24,Магнитное поле движущего заряда. Магнитный поток.

Найдем магнитную индукцию движущегося заряда. Для этого выражение (6.13) перепишем с учетом того, что , в виде

, (6.14)

где , (6.15)

Рис. 6.3

В формуле (6.15) , где с- скорость света в вакууме (электродинамическая постоянная). Следовательно, при равномерном движении электрического заряда Q вокруг него возникает магнитное поле, индукция которого определяется по формуле (6.15).При скоростях движения заряда v  c в среде (  1) формула индукции магнитного поля (3.15) записывается в виде

(6.16)

или

. (6.17)

Рис. 6.4

При

. (6.18)

Направление вектора магнитной индукции движущегося заряда определяется правилом правого винта (рис. 4.3). Графически магнитное поле изображают с помощью силовых линий.

Силовой линией называют кривую, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора индукции магнитного поля.

Силовые линии магнитного поля движущегося заряда представляют собой концентрические окружности (рис. 6.4).

Густота силовых линий прямо пропорциональна модулю вектора индукции. Если в неоднородное магнитное поле поместить площадку dS, в пределах которой магнитное поле считается однородн ым, то силовые линии пронизывают ее. В этом случае площадку dS пронизывает магнитный поток (рис. 6.5): (6.19)

Рис. 6.5

или . (6.20)

Полный магнитный поток сквозь произвольную поверхность найдем интегрированием (6.19):

. (6.21)

Если магнитное поле однородно, то магнитный поток

Ф_m= ВScos. (6.22)

При  = 90^о Ф_m= 0. В этом случае силовые линии магнитного поля скользят вдоль поверхности, не пересекая ее. При  = 0^о магнитный поток максимален, Ф_m = ВS. В СИ магнитный поток измеряется в веберах (Вб).

Рис. 6.6

Магнитный поток пронизывающий произвольную замкнутую поверхность, равен нулю (теорема Гаусса для вектора ).

силовые линии не пересекают цилиндрическую поверхность, поэтому магнитный поток сквозь ее, равен нулю, т. е. = 0. (6.23)

Для расширения возможности применения теоремы Гаусса для вектора формулу (6.24) записывают в дифференциальной форме:

div= 0 или = 0,

25,Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Теорема о циркуляции вектора В (векторная и дифференциальная форма).

Циркуляцией вектора индукции магнитного поля (циркуляцией вектора ) называют криволинейный интеграл по произвольному контуруL скалярного произведения вектора индукции и вектора элемента этого контура, т. е.

, (6.25)

где  проекция на.

Циркуляция по произвольному контуруL в вакууме равна произведению магнитной постоянной ₀ на алгебраическую сумму токов, охваченных этим контуром.

Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта, а ток противоположного направления  отрицательным (рис. 6.7, где I₁ > 0, I₃ > 0, I₂ < 0, I₄ < 0).

Рис.6.7.

Рассмотрим магнитное поле прямого проводника с током бесконечной длины (рис. 6.8, ток направлен к нам). В качестве замкнутой поверхности используем окружность L радиуса r. Вектор индукции магнитного поля перпендикулярен радиус-векторуи совпадает по направлению с вектором элемента длины.

Рис. 6.8

Согласно определению циркуляции вектора имеем

, (cos =1).

Применив формулу индукции прямого проводника с током бесконечной длины, последнее равенство перепишем в виде

. (6.26)

Теорема остается справедливой и для контура произвольной формы, который охватывает N проводников с током, т. е.

. (6.27)

Формулу (6.27) называют законом полного тока.

Если ток распределен по объему, где расположен контур L, то

.

Интеграл берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур L.

Поэтому плотность тока под интегралом соответствует точке, где расположена площадка (направление обхода и вектор нормалисвязаны правилом правого винта). С учетом этого теорему о циркуляции запишем в виде

. (6.28)

Замечание 1: Магнитное поле называют вихревым, или соленоидальным, поскольку циркуляция вектора не равна нулю (в отличие от электростатического поля, которое является потенциальным).

Замечание 2: Поле вектора определяется всеми токами, а циркуляция вектора только теми токами, которые охватывает данный контур.

Рассмотрим отношение циркуляции вектора к площадкеS, натянутой на контур L. Ориентация этого контура связана с вектором нормалик плоскости контура правилом правого винта. В пределе приS  0, имеем

. (6.29)

Формулу (6.29) называют ротором поля .

где  векторный дифференциальный оператор.

Следовательно,

. (6.32)

Ротор поля совпадает по направлению с вектором плотности токав данной точке. Формула (6.32)  дифференциальная форма теоремы о циркуляции . Дифференциальная форма теоремы о циркуляциирасширяет ее возможности для исследования и расчета сложных магнитных полей.