27.Понятие вычета голоморфной функции относительно изолированной особой точки. Приёмы вычисления вычетов.

Пусть голом. в обл. G ф-ияf имеет изолир. особую т. , конечн. или бесконечн. Тогдатакое, что вф-ияf голоморфна. Возьмем в окр.некот. односвяз. обл.G и ограничим спрямляемой замкнут. жорд. кривой. не зависит(граница областиG, ориентир. так, что при движ. по ней, обл. ост.слева).

Опред.1 Значение инт-ла (1) наз. вычетом ф-ии f в т. и обозн.. При нахождении вычета можно считать, чтоокр-ть с центром в т.и радиусом, еслии окр-ть, если. Пусть. Разложим ф.f в в в ряд Лорана:и проинтегр. поВ силу равномерной сх-ти ряда внутриинт-ие ряда поможно выполнить почленно. ПолучимПусть, тогда в нек. окр-ти. ф.f разл. в ряд Лорана . Его почлен. интегр. по крив.. Итак, вычет ф. в клнечн. изолир. т.z равен коэфф. прив ряде Лорана этой ф-ии; если же, взятому с противоп. знаком коэфф.при.

Утв. Пусть ,m-кратность полюса ф. f, тогда . В частности, если-простой полюс, то.

Замеч. ,,голоморфные ф. в т.,,, тогда

28. Теоремы Коши о вычетах

Теор.1 Пусть f(z)-ф-ия, голоморфная во всякой т. обл. G, кроме конечного числа особых точек z1,…zn, пусть также Г – спрямл. замкн. контур, содерж. внутри себя точки z1,…zn и целиком лежащ. в обл. G

Док-во: опишем из т. z1,…zn как в центрах окруж. наст. малыми, чтобы они попарно не пересек. и целиком лежали внутри Г, тогда f(z) будет голоморф. в каждой т. замкнут. обл., огранич. сложн. контуром …. По теор. Коши

Теор.2 Пусть ф. f(z) голоморфна в пл. , за исключением конечного числа особых точекz1,…zn, тогда сумма ее вычетов во всех точках z1,…zn и вычета в бескон-ти равна нулю.

Док-во: При дост. большом все т.z1,…zn лежат внутри окр-ти . По теор.1, с другой стороны, этот же интеграл равен. В итоге

29. Интеграл от логарифмической производной. Принцип аргумента.

Теор.1 В дополнение к условиям теор. Коши предположим, что ф. f не принимает нулевое значение на Г, и каждая т. z1,…zn – полюс ф-ии ,тогда гдеN-число нулей, P-число полюсов ф. f, лежащих внутри Г, при этом кажд. нуль и кажд. полюс считается столько раз, сколько его кратность.

Опр. Отношение наз-ся логарифмич-ой произв-ой ф-ииf, логарифмическим вычетом ф.f в т. логар. вычетом ф.f относ-но контура Г. Лог. вычет имеет простой смысл, чтобы его раскрыть, перепишем инт-л в виде. Отметим на кривой Г произв. в т., которую будем считать за нач. и конеч. т. пути интегрирования.будет непр. меняться и после обхода всей кривой, его значение в т.будет отличаться от исх. значений той же т.При одном и том же зн-иизначениемогут различ-ся лишь благодаря разным знач-ям, припис-ымдо и после обхода. Обозначая исходное значение аргумента через, найдем. Отсюда и из теор.1:

Теор.2(принцип аргумента) Разность м/у кол-вом нулей и полюсов ф. f(z), заключ-ых внутри замкнут. кривой Г, равна изменению аргумента при обходе т.z контура Г по полож. направл-ию, деленному на

Следствие Если f(z) не имеет полюсов внутри Г, то кол-во нулей ф. f(z), заключ. внутри замк. кривой Г, равно числу полных оборотов вект. f(z) вокруг начала корд. при однократном обходе т. z контура в полож. направл-ии.