6. Исследование кристаллов кубической симметрии с атомами одного сорта

Межплоскостное расстояние d_hkl в кристаллах с ПК решеткой связано с постоянной решетки а следующим соотношением.

.

(15)

Используя закон Вульфа-Брэгга для максимумов первого порядка (m=l), получим

.

(16)

Для определения индексов каждой линии полезно использовать соотношение

.

(17)

где Q_i - соответствует линии под наименьшим углом.

Если кристалл имеет кубическую симметрию и состоит из атомов одного сорта, то для него легко рассчитать структурный фактор и найти при каких h, к, l структурный фактор обращается в ноль. Так, для кристаллов с ОЦК структурой S(h,k,l)=0, если сумма (h+k+l) - нечетное число, для кристаллов с ГЦК структурой S(h,k,l)=0, если среди h, k, l есть числа разной четности. Для кристаллов со структурой типа алмаза S(h,k,l) обращается в ноль, если h, k, l. - разной четности, либо, если (h+k+1)=2(2m-1), то есть удвоенное нечетное число.

Результаты этих расчетов можно представить в виде таблицы 1.

Отметим, что для кристаллов с ПК структурой индексы (200) , (220) и (222) соответствуют максимумам 2-го порядка h, k, l.

В качестве h₁, k₁, l₁, для ПК структуры следует выбрать индексы (100), для ОЦК индексы (110), для ГЦК и алмаза - (111). Тогда для каждой из структур можно найти ряд значений Q_i и соответствующие h_i, k_i, l_i с помощью таблицы и соотношения (19). Эти значения сведены в таблице 2.

При обработке рентгенограммы по полученному ряду значений Q_i и данным таблицы 2 можно определить тип структуры для кристаллов кубической симметрии и каждой линии поставить в соответствие определенные индексы Миллера h, k, l.

Таблица 1

(hkl)	ПК		ОЦК	ГЦК		типа алмаза
100			-	-		-	1
ПО				-		-	2
111			-				3
200(100)	2 пор.					-	4
210			-	-		-	5
211				-		-	6
220(110)	2 пор.						8
221			4	-		-	9
300(100)	3 пор.			-		-	9
310				-		-	10
311			-				11
222(111)	2 пор.					-	12
321				-		-	14
400(100)	4 пор.						16
410			-	-		-	17
411				-		-	18
330(110)	3 пор.			-	-		18
331		-					19
420(210)	2 пор.				-		20
421		-		-	-		21
332				-	-		22
430		-		-	-		25
431				-	-		26
333(111)	3 пор.	-					27
432		-		-	-		29
440(110)	4 пор.						32
441		-		-	-		33
442(221)	2 пор.				-		36
443		-		-	-		41
322		-		-	-		17
422(211)	2 пор.						24

Для определения постоянной решетки следует воспользоваться соотношением (16). При и заданном изменение Θ становится весьма большим. Поэтому для точного определения a следует пользоваться последними линиями. Можно воспользоваться также методом экстраполяции. Значения a находят при углах в Θ>60°, строят зависимость a = f(cos² Θ) и экстраполируют ее до значений в Θ = π/2 (рис. 8).

Таблица 2

Номер линии, i	Qi(hi,ki,li)
	ПК	ОЦК	ГЦК	типа алмаза
I	1 (100)	1(110)	1(Ш)	1(111)
2	2(110)	2 (200)	1,33(200)	2,66 (220)
3	3(111)	3(211)	2,66 (220)	3,67(311)
4	4 (100) 2 пор.	4 (220)	3,67(311)	5,33 (400)
5	5(210)	5(310)	4(222)	6,33 (331)
6	6(211)	6 (222)	5,33 (400)	8(422)
7	8 (100) 2 пор.	7(321)	6,33(331)	9 (333), (511)
8	9(211) (100)3 пор	8 (400)	6,67 (420)	10,67(440)
9	10(310)	9(411), (330)	8(422)	11,66(531)
10	11(311)	10(420)	9(333)	13,33(620)

Рис.8. Определение периода решетки кубического кристалла при помощи экстраполяции.