Матан. Кратные интегралы.

−1

0

0

0

0

2−x 2

∫dy

∫ fdx + ∫dy

∫ fdx.

Ответ: ∫dx ∫fdy.

−2

− 2+y

−1

− −y

−1

x 2

Задача 2 – Вычислить двойной интеграл по области D:

а) ∫∫(9x2 y2

+ 48x3 y3 )dxdy; D : x = 1, y =

x , y = -x2;

Ответ: 2.

D

б) ∫∫y 2 sin

xy

dxdy; D : x = 0, y =

π, y =

x

.

Ответ: π.

2

2

D

Задача 3 – Найти площади фигур, ограниченных данными линиями:

а) x =

36 − y 2

, x = 6 -

36 − y 2

;

Ответ: 24π−18

3 .

б) x2 - 4x + y2 =0, x2 - 8x + y2 =0, y = 0, y =

x

.

Ответ: 2π+3

3 .

3

Задача 4 – Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, μ - по-

верхностная плотность. Найти массу пластинки:

x + y

2

2

2

2

D : x

+ y

= 1, x

+ y

= 4, x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0); μ =

.

Ответ: 2.

x2 + y2

Задача 5 – Вычислить тройные интегралы по объему V:

x =

2, y = π, z

=1,

Ответ: 2.

а) ∫∫∫x2 z sin(xyz)dxdydz; V :

V

x

= 0, y = 0, z

= 0.

б) ∫∫∫

dxdydz

; V :

x

+

y

+

z

=1, x = 0, y = 0, z = 0.

Ответ: 2.

x

y

z

3

V

(1+

+

+

)

4

4

8

3

4

8

б) z =

15 x2 + y 2

, z =

17

− x2 − y 2 .

Ответ:3π.

2

2

а) x2

+ y2 = 72, 6y = -x2 (y ≤ 0);

Ответ: 12 +18π.

б) y2

- 6y + x2 =0, y2 - 8y + x2 =0, y =

x

, y = 3x .

Ответ:

7π

.

3

6

x = 0, y = −2, y = 4x,

Ответ: ch2–1.

а) ∫∫∫ y 2 ch(2xy)dxdydz; V :

V

z = 0, z = 2.

б) ∫∫∫15( y 2

+ z 2 )dxdydz; V : z = x + y, x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

Ответ:2.

V

а) x = -5y2 + 2, x = -3, z = 3x2 + y2 + 1, z = 3x2 + y2 – 5;

Ответ: 40.

б) z = 4 − x2 − y 2 , z =

x2 + y 2

.

Ответ:5π.

255

∫1

y

2−y

1

2−x 2

dy ∫ fdx + ∫2

dy ∫ fdx.

Ответ: ∫dx ∫fdy .

0

0

1

0

0

x 2

Задача 2 – Вычислить двойной интеграл по области D:

а) ∫∫(18x2 y 2

+32x3 y3 )dxdy; D : x = 1, y = x3, y = - 3

x ;

Ответ: 1.

D

б) ∫∫y2 e−

xy

dxdy; D : x = 0, y = 2, y = x.

Ответ:

8

.

4

D

e

Задача 3 – Найти площади фигур, ограниченных данными линиями:

а) x = 8 - y2, x = -2y;

Ответ: 36.

б) x2 - 2x + y2 =0, x2 - 4x + y2 =0, y = 0, y = x.

Ответ:

3π

+

3 .

4

2

μ =

2x +5y

.

Ответ: 7.

x2 + y2

Задача 5 – Вычислить тройные интегралы по объему V:

а) ∫∫∫8y 2 ze2 xyz dxdydz;

x = −1, y = 2, z =1,

Ответ: 5 – е-4.

V :

V

x = 0, y = 0, z = 0.

б) ∫∫∫(3x + 4 y)dxdydz; V : y = x, y = 0, x = 1, z = 5(x2 + y2), z = 0.

Ответ: 7.

V

а) x = 2y2 - 3, x = -7y2 + 6, z = 1+ x2 +16 y 2 , z = -3 + x2 +16 y 2

, Ответ: 48.

б) z = 64 − x2 − y 2 , z =1, z = x2 + y2 = 60 (внутри цилиндра)

Ответ:276π.

3

x

а) y =

, y = 8e , y = 3, y = 8;

Ответ: 5.

x

б) y2 - 8y + x2 =0, y2 - 10y + x2 =0, y =

x

, y =

3x .

Ответ:

3π

.

3

2

Задача 4 – Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, μ - по-

верхностная плотность. Найти массу пластинки:

2

7x2

D : x = 2, y = 0, y = 2x (y ≥

0); μ=

+ 2y.

Ответ: 8.

8

Задача 5 – Вычислить тройные интегралы по объему V:

x =1, y = 2x, y = 0,

Ответ: sh6 – 6.

а) ∫∫∫x2 sh(3xy)dxdydz; V :

V

z = 0, z = 36.

б) ∫∫∫(1 + 2x3 )dxdydz; V : y = 9x, y = 0, x = 1, z =

xy , z = 0.

Ответ: 12.

V

а) y = -6x2 + 8, y = 2, z = x - x2 - y2 - 1, z = x - x2 - y2 - 5;

Ответ: 32.

б) z =

16

− x2

− y 2

, 2z = x2 + y2.

Ответ:

76π

.

9

81

б) ∫∫y 2 cos

xy

dxdy;

D : x = 0, y =

π , y =

x

Ответ: 1.

2

D

2

2

Задача 3 – Найти площади фигур, ограниченных данными линиями:

а) y =

x

, y =

1

, x = 16;

Ответ: 21 – 2ln2.

2

2x

б) x2 - 4x + y2 =0, x2 - 8x + y2 =0, y = 0, y = x.

Ответ: 3π + 6 .

Задача 4 – Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, μ - по-

верхностная плотность. Найти массу пластинки:

D : x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 16, x = 0, y = 0 (x ≥ 0, y ≥ 0);

μ =

x + y

.

Ответ: 6.

x2 + y2

Задача 5 – Вычислить тройные интегралы по объему V:

а) ∫∫∫ y 2 z cos xyzdxdydz;

V : x =1, y = π, z = 2,

Ответ: π.

V

x = 0, y = 0, z = 0.

б) ∫∫∫(27 +54 y 3 )dxdydz; V : y = x, y = 0, x = 1, z =

xy , z = 0.

Ответ: 8.

V

а) y = 5x2 - 1, y = -3x2 + 1, z = -2 + 3x2 + y 2 , z = -5 + 3x2 + y 2 ;

Ответ: 4.

б) z = 3 x2 + y2 , z = 10 - x2 - y2.

Ответ:16π.

−∫1dy

2+y

−y

1

−x 2

∫ fdx + ∫0

dy ∫ fdx.

Ответ: ∫dx ∫fdy .

−2

0

−1

0

0

x 2 −2

Задача 2 – Вычислить двойной интеграл по области D:

а) ∫∫(18x2 y 2 +32x3 y3 )dxdy; D : x = 1, y = x3,y = -

x ;

Ответ: 1.

D

б) ∫∫4 ye2 xy dxdy; D : y = ln3, y = ln4, x =

1

, x = 1.

Ответ: 5.

2

D

Задача 3 – Найти площади фигур, ограниченных данными линиями:

а) x = 5 - y2, x = -4y;

Ответ: 36.

б) y2 - 4y + x2 =0, y2 - 6y + x2 =0, y = x, x = 0.

Ответ:

5

(π+ 2).

4

Задача 4 – Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, μ - по-

верхностная плотность. Найти массу пластинки:

2

x

7x2

D : x = 2, y = 0, y

=

(y ≥ 0); μ =

+ 6y.

Ответ: 11.

2

2

Задача 5 – Вычислить тройные интегралы по объему V:

а) ∫∫∫y 2 cos(

π xy)dxdydz; V

: x = 0, y = −1, y = x / 2,

Ответ: 4.

V

4

z = 0, z = −π2 .

б) ∫∫∫ ydxdydz; V : y = 15x, y = 0, x = 1, z = xy, z = 0.

Ответ: 225.

V

а) x = 5y2 - 9, x = - 4, z = x2 + 4x - y2 - 4, z = x2 + 4x - y2 + 2;

Ответ: 40.

б) z = 25 − x2 − y 2 , z =

x2 + y 2

.

От-

99

вет: 75π.

1

0

e

−ln y

0

e−x

∫dy

∫ fdx + ∫dy ∫ fdx.

Ответ: ∫dx ∫fdy .

0 −

y

1

−1

−1

x 2

Задача 2 – Вычислить двойной интеграл по области D:

а) ∫∫(27x2 y 2

+48x3 y3 )dxdy; D : x = 1, y =

x , y = -x3;

Ответ: 4.

D

б) ∫∫4 y 2 sin xydxdy; D : x = 0, y =

π , y = x.

Ответ: π− 2.

D

2

Задача 3 – Найти площади фигур, ограниченных данными линиями:

а) x2 + y2 = 12, -

6 y = x2 (y ≤ 0);

Ответ: 2 + 3π.

б) x2 - 2x + y2 =0, x2 - 10x + y2 =0, y = 0, y =

3 x.

Ответ: 8π+6 3 .

б) ∫∫∫

dxdydz

; V :

x

y

z

+

+

=1, x = 0, y = 0, z = 0.

Ответ: 5.

x

y

z

5

16

8

3

V (1 +

+

+

)

16

8

3

Задача 6 – Найти объемы тел, заданных ограничивающими их поверхно-

стями:

а) y = 6x2 - 1, y = 5, z = 2x2 + x - y2, z = 2x2 + x - y2 + 4;

Ответ: 32.

б) z =

100 − x 2 − y2 , z = 6, x2 + y2 = 51 (внутри цилиндра).

Ответ:132π.

−1

2−x2

0

x2

1

− y

∫

dx ∫ fdy + ∫dx ∫ fdy.

Ответ: ∫dy

∫ fdx .

− 2

0

−1

0

0

−

2−y2

Задача 2 – Вычислить двойной интеграл по области D:

а) ∫∫(4xy +3x2 y 2 )dxdy; D : x = 1, y = x2, y = - x ;

Ответ: 0.

D

б) ∫∫y cos 2xydxdy; D : y = π, y = π, x =

1

, x = 1.

Ответ: -1.

2

D

2

Задача 3 – Найти площади фигур, ограниченных данными линиями:

а) y =

12 − x2

, y = 2 3 − 12 − x2 , x = 0 (x ≥ 0);

Ответ: 4π−3 3 .

б) y2 - 6y + x2 =0, y2 - 10y + x2 =0, y = x, x = 0.

Ответ: 4π+8.

Задача 4 – Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, μ - по-

верхностная плотность. Найти массу пластинки:

D : x = 1, y = 0, y2 = 4x (y ≥ 0); μ = x + 3y2.

Ответ: 4.

Задача 5 – Вычислить тройные интегралы по объему V:

а) ∫∫∫y 2 e−xy dxdydz;

V : x = 0, y = −2, y = 4x,

Ответ:

2

.

V

z = 0, z =1.

e

б) ∫∫∫(3x2 + y 2 )dxdydz; V : z = 10y, x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

Ответ: 1.

V

а) x = 5y2 - 1, x = -3y2 + 1, z = 2 -

x2 +6 y 2 , z = -1 - x2 +6 y 2 ;

Ответ: 4.

б) z =

21

x2 + y 2

, z =

23

2

2

Ответ: 4π.

- x

- y .

2

2

− 3

0

0

0

0

− −y2−4 y

∫

dx ∫ fdy +

∫

dx ∫ fdy.

Ответ:

∫dy

∫ fdx .

−2

− 4−x2

− 3

4−x2 −2

−1

− 4−y2

Задача 2 – Вычислить двойной интеграл по области D:

а)

∫∫(12xy +9x2 y 2 )dxdy; D : x = 1, y =

x , y = -x2.;

Ответ: 2.

б)

D

dxdy;

D : x = 0, y = 2, y = x .

Ответ: 16 .

∫∫y2 e− 8

xy

D

2

e

а) y =

3

x , y =

3

, x = 9;

Ответ: 26 – 3ln3.

2

2x

б) x2 - 2x + y2 = 0, x2 - 4x + y2 = 0, y =

x

, y = 3x

Ответ: π .

3

2

б) ∫∫∫(15x +30z)dxdydz; V : z = x2 + 3y2, z = 0, y = x, y = 0, x = 1.

Ответ: 18.

V

Задача 6 – Найти объемы тел, заданных ограничивающими их поверхно-

стями:

а) x = -3y2 + 7, x = 4, z = 2 + 6x2 + y 2 , z = 3 + 6x2 + y 2 ;

Ответ: 4.

б z = 16 − x2 − y 2 , 6z = x2 + y2.

Ответ:

76

π.

3