6. Интервальное оценивание параметров

Две статистики называют доверительным интервалом значимости для параметра θ, если выполняется условие

Число называется доверительной вероятностью, а - нижней и верхней доверительными границами.

Доверительные интервалы для параметров нормального распределения:

Построим доверительные интервалы для каждого из параметров уровней значимости 0.05 и 0.01 для каждой компоненты. Уровень значимости выражает ошибку доверительного интервала.

1) Найдем доверительный интервал значимости для параметрамодели нормального распределенияпри известном

В качестве центральной статистики возьмем . Известно, что. Поэтому

Зная, что, разрешим относительно.

Получаем доверительный интервал

Значения дляинайдем по таблице:

После подстановки и подсчета получаем

Для компоненты ξ:

Для компоненты η:

2) Найдем доверительный интервал значимости для параметрамодели нормального распределенияпри неизвестном.

Получаем доверительный интервал

Зная, из таблицы, что для и

После подстановки и подсчета получаем

Для компоненты ξ:

Для компоненты η:

3) Найдем доверительный интервал значимости для параметрамодели нормального распределенияпри неизвестном

В качестве центральной статистики возьмем . Известно, что

. Поэтому

Зная, что, разрешим относительно.

Получаем доверительный интервал

Значения дляинайдем по таблице:

После подстановки и подсчета получаем

Для компоненты ξ:

Для компоненты η:

4) Найдем доверительный интервал значимости для параметрамодели нормального распределенияпри известном.

Получаем доверительный интервал

Зная, из таблицы, что для и

После подстановки и подсчета получаем

Для компоненты ξ:

Для компоненты η:

7.Проверка гипотез

Проверка гипотезы о параметрах

1. Для компоненты ξ

Статистика: .

т.е. z не попадает в критическую область, то с уровнем значимости

нулевая гипотеза не отвергается.

Данная выборка может быть взятой из совокупности с математическим ожиданием 8.4.

Статистика: .

т.е. z не попадает в критическую область, то с уровнем значимости

нулевая гипотеза не отвергается.

Данная выборка может быть взятой из совокупности с дисперсией 9.

2. Для компоненты η

Статистика: .

т.е. z не попадает в критическую область, то с уровнем значимости

нулевая гипотеза не отвергается.

Данная выборка может быть взятой из совокупности с математическим ожиданием 10.4.

Статистика: .

т.е. z не попадает в критическую область, то с уровнем значимости

нулевая гипотеза не отвергается.

Данная выборка может быть взятой из совокупности с дисперсией 1.

Замечание при проверке: надо нарисовать – на графиках схематически изобразить критические области, а то непонятно, как они выбраны.

Проверка гипотезы о виде распределения для каждой компоненты.

Статистической гипотезой называется любое утверждение о виде или свойствах распределения наблюдаемых в эксперименте случайных величин.

Правило, согласно которому проверяют гипотезу H₀ (принимают или отвергают), называется статистическим критерием проверки гипотезы Н₀

Для проверки гипотезы о виде распределения воспользуемся критерием согласия χ² Пирсона. Уровень значимости примем α = 0,05. Выдвигаются две гипотезы:

Статистика:

где k – число интервалов группировки (k = 8)

- число значений выборки, попавших в i – ый интервал

п = 130 – объем выборки

- теоретическая вероятность попадания в i – ый интервал, рассчитанное на основе предполагаемого распределения.

Известно, что r - число оцениваемых параметров

Результаты вычислений приведены в таблицах:

1. Для компоненты ξ

1.0914	-2.5964	0.0048	0.02392	3.1096	4	0.8904	0.7928	0.2550
3.0348	-1.9148	0.02872	0.08063	10.4819	10	-0.4819	0.2322	0.0222
4.9783	-1.2331	0.10935	0.18181	23.6353	24	0.3647	0.1330	0.0056
6.9217	-0.5514	0.29116	0.26001	33.8013	30	-3.8013	14.4499	0.4275
8.8652	0.1303	0.55117	0.23986	31.1818	36	4.8182	23.2151	0.7445
10.8087	0.8120	0.79103	0.14086	18.3118	18	-0.3118	0.0972	0.0053
12.7521	1.4936	0.93189	0.0531	6.9030	5	-1.9030	3.6214	0.5246
14.6956	2.1753	0.98499	0.01282	1.6666	3	1.3334	1.7780	1.0668
16.6390	2.8570	0.99781						Z=3.0515

Получили Z=3.0515;

1-α=0,95 (т.е. на уровне значимости α=0,05) и числа степеней свободы ν = k-0-1 = 7 (так как при подсчете функции распределения использовали теоретические параметры).

, т.е. критической области, т.е. гипотезаН₀ о нормальном распределении не отвергается, т.е. эмпирическая функция для ξ совпадает с нормальным N(8.4, 3)

2. Для компоненты η

8.1207	-2.5045	0.00621	0.02817	3.6621	5	1.3379	1.7900	0.4688
8.7601	-1.8202	0.03438	0.09486	12.3318	8	-4.3318	18.7645	1.5116
9.3995	-1.1358	0.12924	0.19711	25.6243	33	7.3757	54.4010	2.1130
10.0390	-0.4515	0.32635	0.2646	34.3980	34	-0.3980	0.1584	0.0046
10.6784	0.2329	0.59095	0.22764	29.5932	27	-2.5932	6.7247	0.2172
11.3178	0.9173	0.81859	0.12661	16.4593	18	1.5407	2.3738	0.1142
11.9573	1.6016	0.9452	0.0435	5.6550	1	-4.6550	21.6690	3.8218
12.5967	2.2860	0.9887	0.00981	1.2753	4	2.7247	7.4240	5.8114
13.2361	2.9704	0.99851						Z=14.0626

Получили Z=14.0626;

, т.е. критической области, т.е. гипотезаН₀ о нормальном распределении не отвергается, т.е. эмпирическая функция для η совпадает с нормальным N(10.4, 1)