2.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 3-го и 4-го порядков со специальной правой частью
Алгоритм нахождения
частного решения неоднородных
дифференциальных уравнений n-го
порядка со специальной правой частью
такой же, как и для неоднородных уравнений
2-го порядка. Отличие состоит лишь в том,
что значение показателя
в множителе
в резонансном случае может быть больше
1.
Пример 2.8.
Записать вид частного решения для
уравнения:
.
Решение. 1)
Находим корни характеристического
уравнения:
=1,
то есть число 1 является корнем кратности
3.
2) По виду правой
части
записываем число
.
3) Так как
=
,
частное решение
ищем в виде
,
где
и
– неопределённые коэффициенты.
Ответ. Частное решение ищем в виде (резонансный случай).
Пример 2.9.
Записать вид частного решения для
уравнения
.
Решение. 1)
Характеристические корни
.
2) По виду правой
части
записываем число
.
3) Так как с числом
совпадает лишь корень
кратности 1, то частное решение ищем в
виде
(резонансный
случай).
Ответ. Частное решение ищем в виде .
Пример 2.10.
Записать вид частного решения для
уравнения
.
Решение: 1)
Характеристические корни уравнения
=
,
=
,
=2.
2) По виду правой
части
записываем число
.
3) Так как
=
,
частное решение
ищем в виде
=
(резонансный случай).
Ответ. Частное решение ищем в виде = .
Пример 2.11.
Записать вид частного решения для
уравнения
=
.
Решение. 1)
Корни характеристического уравнения
=2,
=
=
.
2) По виду правой
части
записываем число
.
3) Так как комплексное
число
не совпадает ни с
=2,
ни с
=
,
то частное решение уравнения следует
искать в виде
=
(нерезонансный случай).
Ответ. Частное решение ищем в виде = .
Задание 2.6. Решить уравнения, применяя метод неопределённых коэффициентов.
Вар. |
Уравнение |
Вар. |
Уравнение |
2.6.1. |
|
2.6.16. |
|
2.6.2. |
|
2.6.17. |
|
2.6.3. |
|
2.6.18. |
|
2.6.4. |
|
2.6.19. |
|
2.6.5. |
|
2.6.20. |
|
2.6.6. |
|
2.6.21. |
|
2.6.7. |
|
2.6.22. |
|
2.6.8. |
|
2.6.23. |
|
2.6.9. |
|
2.6.24. |
|
2.6.10. |
|
2.6.25. |
|
2.6.11. |
|
2.6.26. |
|
2.6.12. |
|
2.6.27. |
|
2.6.13. |
|
2.6.28. |
|
2.6.14. |
|
2.6.29. |
|
2.6.15. |
|
2.6.30. |
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Для линейного
неоднородного уравнения
найти общее решение, используя метод
неопределенных коэффициентов для
нахождения частного решения.
Вар. |
|
Вар. |
|
2.6.31. |
|
2.6.46. |
|
2.6.32. |
|
2.6.47. |
|
2.6.33. |
|
2.6.48. |
|
2.6.34. |
|
2.6.49. |
|
2.6.35. |
|
2.6.50. |
|
2.6.36. |
|
2.6.51. |
|
2.6.37. |
|
2.6.52. |
|
2.6.38. |
|
2.6.53. |
|
2.6.39. |
|
2.6.54. |
|
2.6.40. |
|
2.6.55. |
|
2.6.41. |
|
2.6.56. |
|
2.6.42. |
|
2.6.57. |
|
2.6.43. |
|
2.6.58. |
|
2.6.44. |
|
2.6.59. |
|
2.6.45. |
|
2.6.60. |
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.