Глава 2. Предел функции и непрерывность

§ 2.1. Предел функции в точке

1. Эквивалентные определения

Определение предела функции в точке по Коши. Число называетсяпределом функции в точке по Коши если для любого существуеттакое, что для любогоудовлетворяющего условиювыполняется неравенство

Число не является пределом функции в точкев смысле определения по Коши, если найдётсятакое, что для любогосуществуеттакой, что выполняются неравенства

Определение предела функции в точке по Гейне. Число называетсяпределом функции в точкепо Гейне если для любой последовательности сходящейся ктакой, чтопоследовательностьсходится и

Число не является пределом функции в точкев смысле определения по Гейне, если существует такая последовательностьчтоиЕсли найдутся две последовательностиитакие, чтоито функцияне имеет предела в точке

Теорема. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны.

Доказательство. Пусть число является пределом функциив точкев смысле определения по Коши. Докажем, что она является пределом функциив точкеи в смысле определения по Гейне. Возьмём произвольную последовательностьтакую, чтоНужно доказать, что тогдаЗададим произвольноСогласно определению предела по Коши существуеттакое, что для любогоудовлетворяющего условиювыполняется неравенствоТак както найдётсятакое, что при всехвыполняется неравенствоТогда при всехвыполняется неравенствозначит

Пусть теперь является пределом функциив точкев смысле определения по Гейне. Докажем, чтоявляется пределом функциив точкеи в смысле определения по Коши. Предположим, что это не так. Тогда найдётсятакое, что для любогосуществуеттакой, что выполняются неравенстваВозьмёми построим последовательностьудовлетворяющую условиямТогда, с одной стороны,Значит,т.к.является пределом функциив точкев смысле определения по Гейне. С другой стороны,Следовательно,Получили противоречие. Следовательно,является пределом функциив точкев смысле определения по Коши. Теорема доказана.

Если является пределом функциив точкев смысле определения по Коши или по Гейне , тоназываетсяпределом функции в точке

Упражнение. Доказать, что если для всех выполняется равенствотогде последнее равенство понимается в том смысле, что если существует предел слева, то существует и предел справа, и наоборот, и они равны между собой.

Примеры.

1. Докажем, что Зададим произвольнои рассмотрим модуль разности

Если тоЕслитоприи

2. Докажем, что Зададим произвольнои рассмотрим модуль разности

Покажем, что при всех выполняется неравенствоДействительно,Прирассмотрим точкииединичной окружности, соответствующие угламиДлина дугиравнаи больше длины отрезкаравнойзначит,

При получаем неравенства:

При имеем

Таким образом,

при где

3. Докажем, что у функции не существует предела в точкеВоспользуемся определением предела по Гейне. Возьмём последовательностииОчевидно, чтоОднако,следовательно, функцияне имеет предела в точке

2.1.2. Свойства предела функции в точке.

Теорема о единственности предела. Если предел функции в точке существует, то он единственный.

Доказательство. Предположим, что иПоложимТогда согласно определению предела найдутся и такие, что для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство а при всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство Положим Тогда при всех удовлетворяющих условию выполняются неравенства ито естьПредположение о том, что предел не единственный привело к противоречию. Теорема доказана.

Теорема об ограниченности функции, имеющее предел. Если функция имеет предел в точке, то она ограниченна в некоторой проколотой окрестности этой точки.

Доказательство. Пусть По определению предела длянайдетсятакое, что при всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство Тогда Теорема доказана.

Теорема о переходе к пределу под знаком неравенства. Если и в некоторой проколотой окрестности точки выполняется неравенството

Теорема о двух милиционера. Если в некоторой проколотой окрестности точки выполняются неравенства и существуют пределыто существует предел

Теорема о сохранении знака. Если существует то в некоторой проколотой окрестности точки выполняется неравенство При этом, еслитоеслито

Доказательства теорем аналогичны доказательствам соответствующих теорем для предела последовательности.