Равномерная непрерывность функции

Определение. Функция непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе и в самой точке , и если , т.е.

Определение. Функция равномерно непрерывна на множестве , если она определена в точках этого множества, и если .

Пример. Функция не является равномерно непрерывной на полуинтервале , так как для любого невозможно найти общее для всех точек полуинтервала , при приближении к точке величина стремится к нулю.

Теорема. (Кантора). Если функция непрерывна на отрезке , то она равномерно непрерывна на нем.

Доказательство. Методом от противного. . Так как - любое, берем последовательно и находим последовательности и принадлежащие отрезку и удовлетворяющие условиям . Так как она ограничена и по теореме Больцано-Вейерштрасса . Тогда и . Действительно: . Мы имеем . Учитывая непрерывность функции на отрезке , переходим к пределу при и получаем , т.е. . Но по условию - противоречие. Теорема доказана.

Вопросы к коллоквиуму по математическому анализу (1 семестр)

1.Множество действительных чисел.

2.Теорема о точной грани ограниченного множества (док).

3.Понятие числовой последовательности. Ее предел.

4.Единственность предела (док).

5. Ограниченность сходящейся последовательности (док).

6.Арифметические операции над сходящимися последовательностями (док).

7.Точная верхняя грань последовательности. Теорема о пределе ограниченной сверху неубывающей последовательности.

8.Число е (док).

9.Теорема Больцано-Вейерштрасса (док).

10.Критерий Коши существования конечного предела последовательности.

11.Понятие функции действительного переменного. Предел функции.

12.Эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне.

13. Критерий Коши существования предела функции.

14.Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел (док).

15.Теорема о сохранении знака функции, имеющей конечный предел (док).

16.Теорема о зажатой функции (док).

17.Непрерывность функции. Непрерывность сложной функции.

18.Классификация точек разрыва. Примеры.

19.Замечательные пределы.

20.Сравнение бесконечно малых.

21.Ограниченность функции, непрерывной на отрезке.

22.Теорема Вейерштрасса.

23.Теорема о нулях непрерывной на отрезке функции (док).

24. Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора.