13
F(x) = ∫M (x)dx, Ф(y) = ∫N (y)dy .
Конечное (не дифференциальное) соотношение (1.8) и является общим интегралом уравнения (1.7).
Пример. Решить уравнение ex dx + ln ydy = 0.
Очевидно, это уравнение с разделëнными переменными. Интегрируя его, получим
∫ex dx + ∫ln ydy = C.
Следовательно, общий интеграл уравнения будет ex + y(ln y −1) = C.
Дифференциальное уравнение вида
M1 (x)N1 (y)dx + M 2 (x)N2 (y)dy = 0, |
(1.9) |
в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на произведение сомножителей, каждый из которых зависит только от одной переменной, называется дифференциальным уравне-
нием с разделяющимися переменными.
Уравнение (1.9) делением обеих частей на произведение функций N1 (y)M 2 (x) ≠ 0 приводится к уравнению с разделëнны-
ми переменными |
|
|
|
||
|
M1 (x) dx + |
N2 (y)dy = 0, |
|||
|
M 2 (x) |
N1 (y) |
|||
общий интеграл которого |
|
|
|
||
∫ |
M1 (x) |
dx + |
∫ |
N2 (y) |
dy = C. |
|
|||||
|
|
||||
|
M 2 (x) |
|
N1 (y) |
||
Пример. Решить равнение (1 + y2 )xdx + (1 + x2 )ydy = 0. Разделяем переменные делением на выражение (1+ y2)(1+ x2) ≠ 0:
x |
dx + |
y |
dy = 0. |
|
1+ x2 |
1+ y2 |
|||
|
|
Интегрируем полученное уравнение с разделëнными переменн ы- ми
∫1 +xx2 dx + ∫1 +yy2 dy = C1.
Тогда
14
12ln(1+ x2)+ 12ln(1+ y2) = C1
Так как C1 - произвольная постоянная, принимая еë для упрощ е- ния полученного выражения в виде C1 = 12lnC, представим общий интеграл уравнения в виде (1 + x2 )(1 + y2 ) = C.
1.4. Однородные дифференциальные уравнения
Предварительно введем понятие однородной функции. Функция двух переменных f (x, y) называется однородной
n –го измерения, если при любом k > 0 справедливо равенство
f(kx,ky) = k n f (x, y).
Вчастности, если при изменении аргументов x и y в k раз
вид функции не меняется, то есть f (kx,ky) = f (x, y), то функция f (x, y) называется однородной нулевого измерения.
Соответственно дифференциальное уравнение первого порядка, разрешëнное относительно производной y′ = f (x, y), на-
зывается однородным, если правая часть f (x, y) есть однород-
ная функция нулевого измерения.
Если уравнение первого порядка записано в форме, содержащей дифференциалы M (x,y)dx + N (x,y)dy = 0, то оно будет
однородным, если M (x, y) и N (x, y) - однородные функции од-
ного и того же измерения.
Однородное дифференциальное уравнение подстановкой
|
|
|
|
|
|
|
t = |
y |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
приводится к уравнению с разделëнными переменными. |
|
||||||||||||
Действительно, пусть уравнение |
y′ = f (x, y) |
однородное. |
Тогда |
||||||||||
f (kx,ky) = f (x, y). Полагая |
k =1/ x , получим |
f (kx,ky) = f (x, y) = |
|||||||||||
= f (1, y / x). |
Введем теперь |
новую функцию t = y / x. |
Тогда |
||||||||||
y = tx , |
y |
′ |
= t x +t, |
и уравнение примет вид |
t x +t = f (1,t) =ϕ(t) |
||||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
||
или dt |
x =ϕ(t)−t. |
|
dt |
|
= dx - уравнение с разделëнными |
||||||||
ϕ(t) |
−t |
||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||
переменными.
15
Пример. Решить уравнение
(x + y)dx + (y − x)dy = 0.
Преобразуем уравнение к виду |
|
|
|
x + y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y′ = |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
kx +ky |
|
x + y |
|
|
|
x − y |
|
|
|
|
|||||||||
Так как |
= |
|
, то исходное уравнение однородное. |
|||||||||||||||||
kx −ky |
x − y |
|||||||||||||||||||
|
|
y = tx |
и |
|
y |
′ |
= t x +t. |
|
||||||||||||
Полагаем t = y / x, |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
||
Тогда уравнение примет вид |
|
|
|
|
1+t |
|
|
1+t2 |
1 + t 2 |
|||||||||||
′ |
|
x +tx 1+t |
|
dt |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
= 1−t |
или x dx |
= |
1−t |
−t = |
1−t , |
xdt = 1 −t dx. |
||||||||||||
t x +t = x −tx |
||||||||||||||||||||
Разделив обе части уравнения на |
x |
1+t2 |
≠ |
0, приходим к уравне- |
||||||||||||||||
|
1−t |
|||||||||||||||||||
нию с разделëнными переменными |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 −t |
|
dt = dx . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + t 2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
Интегрируя его, находим
arctg t − 12ln (1 + t 2 ) = ln x + C
или
arctg t −ln (x
1+t2 ) = C.
Возвращаясь к старой переменной, получим общий интеграл исходного уравнения в виде
C= arctg xy − ln 
x2 + y2 .
1.5.Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным
Дифференциальное уравнение вида
|
′ |
|
|
a1 x + b1 y + c1 |
|
||||
y |
= |
|
|
||||||
|
|||||||||
|
f a |
2 |
x + b y + c |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
называется приводящимся к однородному. В частности, к этому классу относится уравнение вида
16
y′ = a1x +b1 y +c1 . a2x +b2 y +c2
Некоторые из коэффициентов (но не одновременно
быть равны нулю.
Следует различать два случая:
(1.10)
c1 и c2) могут
1). Если определитель δ = |
|
a1 |
b1 |
|
≠ 0, |
то уравнение (1.10) |
|
|
|
||||||
|
|
a |
2 |
b |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
приводится к однородному подстановкой |
|
||||||
x = u +α, y = v + β , |
(1.11) |
||||||
где постоянные a и β определяются из системы уравнений:
a1α + b1β + c1 = 0,
a2α + b2β + c2 = 0.
Заметим, что эту систему уравнений можно записать непосредственно по виду правой части уравнения (1.10), если заменить в ней x на α , y на β и приравнять числитель и знаменатель дроби ну-
лю.
Учитывая, что du = dx, dv = dy, следовательно, dydx = dudv , и
подставляя (1.11) в (1.10), получим однородное уравнение относительно новой функции v(u):
dv = |
a1 (u +α)+b1 (v + β)+c1 |
= |
a1u +b1v + a1α +b1β +c1 |
= |
a1u +b1v |
. |
||||||||||
du |
a |
(u +α)+b |
(v + β)+c |
2 |
|
a |
u +b v + a α +b |
β +c |
2 |
|
a |
u +b v |
|
|||
2 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
||||
Полагая далее |
|
|
t = v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приводим последнее уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
2) Если определитель
δ = |
|
a1 |
b1 |
|
|
|
= 0, |
||||
|
|
a |
2 |
b |
|
|
|
|
2 |
|
|
то уравнение (1.10) сразу приводится к уравнению с разделëн ными переменными заменой u = a1x +b1 y.