Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

SpecFunc.pdf

Скачиваний:

137

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Глава 3.

Подробно о цилиндрических функциях

3.1. Функции Бесселя

3.1.1. Определение и взаимосвязь цилиндрических функций

Опр. 3.1.1. Уравнение

x2Z00(x) + xZ0(x) + x2 − ν2 Z(x) = 0,

x (0, 1),

(3.1.1)

называется уравнением Бесселя.

Всякое решение уравнения Бесселя называется цилиндрической функцией.

Опр. 3.1.2. Функция

∞

( 1)k

2k+ν

(3.1.2)

Jν(x) = k=0

(k +−ν + 1)k! ·

называется функцией Бесселя порядка ν. Она является решением уравнения Бесселя (3.1.1).

Есть и другие цилиндрические функции.

231

Подробно о цилиндрических функциях

Опр. 3.1.3. Функции Неймана:
	1		[Jν (x) cos(πν) − J−ν(x)] ,				ν 6 Z;
	Nν(x) =
	Nν(x) =	sin(πν)
	Nn(x) = π ∂ν			− (−1)	∂ν	ν=n ,	n Z.
		1 ∂Jν(x)			n ∂J−ν(x)
Функции Ханкеля I-го рода и II-го рода:
		Hν(1)(x) = Jν (x) + iNν(x)
		Hν(2)(x) = Jν(x) − iNν(x)
Модифицированные функции Бесселя и Ханкеля:
	Iν(x) = e− πi2 νJν(ix),				Kν (x) = eπi2 νHν(1)(ix).

(3.1.3)

(3.1.4)

(3.1.5)

(3.1.6)

(3.1.7)

Теорема 3.1.1.

Утв. Фундаментальную систему решений (ФСР) уравнения Бесселя (3.1.1) образует

каждая из пар функций:	Hν(1)(x), Hν(2)(x)
{Jν (x), Nν(x)} ,	Hν(1)(x), Hν(2)(x)
и, в случае, когда	ν 6 Z {Jν(x), J−ν(x)}
при n Z	J−n(x) = (−1)nJn

Следствие 3.1.1.

Утв. Общее решение уравнения Бесселя (3.1.1) задаётся каждой из формул

Zν(x) = c1Jν(x) + c2Nν (x) = c3Hν(1)(x) + c4Hν(2)(x), ν R.

Zν(x) = c5Jν(x) + c6J−ν(x) ν 6 Z.

3.1.2. Рекуррентные формулы для цилиндрических функций

Для функций Бесселя и Неймана имеют место следующие рекуррентные формулы1:

	Zν0 (x) = Zν−1(x) −	ν		Zν0 (x) = −Zν+1(x) +	ν		(3.1.8)
			Zν(x),			Zν (x).
		x			x
Их можно также переписать в виде:
	[xν Zν ]0 (x) = xνZν−1(x),			x−νZν 0 (x) = −x−νZν+1(x).			(3.1.9)
1
	см. [1], стр. 56, 79. Отметим, что в этой книге функции Неймана обозначаются как Yν, или, точнее

Nν(x) = Re Yν(z) . Определение Yν см. [1], стр. 76.

z=x

-232-

Функции Бесселя на промежутке (0, 1)

Если из второй формулы (3.1.8) вычесть первую, получим ещё одно соотношение:

Zν+1(x) −	2ν	Zν (x) + Zν−1(x) = 0.	(3.1.10)
	x

Для функций Бесселя и Неймана с целочисленным порядком ν = n Z верно равенство

Z−n(x) = (−1)nZn(x),

n Z.

(3.1.11)

Кроме приведённых формул, нам также понадобится соотношение, из которого частично следует утверждение теоремы 3.1.1.

Утверждение 3.1.1 (Вронскиан функций Бесселя и Неймана).

Утв.

W [Jν , Nν ] (x) =	Jν0	(x)	Nν0	(x)	= πx		(3.1.12)
	Jν	(x)	Nν	(x)		2

3.1.3. Интегральные формулы для функций Бесселя

Имеют место следующие интегральные формулы:

Интегралы Ломмеля:

αJν+1(αx)Jν(βx) − βJν(αx)Jν+1(βx) ,

tJν(αt)Jν (βt)dt =

α 6= β,

(3.1.13)

α2

−

β2

ν2

t Jν(αt) dt =

αJν0

(αx)

x2 −

Jν(αx) ,

ν > −1.

(3.1.14)

α2

Ниже в пунктах 3. и 2. доказательства теоремы 3.1.11 будут выведены более общие формулы

µkZ(µmr)Z0

µm2

µk2

rZ(µkr)Z(µmr)dr =

(µkr) −

µmZ(µkr)Z0(µmr)

;

(3.1.15)

−

kZ(µr)k2 = Z

" r2 − µ2

Z2(µr) r=a + r2

(Z0)2

(µr) r=a# .

(3.1.16)

rZ(µr)dr = 2

ν2

r=b

где Z(x) – произвольные решения уравнения Бесселя

(xZ0)0	+ x −	ν2	Z = 0.
		x

3.1.4. Поведение функций Бесселя и Неймана

Приведём для примера функции J0(x),

∞	( 1)k	x
J0(x) = k=0	(k +−0 + 1)k! ·	2
X

J1(x), J			2 (x) и J−	2 (x). Из определения 3.1.2 получаем:
			1	1
	2k+0	=	∞ (−1)k	·	x	2k	=	∞	(−1)k	x2k.
			k=0 (k!)2	·	2			k=0	[(2k)!!]2 ·
			X					X

c Д.С. Ткаченко

-233-

J−n −

1 (x) =

Подробно о цилиндрических функциях

∞	( 1)k	x	2k+1
J1(x) = k=0	(k +−1 + 1)k! ·	2
X

∞ (−1)k

(k + 1)!k!

k=0

x 2k+1

·2

= ∞ (−1)k x2k+1.

(2k + 2)!!(2k)!! ·

k=0

J1 (x) =

∞				k	·	x	2k+ 1
			(−1)			x	2
k=0 k + 21 + 1 k!						2
X
				∞ (−1)k2k+1
=		1		∞ (−1)k2k+1
	r		2πx k=0 22k(2k + 1)!!k!
				X

(2n

− 1)!!

√

n +

x2k+1 =

∞

(−1)k

x2k+1 =

πx

k=0

(2k + 1)!!(2k)!!

∞

(−1)k

x2k+1

πx

k=0

(2k + 1)!

∞

(−1)k

2k−

(2n − 1)!!

√

(x) =

n +

k − 21 + 1 k! · 2

− 2

k=0

∞

(−1)k2k

∞

(−1)k

x2k =

x2k

22k(2k

−

1)!!k! ·

−

1)!!(2k)!! ·

rπx k=0

rπx k=0 (2k

≡πx2 · sin x.

			∞ (−1)k
=	2		∞ (−1)k	x2k
r		πx k=0 (2k)! ·
			X

А применив к найденным J± 12 (x) формулы (3.1.8), получим:

2	· cos x.
≡ rπx

Jn+ 21 (x) = (−1)nr

πx

· xn+ 2

xdx

n sin x

· xn+

xdx

x .

πx

n cos x

На рисунке ниже приведены графики некоторых функций.

Заметим, что
J0(0) = 1,	J1(0) = 0.

Поэтому иногда говорят, что J0(x) есть аналог cos x, а J1(x) – аналог sin x, только sin x и cos x

– решения уравнения

Z00(x) + Z(x) = 0,

-234-

Функции Бесселя на промежутке (0, 1)

в то время как функции J0(x) и J1(x) – решения уравнений

x2Z00(x) + xZ0(x) + x2Z(x) = 0

x2Z00(x) + xZ2 0(x) + x2 − 1 Z(x) = 0.

πx · sin x, а

в окрестности нуля ведут себя

Поскольку J2 =

J− 2

πx · cos x, функции J± 2

следующим образом:

J−

2 (+0) = 0,

2 (+0) = +∞.

Известно асимпотическое поведение функций Бесселя при x → +∞:

πν

Jν(x) = r

cos

x −

−

x− 2 ,

x → +∞.

πx

То есть, не строго говоря, функции Бесселя убывают на бесконечности как c

cos(x+ω)

√x

Теорема 3.1.2 (Поведение в окрестности нуля).

∞,

ν < 0, ν 6 Z;

Утв.

(+0) =

ν < 0,

(+0) =

∞

; .

ν = 0;

ν > 0;

) , x → +0. Отсюда

Доказательство. При ν > −1 по формуле (3.1.2) функция Jν(x) = O (x

следуют соотношения

∞,

−1 < ν < 0;

Jν(+0) =

ν = 0;

ν > 0.

Из формулы (3.1.10) следует, что при

(

−

2(ν + 1)

(xν) , x → +0.

Jν =

Jν+1 − Jν+2 =

Анналогично, при ν (−3, −2)

Jν = O (xν ) , x → +0

и так далее. Поэтому, справедливо соотношение

Jν(+0) = ∞,

ν < 0,

ν 6 Z.

Соотношение Jν(+0) = 0,

ν < 0,

ν Z сразу следует из формулы (3.1.11)

J−n(x) = (−1)nJn(x),

n Z

и доказанного Jν(+0) = 0 при ν > 0.

ν R,

x → +0.

Перейдём к формуле Nν(+0) = ∞,

Пусть сначала ν 6 Z. Тогда из представления (3.1.3)

[Jν(x) cos(πν) − J−ν(x)] ,

ν 6 Z

Nν(x) =

sin(πν)

следует, что при

ν > 0

(x) = O (x−ν) ,

→

+0,

ν < 0

= Nν(x) = O (xν ) ,

x → +0.

c Д.С. Ткаченко

-235-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.06.2015511 Кб46Skhemy_Orlov.нов.doc
#
18.11.2019297 Кб105SO_UI_U3-4_TestA.doc
#
04.06.2015137 Кб62sostoyania_cheloveka_v_protsesse_truda.docx
#
01.05.202563 Кб0Sozdanie_LP_s_vysokoy_konversiey.docx
#
05.06.2015697 Кб31Speak ehglish with us.pdf
#
05.06.20152 Мб137SpecFunc.pdf
#
05.06.2015606 Кб37Spisok_opredeleny_k_ekzamenu_2014.pdf
#
04.08.201990 Кб6SPORY.docx
#
04.06.20153 Мб27Statistics.doc
#
26.09.2019275 Кб18STBDiIS шпоры1.doc
#
12.11.2019371 Кб19Studentam.Integrals.docx