Методичка_Кратные_инт

относительно области

G и функции f (x, y, z) действия,

подобные действиям

при составлении суммы (1.1), в результате получим сумму

n

xk , yk , zk vk ,

f

(1.14)

области G.

Сумма (1.14) называется интегральной суммой функции

f (x, y, z),

соответствующей данному разбиению области G на части Gk

и данному выбору

промежуточных точек Mk , k 1,..., n.

Пусть d k ― диаметр Gk , d max d k .

1 k n

Если интегральная сумма (1.14) при

d 0

(n )

имеет

предел, не

зависящий от способа дробления области

G на

части Gk

и выбора точек

f (x, y, z) dx dy dz,

(1.15)

G

а функция f (x, y, z) называется интегрируемой в области G .

Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области

G функция

f (x, y, z) интегрируема в ней.

т.д.

Если в области G функция f (x, y, z) 1,

то тройной интеграл (1.15) равен

объему области G, т. е.

V (G) dxdydz.

(1.16)

G

13

Mxy z (x, y, z)dxdydz, Mxz

y (x, y, z)dxdydz,

G

G

M yz

x (x, y, z)dxdydz,

(1.17)

G

где (x, y, z) ― плотность распределения вещества;

б) координаты центра масс тела:

x

M yz

, y

M

xz

, z

Mxy

,

(1.18)

c

c

c

m

m

m

Ixy z 2 (x, y, z)dxdydz,

Ixz y 2 (x, y, z)dxdydz,

G

G

I yz x 2 (x, y, z)dxdydz,

(1.19)

G

Ix Ixy Ixz ,

I y Ixy I yz ,

Iz Ixz Ixz ,

I0 Ixy Ixz I yz .

двумерной областью. Так, например, область G,

ограниченная снизу и сверху

непрерывными поверхностями z z1 (x, y) и

z z2 (x, y), ― стандартная

относительно оси Oz (рисунок 1.9).

z2

(x,y)

f (x, y, z)dxdydz dxdy

f (x, y, z)dz.

G

D

z1 (x,y)

Здесь внутренний

интеграл берется

по z при фиксированных, но

линиями y y1 (x),

y y2 (x),

x a,

x b ,

то, переходя от двойного

интеграла F(x, y)dxdy к повторному, получаем формулу

D

b

y

(x) z

(x,y)

f (x, y, z)dxdydz dx

2 dy

2 f (x, y, z)dz.

(1.20)

G

a

y1 (x) z1 (x,y)

соотношениями

x x(u, v, w),

y y(u, v, w),

z z(u, v, w),

(1.21)

которые однозначно разрешимы относительно u, v, w :

u u(x, y, z),

v v(x, y, z)

w w(x, y, z) .

(1.22)

Обозначим через G область в пространстве Ouvw, в которую отобра-

жается область G пространства Oxyz с помощью формул (1.22).

Если функции (1.21) имеют в области

G непрерывные частные произ-

водные первого порядка и якобиан преобразования

x

x

x

u

v

w

J (u, v, w)

y

y

y

0

v

w

u

z

z

z

u

v

w

f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))

J u, v, w

dudvdw.

(1.23)

G

Цилиндрические координаты r, , z связаны с прямоугольными

координатами x, y, z соотношениями:

x r cos ,

y r sin ,

z z,

(1.24)

где r 0,

0 2 ,

z (рисунок 1.10).

Рисунок 1.10

Рисунок 1.11

При переходе от прямоугольных координат x, y, z к цилиндрическим

координатам r, , z по формулам

(1.24)

J(r, , z)

r, поэтому формула (1.23)

принимает вид

f (x, y, z)dxdydz f (r cos , r sin , z)rdrd dz.

G

G

Если точка

M в пространстве имеет прямоугольные координаты x, y, z , то

сферическими координатами точки

M называют тройку чисел (r, , ) , где r ―

расстояние от точки M до начала координат O , ― угол между лучом

OM

( M ― проекция точки M на плоскость xOy ) и осью

Ox , ― угол между

положительным направлением оси Oz и лучом OM (рисунок 1.11).

Связь между прямоугольными и сферическими координатами определяется

соотношениями

x r cos sin ,

y r sin sin ,

z r cos ,

где

r 0,

0 2 ,

0 . При

этом

J (r, , )

r 2 sin , и формула

(1.23)

x ar cos sin ,

y br sin sin ,

z cr cos ,

где r 0,

0 2 ,

0 ,

a 0, b 0,

c 0.

Для обобщенных сферических координат

J (r, , )

abcr 2 sin и формула

1.2.3 Примеры решения задач

Задача 1. Вычислить интеграл ((x y) 2

z)dxdydz, если область G

G

можно записать в

виде

z 1

x 2 y 2 , а саму

область

G

представить

(x, y, z):(x, y) D,0 z 1

,

следующим образом

G

x 2 y 2

где

D ― круг

цилиндрическим координатам (r, , z):

x r cos ,

y r sin ,

z z, где

0 2 ,

0 r 1,

0 z 1 r.

r 2 (1 sin 2 ) z,

якобиан

перехода к

цилиндрическим координатам равен r.

Поэтому ((x y) 2 z)dxdydz

G

(r 2 (1 sin 2 ) z)rdrd dz

G

Рисунок 1.12

2

1

1 r

d dr

(r 2 (1 sin 2 ) z)rdz

0

0

0

2

1

1

2

1

1

d (r

3

2

(1 r)(1 sin 2 )

r(1

r)

)dr

(1

sin 2 )

d

.

0

0

2

0

20

24

60

Задача

2.

Вычислить

массу

тела,

ограниченного

поверхностью

9x 2 2y 2 18z 2

18

и

имеющего

в

каждой

точке

плотность

(x, y, z) (x 2 y 2 )

x 2 / 2 y 2 / 9 z 2 .

Решение. Поверхность, ограничивающая тело, является эллипсоидом, его

каноническое уравнение x 2 / 2 y 2

/ 9 z 2

1, полуоси a

b 3,

c 1.

2,

Согласно физическому смыслу тройного интеграла, масса тела,

занимающего область G , m (x 2 y 2 )

x 2

/ 2 y 2

/ 9 z 2 dxdydz. Перейдем к

G

обобщенным

сферическим

координатам

x

2r cos sin ,

y 3r sin sin ,

z r cos ,

следовательно,

уравнение

эллипсоида имеет вид r 1. Поэтому для области G координата r

изменяется от

0 до 1, угол ― от 0 до , а угол ― от 0 до

2 . Следовательно,

r 2 sin 2

(2 cos2 9 sin 2 )r r 2 sin drd d

m 3

2

G

2

1

22

2

3

2

d (2 cos2

9 sin 2

) d (1 cos2

) sin r 5 dr

.

3

0

0

0

Mk (xk , yk ),

k 1,..., n и составим интегральную сумму

n

f (xk , yk ) lk ,

(2.1)

k 1

где lk

― длина k -й частичной дуги Lk .

Пусть l max lk . Если существует предел интегральной суммы (2.1) при

1 k n

l 0

(n ), не зависящей от способа дробления кривой L на части Lk

и от

выбора

промежуточных

точек Mk (xk , yk ), то

этот предел

называется

криволинейным интегралом 1-го рода от функции

f (x, y) по

кривой

L и

обозначается

f (x, y)dl,

L

n

т.е.

f (x, y)dl lim f (xk , yk ) lk .

(2.2)

l 0

L

(n ) k 1

Из определения криволинейного интеграла следует, что его величина не

зависит от того, в каком направлении обходят кривую L.

Кривая

L может

быть замкнутой, в этом

случае для

обозначения

криволинейного интеграла употребляют символ .

L

L

образована перемещением перпендикуляра к плоскости

xOy,

по кривой L и

имеющего переменную длину f ( M) f (x, y) (рисунок 2.1).

Если кривая L - материальная,

т.е. вдоль кривой распределена с плотностью

(x, y) некоторая масса m, то m (x, y)dl.

L

С помощью

криволинейных интегралов

первого рода можно, как это делалось в

случае двойных и тройных интегралов,

находить

моменты

инерции

материальной

кривой относительно координатных осей,

Рисунок 2.1

координаты центра масс кривой и т.д.

Если кривая L задана параметрически: x x(t),

y y(t),

t , то

f (x, y)dl f (x(t),y(t))

2

2

dt;.

(2.3)

(x (t))

( y (t))

L

если кривая L задана уравнением y y(x),

a x b,

то

b

2

f (x, y)dl f (x, y(x)) 1

dx;

(2.4)

( y (x))

L

a

если

кривая

L

задана

уравнением

в

полярных

координатах

r r( ),

1 2 , то

2

2

2

f (x, y)dl f (r cos , r sin )

r

( )

d .

(2.5)

(r ( ))

L

1

21

функции

трех

переменных

f (x, y, z),

заданной

в

точках пространственной

кривой. Вычисление такого интеграла по кривой

L ,

заданной параметрически

x x(t),

y y(t),

z z(t),

t ,

производится по формуле

f (x, y, z)dl f (x(t), y(t), z(t)) (x (t)) 2 (y (t)) 2 (z (t)) 2 dt .

(2.6)

L

2.2 Примеры решения задач

Задача 1.

Вычислить

xydl, где

L ― часть эллипса x 2 / a 2 y 2

/ b2 1,

L

лежащая в квадранте.

Решение.

Параметрическое

задание

эллипса

имеет

вид

x a cos t,

y b sin t.

Поскольку рассматривается часть эллипса,

лежащая в

квадранте, то 0 t

. Поэтому,

т.к. x (t) a sin t,

y (t) b cos t, то применяя

2

формулу (2.3), получим

/2

xydl ab cos t sin t

a 2 sin 2 t b 2 cos2 tdt

L

0

/2

ab

a

2

b

2

sin 2t

(1 cos 2t)

(1 cos 2t)dt

2

0

2

2

ab /2

ab(a 2 ab b 2 )

(a 2

b 2 ) (b 2

a 2 ) cos 2td cos 2t

.

4 2 0

3(a b)

Задача 2. Вычислить

x 2 y 2 dl, где L ― кривая, заданная уравнением

L