3.3. Свойства случайных ошибок

1. При данных условиях измерений случайные ошибки не могут превзойти по абсолютной величине определенного предела.

2. Малые по абсолютной величине ошибки встречаются чаще, чем большие.

3. Положительные ошибки появляются так же часто, как и равные им по абсолютной величине отрицательные ошибки.

4. Среднее арифметическое из случайных ошибок измерений одной и той же величины стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений, т.е.

. (3.2)

Если то в этом случае систематическое влияние полностью не исключено.

3.4. Меры точности результатов измерений в качестве меры точности, характеризующей надежность результатов измерений, используют среднюю квадратическую m, среднюю, вероятнуюrи предельнуюпрошибки.

Средняя квадратическая ошибка результата измерения вычисляется по формулам

(3.3)

или

, (3.4)

где _i – истинная ошибка измерения, _i = x_i - X ;

v_i – отклонение от арифметической средины, ;

n – число измерений;

X – истинное значение измеряемой величины;

среднее арифметическое из результатов измерений;

x_i – результаты измерений.

При этом значение данной ошибки определяется с некоторой надежностью, значения которой вычисляется согласно формулам:

(3.5)

и, соответственно,

, (3.6)

а также вероятностно статистическими методами.

Средняя ошибка – это среднее арифметическое из абсолютных значений ошибок данного ряда

 =. (3.7)

При n   между величинами m и  существует устойчивая зависимость

 = = 0,798m  . (3.8)

Вероятная – это такая ошибка, которая делит пополам ряд случайных ошибок, расположенных в порядке возрастания их абсолютных значений.

При n   между величинами m и r существует устойчивая зависимость

r = 0,674 m  . (3.9)

За предельную ошибку принимают утроенное значение средней квадратической ошибки, т.е.

_пр = 3m . (3.10)

3.5. Определение ошибок функций измеренных величин Средняя квадратическая ошибка функции вида

Y = F(x₁, x₂, … , x_n) (3.11)

вычисляется по формуле

, (3.12)

где x_i – результаты непосредственных измерений независимых величин;

m_i - средние квадратические ошибки этих измерений.

На основании формулы (3.12) получены следующие средние квадратические ошибки:

средняя квадратическая ошибка линейной функции вида

Y =  k₁x₁  k₂x₂  . . .  k_nx_n , (3.13)

где k_i – постоянные коэффициенты;

x_i – измеренные величины со средними квадратическими ошибками m_i,

. (3.14)

При k₁ = k₂ = . . . = k_n = 1

. (3.15)

Если принять m₁ = m₂ = . . . = m_n = m, то

, (3.16)

т.е. средняя квадратическая ошибка суммы равноточно измеренных величин в больше ошибки одного измерения.

Средняя квадратическая ошибка среднего арифметического из результатов равноточных измерений

. (3.17)

Средняя квадратическая ошибка функции вида

(3.18)

определится с помощью натуральных логарифмов:

. (3.19)

Применяя формулу (3.12), получим

. (3.20)