3. Найдем количество изделий каждого вида, которые нужно произвести для того, чтобы получить максимум прибыли при условии, что необходимо выполнить план выпуска.

Найти значения переменных x_1, x_2,x₃, при которых функция прибыли:

W =

3

x1

+

3

x2

+

2

x3

принимает максимальное значение, при условии следующих ограничений:

	2	x1	+		x2	+	2	x3	≤		2100		(1)
	2	x1	+	2	x2	+		x3	≤		1200		(2)
		x1							=		200		(3)
					x2				=		100		(4)
								x3	=		600		(5)

x₁, x₂, x₃ ≥ 0

2

x1

+

x2

+

2

x3

+

s1

=

2100

(1)

2

x1

+

2

x2

+

x3

+

s2

=

1200

(2)

x1

=

200

(3)

x2

=

100

(4)

x3

=

600

(5)

x₁, x₂, x₃, s₁, s₂ ≥ 0 Ищем в системе ограничений базисные переменные. Из последней системы ограничений можно выделить базисные переменные s₁,s₂. Не все уравнения содержат базисные переменные, это значит, что исходная задача не содержит в себе допустимого базисного решения. Для его нахождения вначале составим и решим вспомогательную задачу. Такое решение еще называют решением с искусственным базисом. Введем в уравнения 3, 4, 5 искусственные неотрицательные переменные r₁, r₂, r₃ . Получим следующую систему ограничений,

2

x1

+

x2

+

2

x3

+

s1

=

2100

(1)

2

x1

+

2

x2

+

x3

+

s2

=

1200

(2)

x1

+

r1

=

200

(3)

x2

+

r2

=

100

(4)

x3

+

r3

=

600

(5)

x₁, x₂, x₃, s₁, s₂, r₁, r₂, r₃ ≥ 0 с базисными переменными s₁,s₂,r₁,r₂,r₃.

Целью решения вспомогательной задачи является получение допустимого базисного решения, не содержащего искусственных переменных (r₁,r₂,r₃). Для этого сформируем вспомогательную целевую функцию:

G =

r1

+

r2

+

r3

и проведем ее минимизацию в заданной системе ограничений. Если после минимизации функции G ее оптимальное значение будет равно нулю и все искусственные переменные окажутся выведенными из базиса, то полученное базисное решение есть допустимое базисное решение исходной задачи. Если же после минимизации функции G ее оптимальное значение окажется отличным от нуля, значит, исходная система ограничений противоречива (область допустимых решений пуста) и исходная задача решения не имеет. Для решения вспомогательной задачи симплекс-методом выразим функцию G через свободные переменные, для этого:    - вычтем из функции G уравнение 3    - вычтем из функции G уравнение 4    - вычтем из функции G уравнение 5  Функция G примет вид: 

G =

-

x1

-

x2

-

x3

+

900

Теперь мы можем сформировать начальную симплекс-таблицу. Начальная симплекс-таблица

БП	x1	x2	x3	s1	s2	r1	r2	r3	Решение	Отношение
s1	2	1	2	1	0	0	0	0	2100	2100 / 2 = 1050
s2	2	2	1	0	1	0	0	0	1200	1200 / 1 = 1200
r1	1	0	0	0	0	1	0	0	200	--
r2	0	1	0	0	0	0	1	0	100	--
r3	0	0	1	0	0	0	0	1	600	600 / 1 = 600
W	3	3	2	0	0	0	0	0	0	--
G	-1	-1	-1	0	0	0	0	0	-900	--

БП	x1	x2	x3	s1	s2	r1	r2	Решение	Отношение
s1	2	1	0	1	0	0	0	900	900 / 1 = 900
s2	2	2	0	0	1	0	0	600	600 / 2 = 300
r1	1	0	0	0	0	1	0	200	--
r2	0	1	0	0	0	0	1	100	100 / 1 = 100
x3	0	0	1	0	0	0	0	600	--
W	3	3	0	0	0	0	0	-1200	--
G	-1	-1	0	0	0	0	0	-300	--

БП	x1	x2	x3	s1	s2	r1	Решение	Отношение
s1	2	0	0	1	0	0	800	800 / 2 = 400
s2	2	0	0	0	1	0	400	400 / 2 = 200
r1	1	0	0	0	0	1	200	200 / 1 = 200
x2	0	1	0	0	0	0	100	--
x3	0	0	1	0	0	0	600	--
W	3	0	0	0	0	0	-1500	--
G	-1	0	0	0	0	0	-200	--

БП	x1	x2	x3	s1	s2	Решение	Отношение
s1	0	0	0	1	0	400	--
s2	0	0	0	0	1	0	--
x1	1	0	0	0	0	200	--
x2	0	1	0	0	0	100	--
x3	0	0	1	0	0	600	--
W	0	0	0	0	0	-2100	--
G	0	0	0	0	0	0	--

Получено оптимальное решение вспомогательной задачи (найден минимум функции G т.к. в строке целевой функции нет отрицательных коэффициентов). Все искусственные переменные вышли из базиса и поэтому мы можем приступить к решению исходной задачи, приняв полученное базисное решение в качестве опорного. Строка "G" нам больше не нужна, принятие решения о направляющем столбце, во всех последующих итерациях, будем принимать по строке "W"

БП	x1	x2	x3	s1	s2	Решение	Отношение
s1	0	0	0	1	0	400	--
s2	0	0	0	0	1	0	--
x1	1	0	0	0	0	200	--
x2	0	1	0	0	0	100	--
x3	0	0	1	0	0	600	--
W	0	0	0	0	0	-2100	--

Достигнуто оптимальное решение, т.к. в строке целевой функции нет положительных коэффициентов. Ответ 3):

Максимальное значение  функции прибыли W(x)=

2100

достигается при:

x1=	200
x2=	100
x3=	600
s1=	400
s2=	0