1.4.2. Многоканальные пуассоновские смо

СМО с ограниченной очередью (N>0)

Размеченный граф данного класса СМО представлен на рис. 1.11.

Рис. 1.11. Размеченный граф многоканальной СМО с ограниченной очередью

Составим систему уравнений для определения предельных вероятностей состояний:

, где

.

Введем обозначение, тогда

, и

.

Учитывая условие, что сумма всех вероятностей равна единице, т.е. , получим:

. (1.31)

Определим среднее число заявок в очереди:

, где ;

. (1.32)

Введем в рассмотрение функцию:

;

. (1.33)

Подставим (1.33) в (1.32):

. (1.34)

Вероятность отказа в обслуживании равна:

.

Эффективный поток заявок:

.

Используя формулы Литтла, получим среднее время ожидания заявок в очереди:

.

Время в СМО отличается от на время обслуживания:

.

Наконец среднее число заявок в системе равно:

.

Частный случай .

Система уравнений для определения примет вид:

Определим :

;

.

Средняя длина очереди равна:

.

Учитывая, что , получим:

.

СМО без очереди (N=0)

Рис. 1.12. Размеченный граф многоканальной СМО без очереди

Используя (1.31) при , получим:

.

Вероятность отказа в обслуживании равна:

.

Следовательно,

.

Предельные вероятности состояний равны:

.

Так как очередь отсутствует, среднее время нахождения заявок в СМО равно:

. (1.35)

Среднее число заявок в СМО равно:

(1.36)

СМО с неограниченной очередью (N→∞)

Рис. 1.13. Размеченный граф многоканальной СМО с неограниченной очередью

Для определения характеристик данной СМО воспользуемся формулами для СМО с ограниченной очередью при :

;

(1.37)

(1.38)

Чтобы существовал установившийся процесс в СМО, необходимо выполнение условия

.

1.5. Пуассоновские сети смо

Cети СМО представляют собой множество СМО (узлы сети), при этом заявки обслуживаются в нескольких узлах. Последовательность прохождения заявок в сети определяется вероятностями перехода заявок от одного узла к другому.

Рис. 1.20. Топология сети СМО

Будем рассматривать пуассоновские сети СМО, т.е. из источника поступает пуассоновский поток заявок, а время обслуживания в каждом узле распределено по экспоненциальному закону:

.

СМО в каждом узле – одноканальная с бесконечной очередью. Для этого класса СМО выходной поток является пуассоновским (см. п.1.3.1).

Учитывая свойства и операции с пуассоновскими потоками (суперпозиция потоков и их случайное просеивание), можно сделать вывод, что входной поток в СМО в каждом узле является пуассоновским.

Анализ сетей СМО заключается в расчете потоков заявок в каждом узле. После чего рассчитываются характеристики СМО в каждом узле , а затем характеристики сети СМО в целом:.

1.5.1. Ациклические сети смо

В ациклических сетях каждая заявка может посетить узел не более одного раза (заявка может посетить узел или нет). Это условие означает, что матрица переходов будет иметь следующий вид:

.

Рассчитаем величины входных потоков в каждый узел (нагрузку на СМО):

Характеристики каждого узла рассчитываются как для одноканальной СМО:

,

где – вероятность посещения произвольной заявки СМО.

Среднее время ожидания заявок в очередях сети определяется также как среднее время пребывания в сети:

.

Рассмотрим случай, когда имеется в сети не один, а несколько источников с входными пуассоновскими потоками . В этом случае должны быть также заданы матрицы вероятностей переходов между узлами для каждого из входных потоков.

Тогда нагрузка на узел из всех источников будет определяться по формуле:

,

где – поток заявок вi - узел, поступающий из k - источника, который рассчитывается на основании и.

Рассчитав и зная, можно определить характеристики СМО(каждого узла).

Расчет характеристик сети относительно каждого источника ведется по следующим формулам:

;

, где ;

;

.

Для определения ипо всем источникам вместеисуммируется, а время пребывания произвольной заявки в сети рассматривается по формуле:

, где .

Аналогично рассчитывается среднее время ожидания заявок во всех очередях сети:

.