2.5. Метод вариации произвольной постоянной
Рассмотрим уравнения
(2.10),
(2.11)
Общее решение неоднородного уравнения (2.10) находим по формуле
,
(2.12)
где
- общее решение однородного уравнения
(2.11), а
-
частное решение неоднородного уравнения
(2.10).
Пусть
найдена фундаментальная система решений
и общее решение соответствующего
однородного д.у. (2.11). Тогда частное
решение
уравнения (2.10) может быть найдено с
помощью метода вариации произвольной
постоянной (метод Лагранжа).
Сущность
метода состоит в следующем. Частное
решение неоднородного уравнения (2.10)
ищется в виде (2.12), где
заменены неизвестными функциями
,
т.е.
(2.13).
Можно доказать, что функции находятся из системы д.у.:
(2.14)
Замечание:
Системой (2.14) можно пользоваться, если
коэффициент при
в (2.10) тождественно равен единице. В
противном случае уравнение нужно
привести к указанному виду.
Система (2.14) имеет единственное решение
т.к.
определитель системы не равен нулю
при
в
силу линейной независимости
и
.
Пример
1.Найти общее
решение дифференциального уравнения
.
Решение:
Решая характеристическое уравнение
,
находим
.
Соответственно,
общее решение линейного однородного
д.у. имеет вид
.
Для нахождения частного решения
исходного
дифференциального уравнения найдем
из системы
Решая
эту систему, находим
.
Интегрируя д.у. с разделяющимися
переменными, получаем
,
и
.
Тогда общее решение исходного д.у. имеет вид
.
Ответ:
.
2.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
с правой частью специального вида.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
(2.10),
где
непрерывная на
функция,
.
Поскольку фундаментальная система решений соответствующего линейного однородного уравнения (2.11) всегда может быть найдена, задача интегрирования линейного неоднородного уравнения (2.10) сводится к задаче построения частного решения этого уравнения. Частное решение уравнения (2.10) всегда можно построить, применяя метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
Если же правая часть уравнения (2.10) имеет специальный вид
(2.15),
где
– действительные постоянные,
-
многочлены, соответственно степени
и
с действительными известными
коэффициентами, то частное решение
может быть найдено методом неопределенных
коэффициентов, т.е. нахождение частного
решения уравнения (2.10) сводится по
существу к алгебраическим операциям
(применение же метода Лагранжа приводит
к громоздким интегралам). Будем называть
степенью правой части
:
,
а контрольным числом
.
Через
обозначим кратность контрольного числа
правой части, как корня характеристического
уравнения.
Для
уравнения (2.10)
,
или
.
Тогда линейное неоднородное уравнение
имеет частное решение вида
где
- многочлены степени
с неизвестными коэффициентами, которые
следует определить.
Пример
1. 1) Найти
контрольное число
,
кратность контрольного числа
и степень
правой части уравнения
,
если -
корни
характеристического уравнения для
случаев и записать вид частного решения
уравнения
для случаев а) - е):
|
а)
|
г)
|
|
б)
|
д)
|
|
в)
|
е)
|
;
;
;
;
;
.
Решение:
|
а)
|
|
б)
|
|
в)
|
|
г)
|
|
д)
|
|
е)
|
Пример 2. Найти общее решение уравнения
(2.16).
Решение: Общее решение уравнения находится по формуле (2.12):
.
Характеристическое
уравнение:
Степень
правой части
,
контрольное число
–
корень характеристического уравнения
кратности 2, поэтому
и
Поставив
,
,
в (2.16) получаем:
=
;
=
.
и
Ответ:
