27.Понятие вычета голоморфной функции относительно изолированной особой точки. Приёмы вычисления вычетов.

Пусть голом. в обл. Gф-ияfимеет изолир. особую т., конечн. или бесконечн. Тогдатакое, что вф-ияfголоморфна. Возьмем в окр.некот. односвяз. обл.Gи ограничим спрямляемой замкнут. жорд. кривой.не зависит(граница областиG, ориентир. так, что при движ. по ней, обл. ост.слева).

Опред.1 Значение инт-ла (1) наз. вычетом ф-ииfв т.и обозн.. При нахождении вычета можно считать, чтоокр-ть с центром в т.и радиусом, еслии окр-ть, если. Пусть. Разложим ф.fв вв ряд Лорана:и проинтегр. поВ силу равномерной сх-ти ряда внутриинт-ие ряда поможно выполнить почленно. ПолучимПусть, тогда в нек. окр-ти. ф.fразл. в ряд Лорана. Его почлен. интегр. по крив.. Итак, вычет ф. в клнечн. изолир. т.zравен коэфф.прив ряде Лорана этой ф-ии; если же, взятому с противоп. знаком коэфф.при.

Утв. Пусть,m-кратность полюса ф.f, тогда. В частности, если-простой полюс, то.

Замеч.,,голоморфные ф. в т.,,, тогда

28. Теоремы Коши о вычетах

Теор.1Пустьf(z)-ф-ия, голоморфная во всякой т. обл.G, кроме конечного числа особых точекz1,…zn, пусть также Г – спрямл. замкн. контур, содерж. внутри себя точкиz1,…znи целиком лежащ. в обл.G

Док-во: опишем из т.z1,…znкак в центрах окруж. наст. малыми, чтобы они попарно не пересек. и целиком лежали внутри Г, тогдаf(z) будет голоморф. в каждой т. замкнут. обл., огранич. сложн. контуром…. По теор. Коши

Теор.2 Пусть ф.f(z) голоморфна в пл., за исключением конечного числа особых точекz1,…zn, тогда сумма ее вычетов во всех точкахz1,…znи вычета в бескон-ти равна нулю.

Док-во:При дост. большомвсе т.z1,…znлежат внутри окр-ти. По теор.1, с другой стороны, этот же интеграл равен. В итоге

29. Интеграл от логарифмической производной. Принцип аргумента.

Теор.1В дополнение к условиям теор. Коши предположим, что ф.fне принимает нулевое значение на Г, и каждая т.z1,…zn– полюс ф-ии ,тогдагдеN-число нулей,P-число полюсов ф.f, лежащих внутри Г, при этом кажд. нуль и кажд. полюс считается столько раз, сколько его кратность.

Опр. Отношениеназ-ся логарифмич-ой произв-ой ф-ииf,логарифмическим вычетом ф.fв т.логар. вычетом ф.fотнос-но контура Г. Лог. вычет имеет простой смысл, чтобы его раскрыть, перепишем инт-л в виде. Отметим на кривой Г произв. в т., которую будем считать за нач. и конеч. т. пути интегрирования.будет непр. меняться и после обхода всей кривой, его значение в т.будет отличаться от исх. значений той же т.При одном и том же зн-иизначениемогут различ-ся лишь благодаря разным знач-ям, припис-ымдо и после обхода. Обозначая исходное значение аргумента через, найдем. Отсюда и из теор.1:

Теор.2(принцип аргумента) Разность м/у кол-вом нулей и полюсов ф.f(z), заключ-ых внутри замкнут. кривой Г, равна изменению аргументапри обходе т.zконтура Г по полож. направл-ию, деленному на

Следствие Еслиf(z) не имеет полюсов внутри Г, то кол-во нулей ф.f(z), заключ. внутри замк. кривой Г, равно числу полных оборотов вект.f(z) вокруг начала корд. при однократном обходе т.zконтура в полож. направл-ии.