8. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

8.1.Понятие о системе дифференциальных уравнений

иее решении

Совокупность соотношений вида

называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале(a, b),

называется решением системы (8.1) в этом интервале, если она обращает все ДУ системы (8.1) в тождества, справедливые при всех значениях

x (a, b) .

Процесс нахождения решений системы (8.1) называется

интегрированием этой системы.

Пример. Рассмотрим систему

Действительно, подставляя (**) в систему (*), получим тождества

40

8.2. Нормальная форма системы дифференциальных уравнений

СДУ первого порядка

разрешенная относительно производных от искомых функций, называется

системой дифференциальных уравнений в нормальной форме или нормальной системой.

Если при помощи некоторых преобразований из данной системы удается получить интегрируемое уравнение, то оно называется

интегрируемой комбинацией.

Пример. Пусть дана система

Решение. Система (8.4) – нормальная. Разделив первое ДУ на второе, получим интегрируемую комбинацию:

Вычитая почленно второе уравнение системы (8.4) из первого, найдем еще одну интегрируемую комбинацию:

41

Совокупность соотношений (8.5) и (8.6) в общей теории СДУ называется общим интегралом системы.

Ответ: y2 − z2 = C1,

( y − z)2 = −2x +C2. ■

8.3. Задача Коши для нормальной системы

Задача Коши для нормальной системы (8.3), ставится так:

найти решение y1 = y1 (x), y2 = y2 (x),..., yn = yn (x),

удовлетворяющее начальным условиям (условиям Коши)

где x0 , y10 , y20 ,..., yn0 - заданные числа.

Геометрически находится интегральная кривая, проходящая через заданную точку (x0 , y10 , y20 ,..., yn0 ).

8.4. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы

Теореме Пикара. Если правые части системы (8.3) непрерывны в некоторой окрестности начальной точки (x0 , y10 , y20 ,..., yn0 ) и имеют непрерывные в этой окрестности частные производные по y1 , y2 , y3 ,..., yn , то система (8.3) имеет единственное решение (8.2),

определенное в некоторой окрестности точки x0 и удовлетворяющее начальным условиям (8.7).

Условия теоремы Пикара, в частности, заведомо выполнены, если правые части нормальной системы есть многочлены относительно

y1 , y2 , y3 ,..., yn , коэффициенты которых непрерывны в окрестности начального значения x0 . При этом начальные значения y10 , y02 , y 03 ,..., y0n можно брать произвольно.

42

9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ

ИСКЛЮЧЕНИЯ.

Пусть задана система n уравнений (8.3):

Метод исключений состоит в том, что из системы (8.3) при помощи дифференцирования одного из уравнений и замены y1′, y2′ , y3′,..., yn′ исключают все искомые функции, кроме одной, для которой получается уравнение n–го порядка. Найдя общее решение этого уравнения, находим остальные неизвестные функции без дальнейших квадратур.

Пример. Рассмотрим систему

Решение. Дифференцируя первое уравнение и пользуясь вторым и третьим, получаем

43