования на 2n равных частей: .

9. Вычислить определенный интеграл с помощью Эйлеровых интегралов:

Вариант № 17

1. Размеры пирамиды Хеопса приблизительно таковы: высота 140 м, ребро основания (квадрата) 200 м. Плотность камня, из которого она сделана,   2,5  10 ³ кг/ м³. Вычислить работу, затраченную при ее постройке на преодоление силы тяжести.

2. Найти координаты центра масс однородной полуокружности радиуса r.

3. Определить площадь, ограниченную одной аркой циклоиды

x = a (t - sin t), y = a (1 - cos t) и осью абсцисс.

4. Вычислить длину линии .

5. Найти площадь поверхности вращения дуги линии x = e^t sin t , y = e ^tcos t

(0  t  /2) вокруг оси 0x.

6. Криволинейная трапеция, ограниченная линиями y = xe^x, x = 1, y = 0, вращается вокруг оси 0x. Определить объем получающегося тела вращения.

7. Установить сходимость или расходимость несобственного интеграла непосредственным вычислением или по признаку сравнения: .

8. Вычислить определенный интеграл по формулам прямоугольника, трапеции, Симпсона, деля отрезок интегрирования на 2n равных частей: .

9. Вычислить определенный интеграл с помощью Эйлеровых интегралов:

Вариант № 18

1. Вычислить работу, необходимую на выкачивание жидкости плотности d из резервуара, имеющего форму обращенного вершиной вниз конуса, высота которого равна Н, а радиус основания R. Как изменится результат, если конус будет обращен вершиной вверх

2. Найти центр масс дуги окружности радиуса R, стягивающей центральный угол .

3. Определить площадь, ограниченную петлей строфоиды y²(2a - x) = x (x - a)².

4. Вычислить длину дуги линии r = a Cos³ .

5. Арка циклоиды x = a (t - Sin t), y = a (1 - Cos t) вращается вокруг своей оси симметрии. Найти площадь получающейся поверхности.

6. Симметрический параболический сегмент с основанием a и высотой h вращается вокруг основания. Найти объем получающегося тела вращения (“лимон” Кавальери).

7. Установить сходимость или расходимость несобственного интеграла непосредственным вычислением или по признаку сравнения: .

8. Вычислить определенный интеграл по формулам прямоугольника, трапеции, Симпсона, деля отрезок интегрирования на 2n равных частей: .

9. Вычислить определенный интеграл с помощью Эйлеровых интегралов: