Вариант №1

Требуется провести статистическую обработку экспериментальных данных согласно пунктам 1-9 индивидуального задания. Проведем статистическую обработку для СВ Y.

Статистическая обработка результатов эксперимента в случае выборки большого объема () начинается с группировки выборочных значений, то есть с разбиения наблюдаемых значений СВ наk частичных интервалов равной длины и подсчета частот попадания значений СВ в частичные интервалы.

Сделаем группировку наблюдаемых значений. Оптимальную длину интервала определим по формуле Стэрджеса:

,

где ,– соответственно максимальное и минимальное выборочные значения СВY, n – объем выборки. Если h окажется дробным, то за величину интервала нужно взять либо ближайшее целое число, либо ближайшую несложную дробь.

Для СВ Y n = 100, Y_max = 36, Y_min = 13. Следовательно,

В качестве левого конца первого интервала возьмем величину, равную ДалееПолучим:

Составим таблицу (таблица 1):

ТАБЛИЦА 1

Вспомогательная таблица для расчета числовых характеристик выборки

Интервалы	Середины интервалов	Частоты	Относительные частоты	Наколенные относительные частоты
	13	2	0,02	0,02
	16	6	0,06	0,08
	19	17	0,17	0,25
	22	19	0,19	0,44
	25	21	0,21	0,65
	28	20	0,20	0,85
	31	11	0,11	0,96
	34	3	0,03	0,99
	37	1	0,01	1,00

Первый и четвертый столбцы таблицы 1 составляют интервальный статистический ряд относительных частот, графическое изображение которого – гистограмма относительных частот (ступенчатая фигура на рис. 1). Дискретный статистический ряд относительных частот задается вторым и четвертым столбцами, графическое изображение которого – полигон относительных частот (ломаная линия на рис. 1).

РИС. 1

Эмпирическая функция распределения F^*(y) выборки служит для оценки функции распределения F(y) генеральной совокупности. Функция F^*(y) определяет для каждого значения y относительную частоту события Y < y:

,

где n_y – число выборочных значений, меньших y; n – объем выборки. Пятый столбец таблицы 1 содержит накопленные частоты, то есть значения эмпирической функции распределения F^*(y), они относятся к верхней границе частотного интервала.

Эмпирическая функция распределения F^*(y) имеет вид:

График эмпирической функции распределения F^*(y) изображен на рис. 2 (для непрерывных распределений значения F^*(y) распространяются на интервалы линейным интерполированием).

РИС. 2 График эмпирической функции распределения СВ Y

Для вычисления числовых характеристик выборки удобно использовать таблицу 2, где в первых двух столбцах приведены сгруппированные исходные данные, а остальные столбцы служат для вычисления числовых характеристик.

ТАБЛИЦА 2

Таблица для расчета числовых характеристик выборки

Середины интервалов	Частоты
13	2	-11,28	-22,56	254,4768	-2870,4983	32379,2208
16	6	-8,28	-49,68	411,3504	-3405,9813	28201,525
19	17	-5,28	-89,76	473,9328	-2502,3652	13212,4883
22	19	-2,28	-43,32	98,7696	-225,1947	513,4439
25	21	0,72	15,12	10,8864	7,8382	5,6435
28	20	3,72	74,4	276,768	1029,577	3830,026
31	11	6,72	73,92	496,7424	3338,1089	22432,0918
34	3	9,72	29,16	283,4352	2754,99	26778,503
37	1	12,72	12,72	161,7984	2058,0756	26178,722
сумма	100	-	0	2468,16	184,5502	153531,6643

Выборочное среднее вычисляют по формуле:

где m – число интервалов, y_i – середины интервалов.

= =

Выборочное среднее дает усредненное значение времени непрерывной работы станков для данной выборки.

Выборочную дисперсию для сгруппированных данных вычисляют по формуле:

Выборочное среднее квадратическое отклонение находят по формуле:

Оно показывает разброс выборочных значений y, относительно выборочного среднего

Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса вычисляют по формулам:

Используя суммы из последних строк шестого и седьмого столбцов таблицы 2, получим:

говорит о несимметричности полигона (гистограммы) относительно выборочного среднего. Положительный знаксвидетельствует о правосторонней асимметрии данного распределения. Отрицательностьпоказывает, что полигон менее крут, чем нормальная кривая.

Предварительно предполагаем, что СВ Y распределена нормально по совокупности следующих признаков.

Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцессаотличаются от значений асимметрии и эксцесса для нормального распределения (которые равны нулю) не более, чем на утроенные средние квадратические ошибки их определения.

Гипотезу о том, что генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, распределена по нормальному закону, назовем нулевой , тогда. Проверим ее с помощью критерия согласияПирсона. Согласно критерию Пирсона сравниваются эмпирическиеn_i (наблюдаемые) и теоретические np_i (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается СВ

По таблице критических точек распределения χ² по заданному уровню значимости и числу степеней свободы(S – число интервалов, r – число параметров предполагаемого распределения СВ Y) находится критическое значение .

Если , то считается, что данный критерий не дает оснований для отклонения гипотезы при данном уровне значимости. В противном случае считается, что гипотеза не согласуется с экспериментальными данными и ее отвергают.

Если проверятся гипотеза о нормальном распределении, то вероятности p_i рассчитываются с помощью функции Лапласа Ф(у):

где , .

Вычисления сведем в таблицу 3. Количество интервалов S = 7.

Так как предполагается нормальное распределение, имеющее 2 параметра (математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение ), поэтому, тогда число степеней свободы.

ТАБЛИЦА 3