1. Дать определение интеграла от функции f(Р) по области R^п. Сформулируйте свойства интеграла по области.

2. Дайте определение двойного интеграла.

3. Перечислите свойства двойного интеграла. Сравните их со свойствами определенного.

4. Каков геометрический смысл двойного интеграла , ?

5. Сформулируйте правило перехода в двойном интеграла к полярным координатам. Примените это правило для вычисления интеграла

6. Сформулируйте теорему о среднем для двойного интеграла. Найдите среднее значение функции и = 2х + у в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой х+у=3.

7. Сформулируйте и решите задачу о вычислении массы дуги LR³ с переменной линейной плотностью  = (х, у, z).

8. Дайте определение криволинейного интеграла по длине дуги.

9. Перечислите свойства криволинейного интеграла первого рода, укажите среди них отличные от свойств криволинейного интеграла второго рода.

10. Вместо точек поставьте знак (, ,  ): ^... . Ответ поясните с физической точки зрения.

11. Дайте определение криволинейного интеграла второго рода по дуге LR².

12. Каков физический смысл криволинейного интеграла второго рода.

13. Укажите свойства криволинейного интеграла второго рода, отличные от свойств криволинейного интеграла первого рода.

14. Сформулируйте условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Как объяснить факт независимости с физической точки зрения?

15. При каких условиях для криволинейного интеграла второго рода справедлива формула Ньютона-Лейбница? Запишите эту формулу.

16. В каком случае не будет зависеть от направления обхода контура L?

17. Запишите формулу Грина. Каков смысл этой формулы?

18. Не вычисляя интеграла, докажите, что .

19. Запишите формулу связи между криволинейными интегралами первого и второго рода

20. *Докажите формулу Дирихле , а> 0. Пользуясь этой формулой, доказать равенство .

21. *Какой из интегралов больше : а) или , если f(x,y) >0 ; б) или , ?

22. *Найти среднее значение функции z = 12 - 2x - 3y в области 12 - 2х - 3у, х = 0 , у = 0

23. *Оценить интеграл , где D – круг х² + у²  2х.

24. *Вычислить или установить его расходимость.

25. *Вычислить , если

26. Вычислить

27. Найти длину дуги АВ пространственной кривой х = 3t, y = 3t², z = 2t³, А(0,0,0),В(3,3,2).

Образец экзаменационного билета

Часть 1 (на оценку 3). Засчитывается правильный выбор ответа из предложенных справа в таблице, но только при наличии решения.

Задание	Варианты ответов
1.	а) б) – в) г)
2.	а) а) б) в) г)
3.	а) б) в) г) –
4.	а)  б) в) ln(ln2) г)
5. Найти площадь между кривой и отрезком оси ОХ.		а) б) в) г)
6. Найти массу области D, ограниченной линиями х=у2, х=0, у=1, если плотность масс в каждой ее точке равна (х,у) = у – 2х		а)0,04 б) 0,1 в) г)
7. Найти работу силы F = (x, –y) при перемещении точки вдоль четверти эллипса		а) 2 б) в) – г) –
8. Найти , если , А(1,0)			а) б)–1,5 в) г) –
9.Найти направление наискорейшего возрастания функции в точке М(1,1)			а) 2 –3 б) 3 +2 в) 3 –2 г) 2 +3
10. Определение интегральной суммы для функции g(t) на отрезке [; ]. 11. Дайте определение максимума функции двух переменных. Сформулируйте достаточное условие максимума. 12. Дать определение двойного интеграла. 13. Перечислите свойства неопределенного интеграла.

Ответы: 1в, 2б,3в,4а,5б,6в,7в,8б,9в

Часть 2 (на оценку 4 и 5, ответ устный, не исключаются дополнительные вопросы по определениям, теоремам).

1. Сформулируйте и докажите свойства определенного интеграла, касающиеся отрезка интегрирования.

2. Сформулируйте и решите задачу о вычислении массы дуги LR³ с переменной линейной плотностью  = (х, у, z).

3. Какой из интегралов больше : или , если f(x,y) >0?

4. Докажите, что две первообразные для заданной функции отличаются только константой.