Методичка_Кратные_инт

2.

x 2 y 2 R2 ,

y 0,

y x tg ,

y 0.

3. L : x 2 z 2 y 2 ,

H : y 2 2 px.

4. az a 2 x 2 y 2 ,

x 0,

y 0,

z 0.

5.

x2 y 2 z 2 a 2 ,

x2 y 2 z 2 4a 2 ,

k /

x2 y 2 z 2 .

6.

Найти статический момент относительно оси Ox дуги кривой

L : y 2

4

x3 от M1 (3;2

/ 3) , если ее плотность

1

.

3) до M 2 (8;32

2

9

x

7.

Найти массу полусферы

z

1 x 2

y 2 , если поверхностная плотность в

каждой точке x 2 y 2 .

2.

y 2 4x 4,

y 2 2x 4.

3. L : x 2 y 2 2ax,

H : z 2 a(2a x).

4.

x 2 y 2 z 2 4,

x 2 y 2 3z,

z 0.

5.

(x2 y 2 ) / R2

z 2

/ h2 , z h (h 0);

z.

6.

Вычислить момент инерции относительно начала координат четверти

окружности,

x R cost,

y R sin t, расположенной в первом квадранте, если

плотность распределения массы xy.

7.

Найти площадь части

поверхности сферы x 2 y 2 z 2

3a2 ,

заключенной

внутри параболоида x 2 y 2

2az.

Вариант № 13

3 y2 / c2

c 2

1.

dy

f (x, y)dx.

0

y2 / 2c2

2. b2 x 2 a 2 y 2 a 2b2 ,

x 0,

y 0.

3. L : x 2 y 2 z 2 2a 2 ,

H : x 2 y 2 z 2.

4. z x 2 y 2 ,

z x y.

5.

z 4 y 2 ,

z y 2 2,

x 1,

x 2;

1.

6.

Вычислить

длину

цепной

линии

y

a

ex a e x a

между

точками с

2

абсциссами x 0,

x a.

7.

Найти массу цилиндрической поверхности x 2 y 2 R2 ,

заключенной между

плоскостями

z 0,

z H,

если в каждой ее точке поверхностная плотность

обратно пропорциональна квадрату расстояния ее до начала координат.

Вариант № 14

1

1 y2

1.

dy

f (x, y)dx.

1

y2 1

2.

y 2x x 2 ,

y 0.

3. L : x2 y 2 2z,

H : x 2 y 2 2 x 2 y 2 .

4.

x 2 y 2

z 2

4Rz 3R2 ,

z 2 4 x 2

y 2 , содержащего точку T(0;0;2R).

34

5.

x 0,

y 0;

z 0,

y 6,

x z a,

kx.

6. Найти

массу

развертки окружности

x a cos t t sin t ,

y a sint t cost ,

внутри цилиндра x 2 y 2

27.

Вариант № 15

2 2x 3

1. dx

f (x, y)dy.

0

2x

2.

y 2 4ax 2 4a 2 ,

y 2a x,

x 0.

3. L : x 2 a y 2 b 2z,

H : x 2 a 2 y 2 b2 c 2 .

4.

x 2 y 2 z 2 1,

z 2 x 2 y 2 .

5.

x 0,

y 0,

z 1,

z 3,

2x y 3,

z.

6.

Найти массу кардиоиды

x a 2 cost cos2t ,

y a 2 sin t sin 2t ,

0 t 2 ,

если плотность распределения массы в каждой точке равна ординате этой

точки.

7.

Найти площадь части поверхности y 2 z 2 4x, ограниченную плоскостью

x 3.

Вариант № 16

1

e y

1. dy f (x, y)dx.

0

e y

2.

y 4 x 2 ,

y 0.

3. L : x2 y2 z 2 a2 ,

H : x 2 a 2 y 2 b2 1 (b a).

35

4. z x 2 y 2 ,

z 2 x y.

5.

z 2 x 2

y 2 ,

z h

(h 0, z 0);

z 2 .

6.

Найти

статический

момент

относительно

оси Oy

дуги эллипса

x 2 a 2 y 2

b2 1

от

M1 (a;0)

до

M 2 (0; b), если ее плотность y.

7.

Найти площадь части поверхности параболоида

1 z x 2

y 2 , отсекаемой

плоскостью

z 0

(z 0) .

2

y

1. dy f (x, y)dx.

1

ln y

2. ay x 2 ,

y 2,

(a 0).

3. L : 2 y x 2 z 2 ,

H : x 2 z 2 1.

4.

x 2 y 2 z 2 a 2 ,

z 2 x 2 y 2

(z 0).

5. 2x y z 4 0,

x 0

z 0,

y 0,

y.

6.

Найти длину астроиды x a cos3 t,

y a sin3 t,

0 t 2 .

7.

Найти

массу

поверхности

треугольника

ABC

с вершинами

A(1;0;0), B(0;1;0),C(0;0;2), если поверхностная плотность в каждой точке xz.

Вариант № 18

1

2 x2

1. dx

f (x, y)dy.

0

x

2.

y sin x,

y 0,

x / 4.

3. L : y 2 x 2 z 2 ,

H : x 2 y 2 2z.

4.

x 2 y 2 z 2 R2 ,

x 2 y 2 R(R 2z).

36

5. x 2 y 2 1,

x 2 y 2 2z,

x 0,

y 0,

z 0,

10x.

6. Найти

статические моменты относительно осей

координат

дуги астроиды

x a cos3 t,

y a sin3 t, расположенной в первом квадранте,

если плотность

распределения массы в каждой точке xy.

7. Найти

массу части поверхности параболоида

4x y 2 z 2 ,

ограниченной

плоскостью

x 4, если поверхностная

плотность в каждой

точке равна

квадрату расстояния этой точки до оси Ox.

1 1/ y

2.

y 2 4x 4,

y 2 2x 4.

3. L : x 2 y 2 z 2 R 2 ,

H : y 2 z 2 Rz.

4. z x 2 y 2 ,

z 2(x 2 y 2 ),

y x,

y 2 x.

5.

x 2 / a 2 y 2 / b2 z 2

/ c2 2,

x 2 /

a 2 y 2 / b2

z 2 / c2 0,

(z 0),

1.

6. Найти массу

части

окружности

x 2 y 2 a 2 , расположенной в

первом

квадранте, если плотность распределения массы в каждой точке кривой равна

квадрату ординаты этой точки.

7. Найти площадь части поверхности цилиндра

x 2 y 2 Rx,

расположенной

внутри сферы x 2 y 2

z 2 R 2 .

Вариант № 20

2

2

1. dx

f (x, y)dx.

0

2 x x2

2. xy a 2 ,

y 2 8ax,

x 2a

(a 0).

3. L :x 2 y 2 ax,

H :x 2 y 2 z 2 a 2 .

37

4. az x 2 y 2 ,

z

x 2 y 2 ,

(a 0).

5.

x 2 / a 2 y 2 / b2 z 2 / c2 1,

z 0,

z.

6. Найти

статический

момент

относительно оси Ox дуги

параболы

y 2 2x от M1 (0;0)

до M 2 (1; 2).

7. Найти

массу

параболической

оболочки x 2 y 2

2z,

0 z 1,

плотность

a

a2 x2

1. dx

f (x, y)dy.

0

(a2 x2 )/2a

2.

y 2 x,

x 2 y.

3. L : x 2 y 2 2ax,

H : x 2 y 2 z 2 ,

z 0.

4.

x 2 y 2 hz,

z h.

5.

x 2 y 2 z2 R2 ;

z 0,

x 2 y 2 .

6. Найти массу отрезка прямой y x / 2 2 от

M1 (0; 2) до M 2 (4;0), если ее

плотность

1

.

Вариант № 22

2 /2

cos x

1.

dx f (x, y)dy.

0

sin x

2.

x 2 / 25 y 2 / 9 1,

x / 5 y / 3 1.

38

3. L : y 2 4x,

H : x 2 y 2 z 2 5x.

4.

x 6 z 2 y 2 ,

x 2 y 2 z 2 .

5.

y 2 z2 2ax;

y 2 z 2 2az,

x 0;

(a 0);

1.

6.

Найти

координаты

центра

тяжести

однородной

дуги

астроиды

x a cos3 t,

y a sin3 t, расположенной в первом квадранте.

7.

Найти

статические

моменты

однородной

( 1) треугольной

пластинки

x y z a,

x 0,

y 0,

z 0 относительно координатных плоскостей.

Вариант № 23

a

2ax x2

1.

dx

f (x, y)dy.

a /2

0

2.

r a(1 cos ).

3. L : x 2 z 2 4,

H : x 2 y 2 4.

4.

y 2 z 2 3x,

x 2 y 2 z 2 4.

5.

x 2 z 2 y 2 ,

y z a,

z 0,

y 0,

x 0,

1.

6.

Вычислить моменты инерции относительно координатных осей первого витка

винтовой линии x a cos t,

y a sin t,

z ht / 2 .

7.

Найти массу цилиндрической поверхности x 2 y 2 R 2 ,

заключенной между

плоскостями

z 0,

z h,

если в каждой ее точке поверхностная плотность

обратно пропорциональна квадрату расстояния ее до начала координат.

Вариант № 24

2a

2a y

1.

dy

f (x, y)dx.

6a

y2 / 4a a

2. ax y 2 0;

.ax y 2 0;

y a;

a 0.

3. L : x2 y2 z 2 R2 ,

H : x2 y 2 z 2 tg 2 ,

0 / 2.

39

4.

x 2 2 y 2 2z;

z 2.

5.

x 2 y 2 z 2 Rz,

1 /

x 2 y 2 z 2 .

6. Найти

массу

кривой y x 2 от M1 (2;4)

до

M 2 (1;3), если

ее плотность

1

.

x y

7. Найти

массу

конической поверхности

z

x 2 y 2 ,

ограниченной

плоскостью z 1,

если

поверхностная плотность в каждой

точке равна

квадрату расстояния точки от начала координат.

2. y sin x, ограниченной линиями

y cos x;

x 0, не содержащей точку

4

;0 .

3. L : x2 y2 2az,

H : x 2 y 2 3a 2 ,

y 0,

x 0,

z 0.

4. z x 2 y 2 ;

z 0,

x 2.

5. x 2 y 2 z 2 x,

x 2 y 2 z 2 .

6. Найти

момент

инерции

арки циклоиды

x a(t sin t), y a(1 cost),

0 t 2 , относительно оси Ox.

7. Найти

массу

призмы,

ограниченной плоскостями x 0, z 0, y b,

z x a, если поверхностная плотность в каждой ее точке пропорциональна

абсциссе x данной точки A(x, y, z).

Вариант № 26

sin 2

4a2 cos2 y2

1.

dy

f (x, y)dx.;0 .

sin 2

2

a a2 y2

40

2.

y

1

(x a) 2 , x 2

y 2 a 2 ,

a 0.

a

3. L : z

x2 y 2 ,

H : (x 2 y 2 )2 a 2 (x 2 y 2 ).

4.

x 2 y 2 1;

x y z 3,

z 0.

5.

x 2 y 2 2z,

z 2,

x2 y 2 .

6.

Найти

массу

дуги

кривой

x a(cost t sin t),

y a(sin t t cost),

(0 t 2 ), (x, y) x 2 y 2 .

7.

Найти

центр

тяжести

части

поверхности

сферы

x 2 y 2 z 2

R 2 ,

заключенной в 1-м октанте.

Вариант № 27

2a

2ax

1.

dx

f (x, y)dy.

0

2ax x2

2.

y 2x x 2 ;

y x 3 ;

y 0.

3. L : x 2 y 2 z 2 ,

H : x 2 y 2 2ax.

4.

z 4x2 2 y 2 1;

x y 3 0,

x 0.

5. (z 1)2 x2 y 2 ,

z 0,

1 z.

6.

Найти статический момент дуги параболы y 2 2x между точками M1 1;

и

2

M 2 2;2 относительно оси Oy,

если (x, y)

1

.

y

7.

Найти

массу

поверхности

куба

0 x 1;

0 y 1;

0 z 1,

если

поверхностная плотность в точке M(x, y, z) равна xyz .

2.

y a / 2,

x a(t sin t),

y a(1 cost),

t [0;2 ].

3. L : x 2 y 2 z 2 ,

H : x 2 y 2 2ax.

4.

x 2 y 2 R2 ;

x 2 y 2 z 2 a 2 .

5.

x 2 y 2 z 2 a 2 ,

z 0,

z a.

2

2

2

6. Найти

статические

моменты

дуги астроиды

x 3 y 3

a 3

(x 0,

y 0)

относительно осей координат.

7. Найти

массу параболической

оболочки

z

1

x 2 y 2

,

0 z 1, плотность

2

которой равна z.

Вариант № 29

a

a

1. dx

f (x, y)dy.

3. L : x y z 2a ,

H : x 2 y 2 a 2 .

4. az y 2 x 2 ;

z 0,

x 2 y 2 2ax 0.

5. x 2 y 2 az;

x 2 y 2 a 2 ;

z 0.

6. Найти массу дуги параболы

y 2 2 x,

0 x / 2, если линейная плотность

параболы в текущей точке M (x; y) равна

y

.